Гипотеза Гурмагтиха - Goormaghtigh conjecture

В математика, то Гипотеза Гурмагтиха это догадка в теория чисел назван в честь бельгийский математик Рене Гурмагтих. Гипотеза состоит в том, что единственный нетривиальный целое число решения экспоненциальное диофантово уравнение

${displaystyle {frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {frac {y ^ {n} -1} {y-1}}}$

удовлетворение ${displaystyle x> y> 1}$ и ${displaystyle n, m> 2}$ находятся

${displaystyle {frac {5 ^ {3} -1} {5-1}} = {frac {2 ^ {5} -1} {2-1}} = 31}$

и

${displaystyle {frac {90 ^ {3} -1} {90-1}} = {frac {2 ^ {13} -1} {2-1}} = 8191.}$

Частичные результаты

Давенпорт, Льюис и Шинцель (1961) показал, что для каждой пары фиксированных показателей ${displaystyle m}$ и ${displaystyle n}$, это уравнение имеет лишь конечное число решений. Но это доказательство зависит от Теорема Зигеля о конечности, что неэффективно. Нестеренко и Шори (1998) показал, что если ${displaystyle m-1 = dr}$ и ${displaystyle n-1 = ds}$ с ${displaystyle dgeq 2}$, ${displaystyle rgeq 1}$, и ${displaystyle sgeq 1}$, тогда ${displaystyle max (x, y, m, n)}$ ограничена эффективно вычислимой константой, зависящей только от ${displaystyle r}$ и ${displaystyle s}$. Юань (2005) показал, что для ${displaystyle m = 3}$ и странно ${displaystyle n}$, это уравнение не имеет решения ${displaystyle (x, y, n)}$ кроме двух решений, указанных выше.

Баласубраманский и Шори доказали в 1980 г., что существует лишь конечное число возможных решений. ${displaystyle (x, y, m, n)}$ к уравнениям с простыми делителями ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ лежащие в данном конечном множестве, и что они могут быть эффективно вычисленный.Он и Тогбе (2008) показал, что для каждого фиксированного ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$, это уравнение имеет не более одного решения.

Приложение к репутинам

Гипотеза Гурмагтиха может быть выражена следующим образом: 31 (111 по основанию 5, 11111 по основанию 2) и 8191 (111 по основанию 90, 1111111111111 по основанию 2) - единственные два числа, которые объединяет минимум 3 цифры в двух разных базы.

Смотрите также

• Гипотеза Фейта – Томпсона

Рекомендации

• Гурмагтих, Рене. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
• Bugeaud, Y .; Шори, Т. (2002). "О диофантовом уравнении ${displaystyle {frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {frac {y ^ {n} -1} {y-1}}}$" (PDF). Тихоокеанский математический журнал. 207 (1): 61–75.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Баласубраманян, Р.; Шори, Т. (1980). "Об уравнении ${displaystyle a (x ^ {m} -1) / (x-1) = b (y ^ {n} -1) / (y-1)}$". Mathematica Scandinavica. 46: 177–182. Дои:10.7146 / math.scand.a-11861. МИСТЕР  0591599. Zbl  0434.10013.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Davenport, H .; Льюис, Д. Дж .; Шинцель, А. (1961). "Уравнения вида ${displaystyle f (x) = g (y)}$". Quad. J. Math. Оксфорд. 2: 304–312. Дои:10.1093 / qmath / 12.1.304. МИСТЕР  0137703.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. п. 242. ISBN  0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Он, Бо; Тогбе, Алан (2008). "О числе решений уравнения Гурмагтиха для заданных ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$". Indag. Математика. Н. С. 19: 65–72. Дои:10.1016 / S0019-3577 (08) 80015-8. МИСТЕР  2466394.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Нестеренко, Ю. В.; Шори, Т. Н. (1998). "Об уравнении Гурмагтиха" (PDF). Acta Arithmetica. LXXXIII (4): 381–389. Дои:10.4064 / aa-83-4-381-389. МИСТЕР  1610565. Zbl  0896.11010.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Shorey, T.N .; Тийдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения. Кембриджские трактаты по математике. 87. Издательство Кембриджского университета. С. 203–204. ISBN  0-521-26826-5. Zbl  0606.10011.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Юань, Пинчжи (2005). "О диофантовом уравнении ${displaystyle {frac {x ^ {3} -1} {x-1}} = {frac {y ^ {n} -1} {y-1}}}$". J. Теория чисел. 112: 20–25. Дои:10.1016 / j.jnt.2004.12.002. МИСТЕР  2131139.CS1 maint: ref = harv (связь)