Постоянство числа - Persistence of a number

В математика, то постоянство числа - количество раз, когда нужно применить данную операцию к целому числу до достижения фиксированная точка при котором операция больше не меняет номер.

Обычно это включает в себя аддитивное или мультипликативное постоянство целого числа, то есть то, как часто нужно заменять число суммой или произведением его цифр, пока не будет достигнута единственная цифра. Поскольку числа разбиты на свои цифры, аддитивная или мультипликативная стойкость зависит от основание. В оставшейся части этой статьи предполагается десятичная основа.

Однозначное конечное состояние, достигаемое в процессе вычисления аддитивной стойкости целого числа, является его цифровой корень. Другими словами, аддитивная настойчивость числа подсчитывает, сколько раз мы должны просуммировать цифры чтобы достичь своего цифрового корня.

Примеры

Аддитивная настойчивость 2718 равна 2: сначала мы находим, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, а затем 1 + 8 = 9. Мультипликативная настойчивость 39 равна 3, потому что требуется три шага, чтобы уменьшить 39 до единственного. цифра: 39 → 27 → 14 → 4. Кроме того, 39 - это наименьшее число мультипликативной настойчивости 3.

Наименьшие числа данной мультипликативной настойчивости

Для основание из 10 считается, что не существует числа с мультипликативной устойчивостью> 11: это, как известно, верно для чисел до 1020000.[1][2] Наименьшие числа с постоянством 0, 1, ...:

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (последовательность A003001 в OEIS )

Поиск этих чисел можно ускорить, используя дополнительные свойства десятичных разрядов этих рекордных чисел. Эти цифры должны быть отсортированы, и, за исключением первых двух цифр, все цифры должны быть 7, 8 или 9. Существуют также дополнительные ограничения на первые две цифры. На основании этих ограничений количество кандидатов в п-цифровые числа с рекордной стойкостью пропорциональны только квадрату п, крошечная доля всех возможных п-значные числа. Однако любое число, которое отсутствует в приведенной выше последовательности, будет иметь мультипликативную постоянство> 11; Считается, что таких чисел не существует, и они должны были бы состоять из более чем 20 000 цифр, если они существуют.[1]

Наименьшие числа заданной аддитивной стойкости

Однако аддитивная стойкость числа может стать сколь угодно большой (доказательство: для данного числа , постоянство числа, состоящего из повторения цифры 1 на 1 больше, чем у ). Наименьшие числа аддитивной стойкости 0, 1, ...:

0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999, ... (последовательность A006050 в OEIS )

Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной стойкости 5) равно 2 × 10.2×(1022 − 1)/9 - 1 (то есть 1, за которой следует 2222222222222222222222 9). Для любой фиксированной базы сумма цифр числа пропорциональна его логарифм; следовательно, аддитивная стойкость пропорциональна повторный логарифм. Подробнее об аддитивной стойкости числа можно прочитать Вот.

Функции с ограниченным постоянством

Некоторые функции допускают сохранение только до определенной степени.

Например, функция, которая принимает минимальную цифру, позволяет сохранять только 0 или 1, когда вы либо начинаете, либо переходите к однозначному числу.

использованная литература

  1. ^ а б Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A003001». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
  2. ^ Эрик В. Вайсштейн. «Мультипликативная стойкость». mathworld.wolfram.com.

Литература

внешние ссылки