Обильное количество - Abundant number

Демонстрация с Удилища Cuisenaire, обилия числа 12

В теория чисел, обильное количество или же чрезмерное количество - число, меньшее суммы собственных делителей. Целое число 12 - первое обильное число. Его собственные делители - 1, 2, 3, 4 и 6, всего 16. Сумма, на которую сумма превышает число, является избыток. Например, у числа 12 есть изобилие 4.

Определение

Число п для которого сумма делителей σ(п) > 2п, или, что то же самое, сумма собственных делителей (или аликвотная сумма ) s(п) > п.

Изобилие - это ценность σ(п) − 2n (или же s(п) − п).

Примеры

Первые 28 обильных чисел:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (последовательность A005101 в OEIS ).

Например, правильные делители числа 24 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 12, сумма которых равна 36. Поскольку 36 больше 24, число 24 является большим. Его численность 36 - 24 = 12.

Характеристики

  • Наименьшее нечетное изобильное число - 945.
  • Наименьшее изобильное число, не делимое на 2 или 3, - это 5391411025, чьи различные главные факторы равны 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 (последовательность A047802 в OEIS ). Алгоритм, предложенный Ианнуччи в 2005 году, показывает, как найти наименьшее изобильное число, не делящееся на первое. k простые числа.[1] Если представляет собой наименьшее изобильное число, не делящееся на первое k простые числа тогда для всех у нас есть
для достаточно большого k.
  • Бесконечно много четный и нечетный существует большое количество.
  • Множество обильных чисел имеет ненулевой естественная плотность.[2] В 1998 году Марк Делеглиз показал, что естественная плотность множества обильных чисел и совершенных чисел находится между 0,2474 и 0,2480.[3]
  • Каждое кратное идеальное число в изобилии.[4] Например, каждое число, кратное 6, является большим, потому что
  • Каждое кратное обильного числа является обильным.[4] Например, каждое число, кратное 20 (включая само 20), является большим, потому что
  • Каждый целое число больше 20161 можно записать как сумму двух избыточных чисел.[5]
  • Обильное число, которое не является полусовершенное число называется странное число.[6] Число изобилия с изобилием 1 называется квазиидеальное число, хотя пока ничего не найдено.

Связанные понятия

Диаграмма Эйлера из обильный, примитивный изобилие, очень много, избыточный, колоссально обильный, очень сложный, превосходный высоко композитный, странный и идеальные числа меньше 100 по отношению к неполноценный и составные числа

Числа, сумма собственных множителей которых равна самому числу (например, 6 и 28), называются идеальные числа, а числа, сумма собственных множителей которых меньше самого числа, называются дефицитные номера. Первая известная классификация чисел как неполноценные, совершенные или изобильные была проведена Никомах в его Введение в арифметику (около 100 г. н.э.), в котором большое количество людей описывалось как деформированных животных со слишком большим количеством конечностей.

В индекс изобилия из п это соотношение σ(п)/п.[7] Отличные числа п1, п2, ... (обильные или малочисленные) с одинаковым индексом обилия называются дружественные числа.

Последовательность (аk) наименьших чисел п такой, что σ(п) > кн, в котором а2 = 12 соответствует первому обильному числу, очень быстро растет (последовательность A134716 в OEIS ).

Наименьшее нечетное целое число с индексом изобилия больше 3 равно 1018976683725 = 3.3 × 52 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29.[8]

Если п = (п1, ..., пп) - список простых чисел, то п Называется обильный если некоторое целое число состоит только из простых чисел в п в изобилии. Необходимым и достаточным условием для этого является то, что продукт пя/(пя - 1) быть не менее 2.[9]

Рекомендации

  1. ^ Д. Яннуччи (2005), "На наименьшее изобильное число, не кратное первому k простые числа ", Бюллетень Бельгийского математического общества, 12 (1): 39–44
  2. ^ Холл, Ричард Р .; Тененбаум, Жеральд (1988). Делители. Кембриджские трактаты по математике. 90. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 95. ISBN  978-0-521-34056-4. Zbl  0653.10001.
  3. ^ Делеглиз, Марк (1998). «Границы плотности обильных целых чисел». Экспериментальная математика. 7 (2): 137–143. CiteSeerX  10.1.1.36.8272. Дои:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN  1058-6458. МИСТЕР  1677091. Zbl  0923.11127.
  4. ^ а б Таттерсолл (2005) стр.134
  5. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A048242 (числа, не являющиеся суммой двух обильных чисел)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
  6. ^ Татерсалл (2005) с.144
  7. ^ Лаач, Ричард (1986). «Измерение обилия целых чисел». Математический журнал. 59 (2): 84–92. Дои:10.2307/2690424. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690424. МИСТЕР  0835144. Zbl  0601.10003.
  8. ^ Для наименьшего нечетного целого числа k с индексом численности превышающим п, видеть Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A119240 (наименьшее нечетное число k такое, что sigma (k) / k> = n.) ". В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
  9. ^ Фридман, Чарльз Н. (1993). «Суммы делителей и египетские дроби». Журнал теории чисел. 44 (3): 328–339. Дои:10.1006 / jnth.1993.1057. МИСТЕР  1233293. Zbl  0781.11015. Архивировано из оригинал на 2012-02-10. Получено 2012-09-29.

внешняя ссылка