Тетраэдрическое число - Tetrahedral number

Пирамида со стороной 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет собой одно из первых пяти треугольных чисел.

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Тетраэдрическое число»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Февраль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А тетраэдрическое число, или же треугольное пирамидальное число, это фигуральное число что представляет собой пирамида с треугольным основанием и тремя сторонами, называемые тетраэдр. В пое тетраэдрическое число, Te_п, - сумма первых п треугольные числа, то есть,

${ displaystyle Te_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2 }} = sum _ {k = 1} ^ {n} left ( sum _ {i = 1} ^ {k} i right)}$

Тетраэдрические числа:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... (последовательность A000292 в OEIS )

Формула

Получение тетраэдрического числа из выровненного влево Треугольник Паскаля

Формула для п-й тетраэдрический номер представлен 3-м возрастающий факториал из п разделенный на факториал из 3:

${ displaystyle Te_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2 }} = sum _ {k = 1} ^ {n} left ( sum _ {i = 1} ^ {k} i right) = { frac {n (n + 1) (n + 2) } {6}} = { frac {n ^ { overline {3}}} {3!}}}$

Тетраэдрические числа также можно представить в виде биномиальные коэффициенты:

${ displaystyle Te_ {n} = { binom {n + 2} {3}}.}$

Следовательно, тетраэдрические числа можно найти в четвертой позиции слева или справа в Треугольник Паскаля.

Доказательства формулы

Это доказательство использует тот факт, что п-е треугольное число дается

${ displaystyle T_ {n} = { frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Это продолжается индукция.

Базовый вариант

${ displaystyle Te_ {1} = 1 = { frac {1 cdot 2 cdot 3} {6}}.}$

Индуктивный шаг

${ displaystyle { begin {align} Te_ {n + 1} quad & = Te_ {n} + T_ {n + 1} & = { frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}} + { frac {(n + 1) (n + 2)} {2}} & = (n + 1) (n + 2) left ({ frac {n} {6} } + { frac {1} {2}} right) & = { frac {(n + 1) (n + 2) (n + 3)} {6}}. end {выравнивается}} }$

Формула также может быть доказана Алгоритм госпера.

Геометрическая интерпретация

Тетраэдрические числа можно смоделировать, складывая сферы. Например, пятое тетраэдрическое число (Te₅ = 35) можно смоделировать с помощью 35 бильярдные шары и стандартная треугольная рамка для бильярдного шара, вмещающая 15 шаров. Затем поверх них складываются еще 10 шаров, затем еще 6, затем еще три, и один шар наверху завершает тетраэдр.

При заказе-п тетраэдры, построенные из Te_п сферы используются как единое целое, можно показать, что облицовка пространства такими единицами может обеспечить наиболее плотную упаковка сфер так долго как п ≤ 4.^{[1][сомнительный – обсуждать]}

Характеристики

• Te_п + Te_п−1 = 1² + 2² + 3² ... + п², то квадратные пирамидальные числа.
• А. Дж. Мейл в 1878 г. доказал, что только три тетраэдрических числа также идеальные квадраты, а именно:

  Te₁ = 1² = 1

  Te₂ = 2² = 4

  Te₄₈ = 140² = 19600.

• Сэр Фредерик Поллок предположил, что каждое число является суммой не более 5 тетраэдрических чисел: см. Гипотеза о тетраэдрических числах Поллока.
• Единственное тетраэдрическое число, которое также является квадратно-пирамидальное число равно 1 (Beukers, 1988), и единственное тетраэдрическое число, которое также является идеальный куб равно 1.
• В бесконечная сумма обратных тетраэдрических чисел 3/2, который можно получить с помощью телескопическая серия:

  ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {6} {n (n + 1) (n + 2)}} = { tfrac {3} {2}}.}$

• В паритет тетраэдрических чисел следует повторяющейся схеме нечет-чет-чет-чет.
• Наблюдение за тетраэдрическими числами:

  Te₅ = Te₄ + Te₃ + Te₂ + Te₁

• Треугольные и четырехгранные числа должны удовлетворять условию биномиальный коэффициент уравнение:

  ${ displaystyle T_ {n} = { binom {n + 1} {2}} = { binom {m + 2} {3}} = Te_ {m}.}$

Единственными числами, которые одновременно являются тетраэдрическими и треугольными числами, являются (последовательность A027568 в OEIS ):

Te₁ = Т₁ = 1

Te₃ = Т₄ = 10

Te₈ = Т₁₅ = 120

Te₂₀ = Т₅₅ = 1540

Te₃₄ = Т₁₁₉ = 7140

Популярная культура

Количество подарков каждого типа и количества, полученных каждый день, и их отношение к фигуральные числа

Te₁₂ = 364 - это общее количество подарков, которые "моя настоящая любовь послала мне" в течение всех 12 стихов гимна, "Двенадцать дней Рождества ".^[2] Общее количество подарков после каждого стиха также Te_п для стиха п.

Количество возможных KeyForge трехдомные комбинации - это тоже тетраэдрическое число, Te_п−2 куда п это количество домов.

Смотрите также

• Треугольное число по центру

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрическое число». MathWorld.
• Геометрическое доказательство формулы тетраэдрического числа Джим Делани, Демонстрационный проект Wolfram.