Грубая структура - Coarse structure

в математический поля геометрия и топология, а грубая структура на набор Икс это собрание подмножества из декартово произведение Икс × Икс с определенными свойствами, которые позволяют крупномасштабная структура из метрические пространства и топологические пространства быть определенным.

Традиционная геометрия и топология заботятся о мелкомасштабной структуре пространства: такие свойства, как непрерывность из функция зависит от того, обратные изображения малых открытые наборы, или же окрестности, сами открыты. Крупномасштабные свойства пространства, такие как ограниченность, или степени свободы пространства - не зависите от таких особенностей. Грубая геометрия и грубая топология предоставить инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, а также метрика или топология содержит информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о его крупномасштабных свойствах.

Собственно грубая структура - это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а крупномасштабный аналог топологической структуры. единообразная структура.

Определение

А грубая структура на набор Икс это коллекция E из подмножества из Икс × Икс (следовательно, подпадающие под более общую категорию бинарные отношения на Икс) называется контролируемые наборы, так что E обладает отношение идентичности, замкнута относительно взятия подмножеств, обратных и конечных объединений и замкнута относительно состав отношений. Ясно:

1. Идентичность / диагональ

В диагональ Δ = {(Икс, Икс) : Икс в Икс} является членом E- отношение идентичности.

2. Закрытые подмножества

Если E является членом E и F это подмножество E, тогда F является членом E.

3. Закрыт при приеме инверсии

Если E является членом E затем обратный (или же транспонировать) E ⁻¹ = {(у, Икс) : (Икс, у) в E} является членом E- обратное соотношение.

4. Закрыт при приеме союзов.

Если E и F являются членами E затем союз из E и F является членом E.

5. Закрыто по составу

Если E и F являются членами E затем товар E о F = {(Икс, у) : Существует z в Икс такой, что (Икс, z) в E, (z, у) в F} является членом E- состав отношений.

Множество Икс наделен грубой структурой E это грубое пространство.

Набор E[K] определяется как {Икс в Икс : Существует у в K такой, что (Икс, у) в E}. Мы определяем раздел из E к Икс быть набором E[{Икс}], также обозначается E _Икс. Символ E^у обозначает множество E ⁻¹[{у}]. Это формы прогнозы.

Интуиция

Контролируемые наборы - это "маленькие" наборы или "незначительные наборы ": множество А такой, что А × А контролируется незначительно, а функция ж : Икс → Икс такой, что его граф управляется, «близок» к тождеству. В ограниченной грубой структуре эти множества являются ограниченными множествами, а функции - теми, которые находятся на конечном расстоянии от единицы в единообразная метрика.

Грубые карты

Учитывая набор S и грубая структура Икс, мы говорим, что карты ${displaystyle f: S o X}$ и ${displaystyle g: S o X}$ находятся Закрыть если ${displaystyle {(f (s), g (s)) | sin S}}$ это управляемый набор. Подмножество B из Икс как говорят ограниченный если ${displaystyle B imes B}$ это управляемый набор.

Для грубых структур Икс и Yмы говорим, что ${displaystyle f: X o Y}$ является грубый если для каждого ограниченного множества B из Y набор ${displaystyle f ^ {- 1} (Y)}$ ограничен в Икс и для каждого управляемого набора E из Икс набор ${displaystyle (f imes f) (E)}$ контролируется в Y.^[1] Икс и Y как говорят примерно эквивалент если существуют грубые карты ${displaystyle f: X o Y}$ и ${displaystyle g: Y o X}$ такой, что ${displaystyle fcirc g}$ близко к ${displaystyle operatorname {id} _ {Y}}$ и ${displaystyle gcirc f}$ близко к ${displaystyle operatorname {id} _ {X}}$.

Примеры

• В ограниченная грубая структура на метрическое пространство (Икс, d) это коллекция E из всех подмножества E из Икс × Икс такие, что sup {d(Икс, у) : (Икс, у) в E} является конечный.

  С такой структурой целочисленная решетка Z^п грубо эквивалентно п-размерный Евклидово пространство.

• Пространство Икс куда Икс × Икс контролируется называется ограниченное пространство. Такое пространство грубо эквивалентно точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой ограничено (как грубое пространство) тогда и только тогда, когда оно ограничено (как метрическое пространство).
• Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств.

  В этой структуре отображение является грубой эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является биекцией (множеств).

• В C₀ грубая структура на метрическом пространстве Икс это набор всех подмножеств E из Икс × Икс такое, что для всех ε> 0 существует компактный набор K из Икс такой, что d(Икс, у) <ε для всех (Икс, у) в E − K × K. В качестве альтернативы, сбор всех подмножеств E из Икс × Икс такие что {(Икс, у) в E : d(Икс, у) ≥ ε} компактно.
• В дискретная грубая структура на съемочной площадке Икс состоит из диагональ вместе с подмножествами E из Икс × Икс которые содержат лишь конечное число точек (Икс, у) от диагонали.
• Если Икс это топологическое пространство затем недискретная грубая структура на Икс состоит из всех правильный подмножества Икс × Икс, то есть все подмножества E такой, что E [K] и E ⁻¹[K] находятся относительно компактный в любое время K относительно компактен.

Смотрите также

• однородное пространство
• квазиизометрия

Рекомендации

• Джон Роу, Лекции по грубой геометрии, Серия лекций в университете, Том. 31, Американское математическое общество: Провиденс, Род-Айленд, 2003. Исправления к Лекции по грубой геометрии
• Роу, Джон (июнь – июль 2006 г.). "Что такое ... грубое пространство?" (PDF ). Уведомления Американского математического общества. 53 (6): 669. Получено 2008-01-16.