Логика - Logicism - Wikipedia

в философия математики, логицизм представляет собой программу, содержащую один или несколько тезисов, которые - для некоторого последовательного смысла 'логика ' — математика является расширением логики, часть или вся математика сводимый логике, или некоторая или вся математика может быть смоделированный в логике.^[1] Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед поддержал эту программу, инициированную Готтлоб Фреге и впоследствии разработан Ричард Дедекинд и Джузеппе Пеано.

Обзор

На пути Дедекинда к логицизму был поворотный момент, когда он смог построить модель, удовлетворяющую аксиомы характеризуя действительные числа используя определенные наборы рациональное число. Эта и связанные с ней идеи убедили его, что арифметика, алгебра и анализ могут быть сведены к натуральным числам плюс «логика» классов. Кроме того, к 1872 году он пришел к выводу, что сами натуральные числа сводятся к множествам и отображениям. Вполне вероятно, что другие логики, в первую очередь Фреге, также руководствовались новыми теориями реальных чисел, опубликованными в 1872 году.

Философским толчком к логической программе Фреге, начиная с Grundlagen der Arithmetik и далее, была его неудовлетворенность эпистемологический и онтологический приверженности существовавшим на тот момент счетам натуральных чисел и его убежденности в том, что использование Кантом истин о натуральных числах в качестве примеров синтетическая априорная истина было неверно.

Это положило начало периоду расширения логицизма с Дедекиндом и Фреге в качестве его основных представителей. Однако эта начальная фаза логицистской программы оказалась в кризисе с открытием классических парадоксов теория множеств (Кантор 1896, Цермело и Рассел 1900–1901). Фреге отказался от проекта после того, как Рассел узнал и сообщил его парадокс выявление несоответствия в системе Фреге, изложенной в Grundgesetze der Arithmetik. Обратите внимание, что наивная теория множеств тоже страдает от этой трудности.

С другой стороны, Рассел писал Принципы математики в 1903 г., используя парадокс и разработки Джузеппе Пеано школа геометрии. Поскольку он рассматривал тему примитивные представления в геометрии и теории множеств этот текст является водоразделом в развитии логицизма. Доказательства утверждения логицизма были собраны Расселом и Уайтхедом в их Principia Mathematica.^[2]

Сегодня считается, что большая часть существующей математики логически выводится из небольшого числа внелогических аксиом, таких как аксиомы Теория множеств Цермело – Френкеля (или его расширение ZFC ), из которых пока не выявлено никаких противоречий. Таким образом, элементы логицистских программ оказались жизнеспособными, но в теории процессов классов, множеств и отображений, а также в логиках более высокого порядка, отличных от Семантика Хенкина, стали рассматриваться как внелогичные по своей природе, отчасти под влиянием Куайн подумала позже.

Курт Гёдель с теоремы о неполноте показывают, что никакая формальная система, из которой могут быть выведены аксиомы Пеано для натуральных чисел - такая как системы Рассела в PM - не может определить все правильно сформированные предложения этой системы.^[3] Этот результат повредил программу Гильберта по основам математики, согласно которой `` бесконечные '' теории, такие как теория PM, должны были быть доказаны согласованными с финитарными теориями, с тем, чтобы те, кто беспокоился о `` бесконечных методах '', могли быть повторно уверены в том, что их использование не должно доказуемо. приводят к противоречию. Результат Гёделя предполагает, что для того, чтобы сохранить логицистскую позицию, сохраняя при этом как можно больше классической математики, нужно принять некоторую аксиому бесконечности как часть логики. На первый взгляд, это наносит ущерб и логической программе, хотя и только тем, кто уже сомневается в «бесконечных методах». Тем не менее, позиции, вытекающие как из логицизма, так и из гильбертовского финитизма, продолжали выдвигаться после публикации результата Гёделя.

Одним из аргументов в пользу того, что программы, основанные на логицизме, остаются в силе, может быть то, что теоремы о неполноте «доказываются с помощью логики, как любые другие теоремы». Однако этот аргумент, похоже, не признает различия между теоремами логика первого порядка и теоремы логика высшего порядка. Первое можно доказать с помощью финишных методов, а второе - в целом - нет. Теорема Тарского о неопределенности показывает, что нумерация Гёделя может использоваться для доказательства синтаксических конструкций, но не семантических утверждений. Следовательно, утверждение о том, что логицизм остается действующей программой, может заставить человека считать, что система доказательства, основанная на существовании и свойствах натуральных чисел, менее убедительна, чем система, основанная на какой-то конкретной формальной системе.^[4]

Логицизм - особенно через влияние Фреге на Рассела и Витгенштейна^[5] а позже Даммит - внес значительный вклад в развитие аналитическая философия в течение двадцатого века.

Происхождение названия логицизм

Айвор Граттан-Гиннесс заявляет, что французское слово «Logistique» было «введено Couturat и другие в 1904 г. Международный философский конгресс, и с тех пор использовался Расселом и другими в версиях, подходящих для разных языков »(G-G 2000: 501).

По-видимому, первое (и единственное) употребление Рассела появилось в его 1919 году: «Рассел несколько раз ссылался [sic] на Фреге, представляя его как человека,« который первым преуспел в «логизации» математики »(стр. 7). Не считая искажения фактов (который Рассел частично исправил, объяснив свой собственный взгляд на роль арифметики в математике), этот отрывок примечателен словом, которое он заключил в кавычки, но их присутствие предполагает нервозность, и он больше никогда не использовал это слово, так что « логицизм «возник только в конце 1920-х годов» (GG 2002: 434).^[6]

Примерно в то же время, что и Карнап (1929), но, по-видимому, независимо, Френкель (1928) использовал это слово: «Без комментариев он использовал название« логицизм »для характеристики позиции Уайтхеда / Рассела (в названии раздела на стр. 244). , объяснение на стр. 263) »(GG 2002: 269). Карнап использовал несколько иное слово «Логистик»; Беманн пожаловался на его использование в рукописи Карнапа, поэтому Карнап предложил слово «логизизм», но, в конце концов, он остановился на своем выборе слова «Логистик» (G-G 2002: 501). В конечном итоге «с 1930 года распространение происходило в основном за счет Карнапа». (G-G 2000: 502).

Намерение или цель логицизма

Символическая логика: Открытая цель логицизма - вывести всю математику из символической логики (Фреге, Дедекинд, Пеано, Рассел). В отличие от алгебраическая логика (Логическая логика ), в котором используются арифметические понятия, символическая логика начинается с очень ограниченного набора меток (неарифметических символов), нескольких «логических» аксиом, воплощающих «законы мышления», и правил вывода, которые диктуют, как метки должны быть собраны и обработаны - например, подстановка и modus ponens (т.е. из [1] A материально следует B и [2] A, можно вывести B). Логицизм также заимствует из оснований Фреге редукцию высказываний естественного языка от «субъекта | предиката» к пропозициональным «атомам» или «аргументу | функции» «обобщения» - понятиям «все», «некоторые», «класс» ( сбор, совокупность) и «отношение».

При логицистском выводе натуральных чисел и их свойств никакая «интуиция» числа не должна «проникать» ни в качестве аксиомы, ни случайно. Цель состоит в том, чтобы вывести всю математику, начиная с подсчета чисел, а затем и с реальных чисел, только из некоторых выбранных «законов мысли», без каких-либо неявных предположений «до» и «после», «меньше» и «больше». или по существу: «преемник» и «предшественник». Гёдель 1944 резюмировал логические «конструкции» Рассела по сравнению с «конструкциями» в основополагающих системах интуиционизма и формализма («школа Гильберта») следующим образом: «Обе эти школы основывают свои конструкции на математической интуиции, избегание которой является в точности одним. основных целей Рассела конструктивизм "(Гедель 1944 г. в Собрание сочинений 1990:119).

История: Гедель 1944 резюмировал исторический фон Лейбница в Характеристика универсальнаячерез Фреге и Пеано Расселу: «Фреге в основном интересовался анализом мышления и использовал свое исчисление в первую очередь для вывода арифметики из чистой логики», тогда как Пеано «больше интересовался ее приложениями в математике». Но «Это был только [Рассел] Principia Mathematica в полной мере использовался новый метод вывода больших частей математики из очень небольшого числа логических понятий и аксиом. Кроме того, молодая наука обогатилась новым инструментом - абстрактной теорией отношений »(с. 120-121).

Клини, 1952, утверждает это так: «Лейбниц (1666) впервые задумал логику как науку, содержащую идеи и принципы, лежащие в основе всех других наук. Дедекинд (1888) и Фреге (1884, 1893, 1903) занимались определением математических понятий в терминах логических, и Пеано (1889, 1894–1908) в выражении математических теорем в логическом символизме »(стр. 43); в предыдущем абзаце он включает Рассела и Уайтхеда в качестве примеров «логической школы», две другие «основополагающие» школы - это интуиционистская и «формалистическая или аксиоматическая школа» (стр. 43).

Фреге 1879 г. описывает свои намерения в Предисловии к его 1879 г. Begriffsschrift: Он начал с рассмотрения арифметики: произошло ли это из «логики» или «фактов опыта»?

«Сначала мне нужно было выяснить, как далеко можно продвинуться в арифметике с помощью одних только умозаключений при единственной поддержке тех законов мышления, которые выходят за рамки всех частностей. Моим первым шагом была попытка свести концепцию упорядочения в последовательности к этому. из логичный следствие, чтобы перейти оттуда к понятию числа. Чтобы ничего интуитивного не могло проникнуть сюда незамеченным, мне пришлось приложить все усилия, чтобы в цепочке выводов не было пробелов. . . Я обнаружил, что неадекватность языка является препятствием; независимо от того, насколько громоздкие выражения я был готов принять, по мере того, как отношения становились все более сложными, я все меньше и меньше мог достичь той точности, которую требовала моя цель. Этот недостаток привел меня к идее нынешней идеографии. Его первая цель, таким образом, состоит в том, чтобы предоставить нам наиболее надежный тест на валидность цепочки умозаключений и указать на каждую предпосылку, которая пытается проникнуть незамеченной »(Frege 1879 in van Heijenoort 1967: 5).

Дедекинд 1887 описывает свои намерения в Предисловии 1887 г. к первому изданию его Природа и значение чисел. Он считал, что «основы простейшей науки, а именно та часть логики, которая имеет дело с теорией чисел» не была должным образом аргументирована - «ничто, способное к доказательству, не должно приниматься без доказательства»:

Говоря об арифметике (алгебре, анализе) как части логики, я имею в виду, что считаю понятие числа полностью независимым от понятий интуиции пространства и времени, что я считаю его непосредственным результатом законов мысли. . . числа - это свободные творения человеческого разума. . . [и] только через чисто логический процесс построения науки чисел. . . готовы ли мы точно исследовать наши представления о пространстве и времени, сопоставляя их с этой числовой областью, созданной в нашем уме »(Dedekind 1887 Dover republication 1963: 31).

Пеано 1889 заявляет о своих намерениях в Предисловии к его 1889 г. Принципы арифметики:

Вопросы, относящиеся к основам математики, хотя многие из них и решаются в последнее время, по-прежнему не имеют удовлетворительного решения. Основная причина трудности - неоднозначность языка. ¶ Вот почему крайне важно внимательно изучать сами слова, которые мы используем. Моя цель состояла в том, чтобы провести этот экзамен »(Peano 1889 in van Heijenoort 1967: 85).

Рассел 1903 описывает свои намерения в Предисловии к его 1903 г. Основы математики:

"Настоящая работа преследует две основные цели. Одна из них, доказательство что вся чистая математика имеет дело исключительно с понятиями, определяемыми в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий, и что все ее предложения выводятся из очень небольшого числа фундаментальных логических принципов »(Preface 1903: vi).

«Несколько слов о происхождении данной работы могут показать важность обсуждаемых вопросов. Около шести лет назад я начал исследование философии динамики ... [Из двух вопросов - ускорение и абсолютное движение в «реляционной теории пространства»] меня привели к пересмотру принципов геометрии, а затем и к философии непрерывности и бесконечности, а затем с целью раскрыть значение слова любой, к символической логике »(Предисловие 1903: vi-vii).

Эпистемология, онтология и логицизм

Дедекинд и Фреге: Эпистемологии Дедекинда и Фреге кажутся менее определенными, чем эпистемология Рассела, но оба кажутся априори обычные «законы мысли» относительно простых пропозициональных утверждений (обычно веры); этих законов было бы достаточно самих по себе, если бы они были дополнены теорией классов и отношений (например, Икс р у) между людьми Икс и у связаны обобщением Р.

«Свободные образования человеческого разума» Дедекинда в противоположность «критике» Кронекера: Аргумент Дедекинда начинается с: «1. В дальнейшем я понимаю под вещь каждый объект нашей мысли »; мы, люди, используем символы для обсуждения этих« вещей »нашего разума;« Вещь полностью определяется всем, что можно утверждать или думать о ней »(стр. 44). В следующем абзаце Дедекинд обсуждает что за "система S есть: это совокупность, многообразие, совокупность связанных элементов (вещей) а, б, c"; он утверждает, что" такая система S . . . как объект нашей мысли тоже вещь (1); это полностью определяется, когда в отношении каждой вещи определяется, является ли она элементом S или нет. * »(стр. 45, курсив добавлен). * указывает на сноску, в которой говорится, что:

"Кронекер не так давно (Журнал Крелля, Vol. 99, стр. 334-336) пытался наложить определенные ограничения на свободное формирование понятий в математике, которые я не считаю оправданными »(стр. 45).

В самом деле, он ожидает, что Кронекер «опубликует свои доводы в пользу необходимости или просто целесообразности этих ограничений» (стр. 45).

Леопольд Кронекер, известный своим утверждением, что «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека»^[7] были его враги, в том числе Гильберт. Гильберт называл Кронекера "догматик, в той мере, в какой он принимает целое число с его существенными свойствами как догму и не оглядывается назад "^[8] и приравнял свою крайнюю конструктивистскую позицию к позиции Брауэра интуиционизм, обвиняя обоих в «субъективизме»: «Это часть задачи науки - освободить нас от произвола, сантиментов и привычек и защитить нас от субъективизма, который уже проявился во взглядах Кронекера и, как мне кажется, находит свое кульминация в интуиционизме ».^[9] Затем Гильберт заявляет, что «математика - наука без предпосылок. Чтобы основать ее, мне не нужен Бог, как это делает Кронекер…». (стр. 479).

Рассел как реалист: Рассела Реализм служил ему противоядием от британских Идеализм,^[10] с порциями, заимствованными из европейских Рационализм и британский эмпиризм.^[11] Начнем с того, что «Рассел был реалистом по двум ключевым вопросам: универсалии и материальные объекты» (Russell 1912: xi). Для Рассела таблицы - это реальные вещи, которые существуют независимо от Рассела-наблюдателя. Рационализм внесет вклад в понятие априори знание,^[12] в то время как эмпиризм внесет вклад в роль эмпирического знания (индукция из опыта).^[13] Рассел доверил бы Канту идею «априорного» знания, но он предлагает возражение Канту, которое он считает «фатальным»: «Факты [мира] всегда должны соответствовать логике и арифметике. Чтобы сказать, что логика и арифметика являются внесенный нами, не учитывает это »(1912: 87); Рассел заключает, что априори знание, которым мы обладаем, касается «вещей, а не только мыслей» (1912: 89). И в этом эпистемология Рассела кажется отличной от эпистемологии Дедекинда, что «числа являются свободными творениями человеческого разума» (Dedekind 1887: 31)^[14]

Но его эпистемология о врожденном (он предпочитает слово априори применительно к логическим принципам, ср. 1912: 74) сложен. Он решительно, недвусмысленно выразил поддержку Платонический «универсалии» (ср. 1912: 91–118), и он заключает, что истина и ложь находятся «где-то там»; умы создают верования и то, что делает убеждение истинным, является фактом, «и этот факт (за исключением исключительных случаев) не затрагивает разум человека, который имеет веру» (1912: 130).

Откуда у Рассела эти эпистемологические понятия? Он рассказывает нам в предисловии к своей книге 1903 года. Основы математики. Обратите внимание, что он утверждает, что убеждение: «Эмили - кролик» не существует, и все же истинность этого несуществующего утверждения не зависит от любого знающего ума; если Эмили действительно кролик, факт этой истины существует независимо от того, жив или мертв Рассел или любой другой разум, и отношение Эмили к кроличьей шкуре «окончательное»:

«По фундаментальным вопросам философии моя позиция, во всех ее основных чертах, исходит от мистера Дж. Э. Мура. Я принял от него несуществующий характер предложений (кроме тех, которые утверждают существование) и их независимость от любого знания. разум; также плюрализм, который рассматривает мир, как существующий, так и мир сущностей, как составленный из бесконечного числа взаимно независимых сущностей с отношениями, которые являются окончательными и не сводятся к прилагательным их терминов или целого, которые эти составить ... Только что упомянутые доктрины, на мой взгляд, совершенно необходимы для любой, даже сносно удовлетворительной философии математики, как я надеюсь, следующие страницы покажут ... Формально мои посылки просто предполагаются; но тот факт, что они допускают, чтобы математика была истинной, чего не признают большинство современных философий, что, несомненно, является мощным аргументом в их пользу ». (Предисловие 1903: viii)

Парадокс Рассела: В 1902 году Рассел обнаружил «порочный круг» (Парадокс Рассела ) в Фреге Grundgesetze der Arithmetik, выведенный из Основного закона V Фреге, и он был полон решимости не повторять его в своей книге 1903 г. Основы математики. В двух приложениях, добавленных в последнюю минуту, он посвятил 28 страниц как подробному анализу теории Фреге, в отличие от его собственной, так и исправлению парадокса. Но он не был оптимистичен по поводу результата:

«В случае классов, я должен признаться, я не смог воспринять ни одной концепции, удовлетворяющей условиям, необходимым для понятия класса. И противоречие, обсуждаемое в главе x. Доказывает, что что-то не так, но что это такое, я до сих пор терпел неудачу открыть. (Предисловие к Russell 1903: vi) "

«Художественная литература» и неклассовая теория Рассела: Гедель в его 1944 году не согласился бы с молодым Расселом 1903 года («[мои предположения] позволяют математике быть правдой»), но, вероятно, согласился бы с приведенным выше утверждением Рассела («что-то не так»); Теория Рассела не смогла прийти к удовлетворительному обоснованию математики: результат был «по существу отрицательным; т.е. классы и концепции, введенные таким образом, не обладают всеми свойствами, необходимыми для использования математики» (Gödel 1944: 132).

Как Рассел оказался в этой ситуации? Гёдель замечает, что Рассел - удивительный «реалист» с изюминкой: он цитирует работу Рассела 1919: 169 «Логика имеет такое же отношение к реальному миру, как и зоология» (Gödel 1944: 120). Но он отмечает, что «когда он приступил к конкретной проблеме, объекты, подлежащие анализу (например, классы или предложения), вскоре по большей части превратились в« логические фикции »... [имея в виду] только то, что у нас нет прямого восприятия их." (Гёдель 1944: 120)

В наблюдении, относящемся к логицизму Рассела, Перри отмечает, что Рассел прошел через три фазы реализма: крайний, умеренный и конструктивный (Perry 1997: xxv). В 1903 году он был в своей крайней фазе; к 1905 году он будет в умеренной фазе. Через несколько лет он «откажется от физических или материальных объектов в качестве основных элементов обстановки мира. Он попытается построить их из чувственных данных» в своей следующей книге. Наши знания о внешнем мире [1914] »(Perry 1997: xxvi).

Эти конструкции в том, что Гедель 1944 назвал бы "номиналистический конструктивизм. . . что лучше было бы назвать художественная литература «происходит от« более радикальной идеи Рассела, теории бесклассов »(стр. 125):

"в соответствии с какими классами или концепциями никогда существуют как реальные объекты, и предложения, содержащие эти термины, имеют смысл только в том случае, если их можно интерпретировать как. . . способ говорить о другом »(с. 125).

Подробнее см. Ниже в разделах «Критика».

Пример логицистской конструкции натуральных чисел: конструкция Рассела в Начала

Логицизм Фреге и Дедекинда подобен логицизму Рассела, но с различиями в деталях (см. Критические замечания ниже). В целом логики-выводы натуральных чисел отличаются от выводов, например, из аксиом Цермело теории множеств («Z»). Принимая во внимание, что в производных от Z, одно определение «числа» использует аксиому этой системы - аксиома спаривания - что приводит к определению «упорядоченной пары» - нет явный Числовая аксиома существует в различных системах аксиом логики, позволяющих выводить натуральные числа. Обратите внимание, что аксиомы, необходимые для получения определения числа, в любом случае могут различаться в разных системах аксиом теории множеств. Например, в ZF и ZFC аксиома спаривания и, следовательно, в конечном итоге понятие упорядоченной пары выводится из аксиомы бесконечности и аксиомы замещения и требуется в определении чисел фон Неймана (но не в формуле Цермело. числительные), тогда как в NFU числа Фреге могут быть получены аналогично их происхождению в Grundgesetze.

В Начала, как и его предшественник Grundgesetze, начинает свое построение чисел с примитивных предложений, таких как «класс», «пропозициональная функция», и, в частности, отношений «подобия» («равнодоступность»: размещение элементов коллекций во взаимно однозначном соответствии) и « упорядочивание "(с использованием отношения" преемник "для упорядочивания коллекций равнодействующих классов)".^[15] Логицистический вывод приравнивает Количественные числительные построен таким образом, к натуральным числам, и эти числа в конечном итоге имеют один и тот же "тип" - как классы классов - тогда как в некоторых теоретических построениях множеств - например, числах фон Нейммана и Цермело - каждое число имеет своего предшественника в качестве подмножества . Клини замечает следующее. (Предположения Клини (1) и (2) утверждают, что 0 обладает свойством п и п+1 есть собственность п в любое время п имеет собственность п.)

"Точка зрения здесь сильно отличается от точки зрения [Кронекера] о том, что" Бог создал целые числа "плюс Аксиомы Пеано числа и математической индукции], где мы предположили интуитивную концепцию последовательности натуральных чисел и вывели из нее принцип, что всякий раз, когда определенное свойство п натуральных чисел задано так, что (1) и (2), то любое данное натуральное число должно обладать свойством п. »(Клини 1952: 44).

Важность логицистской программы построения натуральных чисел проистекает из утверждения Рассела о том, что «вся традиционная чистая математика может быть получена из натуральных чисел - это довольно недавнее открытие, хотя о нем давно подозревали» (1919: 4). Один вывод настоящий числа происходит от теории Дедекинд сокращает на рациональных числах, рациональные числа, в свою очередь, выводятся из натуральных. Хотя пример того, как это делается, полезен, в первую очередь он основан на выводе натуральных чисел. Итак, если при логическом выводе натуральных чисел возникают философские трудности, этих проблем должно быть достаточно, чтобы остановить программу, пока они не будут решены (см. Критические замечания ниже).

Одна попытка построить натуральные числа обобщена Бернейсом 1930–1931 гг.^[16] Но вместо того, чтобы использовать краткую информацию Берне, которая неполна в некоторых деталях, ниже приводится попытка перефразировать конструкцию Рассела, включая некоторые ограниченные иллюстрации:

Предварительные мероприятия

Для Рассела коллекции (классы) - это совокупность «вещей», определяемых собственными именами, которые возникают в результате предложений (утверждения фактов о вещи или вещах). Рассел проанализировал это общее понятие. Он начинает с «терминов» в предложениях, которые он анализирует следующим образом:

Условия: Для Рассела «термины» - это либо «вещи», либо «концепции»: «Все, что может быть объектом мысли, или может встречаться в любом истинном или ложном предложении, или может считаться одним, я называю срок. Таким образом, это самое широкое слово в философском словаре. Я буду использовать как синонимы слова «единица», «индивид» и «сущность». Первые два подчеркивают тот факт, что каждый термин является одним, а третий выводится из того факта, что каждый термин существует, то есть в некотором смысле. Человек, момент, число, класс, отношение, химера или что-либо еще, что можно упомянуть, обязательно будет термином; и отрицать, что такой-то термин является термином, всегда должно быть ложным »(Russell 1903: 43)

Вещи обозначаются именами собственными; понятия обозначаются прилагательными или глаголами: "Среди терминов можно выделить два вида, которые я буду называть соответственно вещи и концепции; первые - термины, обозначенные собственными именами, вторые - термины, обозначенные всеми другими словами. . . Среди понятий, опять же, необходимо различать по крайней мере два вида, а именно обозначенные прилагательными и обозначенные глаголами »(1903: 44).

Понятия-прилагательные - это «предикаты»; концепт-глаголы - это "отношения": «Первый вид часто будет называться предикатами или классовыми понятиями; последние всегда или почти всегда являются отношениями». (1903: 44)

Понятие "переменного" субъекта, появляющегося в предложении: "Я буду говорить о термины предложения как те термины, сколь бы многочисленны они ни были, которые встречаются в предложении и могут рассматриваться как субъекты, о которых идет речь. Характерной чертой условий предложения является то, что любой из них может быть заменен любым другим объектом без того, чтобы мы перестали иметь предложение. Таким образом, мы скажем, что предложение «Сократ - человек» имеет только один термин; из оставшихся компонентов предложения один - глагол, другой - сказуемое ... . Таким образом, предикаты - это понятия, отличные от глаголов, которые встречаются в предложениях, имеющих только один термин или подлежащее »(1903: 45).

Правда и ложь: Предположим, кто-то должен указать на объект и сказать: «Этот объект передо мной по имени« Эмили »- женщина». Это утверждение, утверждение веры говорящего, которое должно быть проверено на «фактах» внешнего мира: «Умы не Создайте правда или ложь. Они создают убеждения. . . то, что делает веру правдой, - это факт, и этот факт (за исключением исключительных случаев) никоим образом не затрагивает разум человека, имеющего веру »(1912: 130). Если, исследуя высказывание и переписку с« фактом », Рассел обнаруживает, что Эмили кролик, то его высказывание считается «ложным»; если Эмили - женщина-человек (женщина, «двуногая без перьев», как Рассел любит называть людей, следуя Диоген Лаэртиус анекдот о Платоне), то его высказывание считается "правдивым".

Классы (агрегаты, комплексы): «Класс, в отличие от понятия класса, есть сумма или соединение всех терминов, имеющих данный предикат» (1903, стр. 55). Классы могут быть определены расширением (перечислением их членов) или интенсификацией, то есть «пропозициональной функцией», такой как «x is a u» или «x is v». Но «если мы возьмем расширение в чистом виде, наш класс определяется перечислением его терминов, и этот метод не позволит нам иметь дело, как это делает символическая логика, с бесконечными классами. Таким образом, наши классы в общем должны рассматриваться как объекты, обозначаемые концепциями. , и в этом смысле важна точка зрения интенсификации ». (1909, с. 66)

Пропозициональные функции: «Отличительной чертой концепции класса, в отличие от терминов в целом, является то, что« x есть u »является пропозициональной функцией тогда и только тогда, когда u является концепцией класса». (1903: 56)

Экстенсиональное и интенсиональное определение класса: "71. Класс может быть определен экстенсионально или интенсионально. Иными словами, мы можем определить вид объекта, который является классом, или вид концепции, обозначающей класс: это точное значение оппозиции расширения и интенсионал в этой связи.Но хотя общее понятие может быть определено таким двояким образом, отдельные классы, за исключением тех случаев, когда они оказываются конечными, могут быть определены только интенсионально, то есть как объекты, обозначаемые такими-то понятиями. ... логически; экстенсиональное определение, кажется, в равной степени применимо к бесконечным классам, но на практике, если бы мы попытались это сделать, Смерть прервала бы наши похвальные усилия, прежде чем они достигли своей цели »(1903: 69).

Определение натуральных чисел

В Приниципии натуральные числа происходят от все предложения, которые можно утверждать о любой коллекция сущностей. Рассел поясняет это во втором (выделенном курсивом) предложении ниже.

"Во-первых, числа сами по себе составляют бесконечную коллекцию и поэтому не могут быть определены с помощью перечисления. Во-вторых, коллекции, имеющие заданное количество терминов, сами по-видимому, образуют бесконечную коллекцию: можно предположить, например, что существует бесконечная коллекция троек в мире., потому что, если бы это было не так, общее количество вещей в мире было бы конечным, что, хотя и возможно, кажется маловероятным. В-третьих, мы хотим определить «число» таким образом, чтобы было возможно бесконечное число; таким образом, мы должны иметь возможность говорить о количестве терминов в бесконечном наборе, и такой набор должен определяться интенсификацией, то есть свойством, общим для всех его членов и свойственным им »(1919: 13).

Для иллюстрации рассмотрим следующий конечный пример: Предположим, что на улице 12 семей. У кого-то есть дети, у кого-то нет. Чтобы обсудить имена детей в этих семьях, требуется 12 утверждений "имя ребенка - имя ребенка в семье Fn, "примененное к этой совокупности домохозяйств на определенной улице семей с именами F1, F2, ... F12. Каждое из 12 предложений касается того, является ли" аргумент "или нет. имя ребенка применяется к ребенку в конкретной семье. Имена детей (имя ребенка) можно рассматривать как x в пропозициональной функции f (x), где функция - это «имя ребенка в семье с именем Fn».^{[17][оригинальное исследование? ]}

Шаг 1. Соберите все классы: Принимая во внимание, что предыдущий пример конечен над конечной пропозициональной функцией "детские имена детей в семье Fn '"на конечной улице конечного числа семей Рассел, по-видимому, намеревался распространить следующее на все пропозициональные функции, простирающиеся на бесконечную область, чтобы позволить создание всех чисел.

Клини считает, что Рассел изложил непредсказуемый определение, которое ему придется разрешить, иначе он рискнет получить что-то вроде Парадокс Рассела. «Здесь вместо этого мы предполагаем совокупность всех свойств количественных чисел, существующих в логике, до определения последовательности натуральных чисел» (Kleene 1952: 44). Проблема возникнет даже в представленном здесь конечном примере, когда Рассел имеет дело с классом единиц (ср. Russell 1903: 517).

Возникает вопрос, что именно «класс» является или должно быть. Для Дедекинда и Фреге класс - это самостоятельная сущность, «единство», которое может быть отождествлено со всеми теми сущностями x, которые удовлетворяют некоторой пропозициональной функции F. (Этот символизм появляется у Рассела, приписываемого Фреге: суть функции - это то, что остается, когда Икс убирается, т.е. в приведенном выше примере 2 ()³ + (). Аргумент Икс не принадлежит функции, но оба вместе составляют единое целое (там же, стр. 6 [т.е. Фреге 1891 г. Функция и побуждение] »(Russell 1903: 505).) Например, определенному« единству »можно дать имя; предположим, что в семье Fα есть дети с именами Энни, Барби и Чарльз:

{а, б, в}_Fα

Это понятие коллекции или класса как объекта при использовании без ограничений приводит к Парадокс Рассела; подробнее о предварительные определения. Решение Рассела состояло в том, чтобы определить понятие класса как только те элементы, которые удовлетворяют предложению, его аргумент состоял в том, что, действительно, аргументы Икс не принадлежат к пропозициональной функции, известной как «класс», созданной функцией. Сам класс не должен рассматриваться как самостоятельный унитарный объект, он существует только как своего рода полезная фикция: «Мы избегали решения относительно того, существует ли класс вещей в каком-либо смысле как один объект. Решение этого вопроса в любом случае безразлично для нашей логики »(Первое издание Principia Mathematica 1927:24).

Рассел продолжает придерживаться этого мнения в 1919 году; обратите внимание на слова «символическая фикция»:^{[оригинальное исследование? ]}

"Когда мы решили, что классы не могут быть вещами того же типа, что и их члены, что они не могут быть просто кучей или агрегатами, а также что их нельзя отождествлять с пропозициональными функциями, становится очень трудно увидеть, какими они могут быть, если они должны быть больше чем символические вымыслы. И если мы найдем способ справиться с ними как символические вымыслы, мы повышаем логическую безопасность нашей позиции, так как мы избегаем необходимости предполагать, что классы существуют, не будучи принужденными делать противоположное предположение об отсутствии классов. Мы просто воздерживаемся от обоих предположений. . . . Но когда мы отказываемся утверждать, что классы существуют, нельзя предполагать, что мы догматически утверждаем, что их нет. Мы просто агностики по отношению к ним. . .. »(1919: 184)

А во втором издании ВЕЧЕРА (1927) Рассел считает, что «функции возникают только через свои значения, ... все функции функций являются экстенсиональными, ... [и], следовательно, нет причин проводить различие между функциями и классами ... Таким образом, классы в отличие от классов. функции теряют даже то призрачное существо, которое они сохраняют в * 20 "(стр. xxxix). Другими словами, классы как отдельное понятие вообще исчезли.

Шаг 2. Соберите «похожие» классы в «связки» : Эти вышеупомянутые коллекции могут быть помещены в "бинарное отношение" (сравнение для) сходства посредством "равнодоступности", обозначенного здесь символом ≈, т.е. однозначное соответствие элементов,^[18] тем самым создавая расселловские классы классов или то, что Рассел называл «связками». «Мы можем предположить, что все пары в одном наборе, все тройки - в другом и т. Д. Таким образом мы получаем различные связки коллекций, каждый набор состоит из всех наборов, содержащих определенное количество элементов. Каждый набор представляет собой класс, члены являются коллекциями, то есть классами; таким образом, каждый является классом классов »(Russell 1919: 14).

Шаг 3. Определите нулевой класс: Обратите внимание, что определенный класс классов является особенным, потому что его классы не содержат элементов, т.е. ни один элемент не удовлетворяет предикатам, утверждение которых определило этот конкретный класс / коллекцию.

Результирующая сущность может называться «нулевым классом» или «пустым классом». Рассел символизировал нулевой / пустой класс с Λ. Так что же такое нулевой класс Рассела? В ВЕЧЕРА Рассел говорит, что "класс считается существовать когда в нем есть хотя бы один член. . . класс, не имеющий членов, называется «нулевым классом». . . «α является нулевым классом» эквивалентно «α не существует». Естественно возникает вопрос, существует ли сам нулевой класс? Трудности, связанные с этим вопросом, возникают в работе Рассела 1903 года.^[19] После того, как он обнаружил парадокс в Фреге Grundgesetze он добавил Приложение А к своему 1903 году, где, анализируя природу классов null и unit, он обнаружил необходимость в «доктрине типов»; подробнее о классе юнитов, проблеме предварительные определения и «принцип порочного круга» Рассела ниже.^[19]

Шаг 4. Присвойте каждому набору "цифру": В целях сокращения и идентификации каждому набору присваивается уникальный символ (он же «цифра»). Эти символы произвольные.

Шаг 5: Определите "0" Вслед за Фреге Рассел выбрал пустую или ноль class классов в качестве подходящего класса для выполнения этой роли, поскольку это класс классов, не имеющих членов. Этот нулевой класс классов может быть помечен как «0».

Шаг 6. Определите понятие «преемник»: Рассел определил новую характеристику «наследственную» (ср. «Наследственную» Фреге), свойство определенных классов со способностью «наследовать» характеристику от другого класса (который может быть классом классов), т.е. быть «наследственным» в ряду натуральных чисел, если, когда бы оно ни принадлежало числу п, он также принадлежит п+1, преемник п»(1903: 21). Он утверждает, что« натуральные числа являются потомство - «дети», наследники «наследника» - 0 по отношению к отношению «непосредственный предшественник (которое является обратным от« наследника ») (1919: 23).

Примечание. Рассел использовал здесь несколько слов без определения, в частности «числовой ряд», «число n» и «преемник». Он определит их в должное время. В частности, обратите внимание, что Рассел не использует единичный класс классов «1» для построения преемника.. Причина в том, что в подробном анализе Рассела^[20] если единичный класс становится самостоятельной сущностью, то он тоже может быть элементом в своем собственном предложении; это приводит к тому, что предложение становится «непредсказуемым» и приводит к «порочному кругу». Напротив, он заявляет: «В главе II мы видели, что кардинальное число должно быть определено как класс классов, а в главе III - что число 1 должно определяться как класс всех классов единиц, всего, что имеет только один член, как мы должны сказать, но для порочного круга. Конечно, когда число 1 определяется как класс всех классов единиц, классы единиц должен быть определен так, чтобы не предполагать, что мы знаем, что подразумевается под один (1919:181).

В своем определении правопреемника Рассел будет использовать для своей «единицы» отдельное лицо или «термин» следующим образом:

«Осталось определить« преемника ». Дано любое количество п позволять α быть классом, который п члены, и пусть Икс быть термином, который не является членом α. Тогда класс, состоящий из α с Икс добавлено будет иметь +1 члены. Таким образом, мы имеем следующее определение:

преемником числа членов в классе α является количество членов в классе, состоящем из α вместе с x, где x не является любым членом, принадлежащим классу." (1919:23)

Определение Рассела требует нового «термина», который «добавляется» в коллекции внутри пакетов.

Шаг 7. Создайте преемника нулевого класса.

Шаг 8: Создайте преемника для каждого класса равноправных классов..

Шаг 9: Закажите номера: Процесс создания преемника требует отношения «... является преемником ...», которое может быть обозначено «S» между различными «цифрами». "Теперь мы должны рассмотреть серийный символ натуральных чисел в порядке 0, 1, 2, 3,. . . Обычно мы думаем о числах в этом порядке, и поиск определения «порядка» или «серии» в логических терминах является важной частью работы по анализу наших данных. . . . Порядок лежит не в учебный класс терминов, но в отношениях между членами класса, в отношении которых некоторые появляются как раньше, а некоторые как позже »(1919: 31)

Рассел применяет к понятию «упорядочивающее отношение» три критерия: во-первых, он определяет понятие «асимметрии», т. Е. Учитывая такое отношение, как S («... является преемником ...») между двумя терминами x, и y: x S y ≠ y S x. Во-вторых, он определяет понятие «транзитивность» для трех чисел x, y и z: если x S y и y S z, то x S z. В-третьих, он определяет понятие «связного»: «Для любых двух терминов класса, который должен быть упорядочен, должен быть один, который предшествует, а другой - последующий ... Отношение связано, когда при любых двух различных с точки зрения его поля [как область, так и обратная область отношения, например, мужья и жены в отношениях, состоящих в браке], отношение имеет место между первым и вторым или между вторым и первым (не исключая возможности того, что оба могут произойти, хотя и то, и другое не может произойти, если отношение асимметрично) (1919: 32)

Он заключает: «... [натуральное] число м считается меньше другого числа п когда n обладает всеми наследственными свойствами, которыми обладает наследник м. Легко увидеть и нетрудно доказать, что отношение «меньше чем», определенное таким образом, является асимметричным, транзитивным и связным и имеет [натуральные] числа для своего поля [т.е. и область, и обратная область суть числа] »(1919: 35)

Критика

Презумпция `` внелогичного '' понятия итерации: Клини отмечает, что «логицистический тезис может быть окончательно подвергнут сомнению на том основании, что логика уже предполагает математические идеи в своей формулировке. С интуиционистской точки зрения существенное математическое ядро ​​содержится в идее итерации» (Kleene 1952: 46)

Бернейс 1930–1931 замечает, что это понятие «две вещи» уже предполагает нечто, даже без утверждения существования двух вещей, а также без ссылки на предикат, который применяется к двум вещам; оно означает просто «вещь и еще одна вещь ...» В отношении этого простого определения понятие Числа оказывается элементарным структурная концепция . . . Утверждение логиков о том, что математика - это чисто логическое знание, оказывается размытым и вводящим в заблуждение при более близком рассмотрении теоретической логики. . . . [можно расширить определение «логического»], однако с помощью этого определения скрывается то, что является эпистемологически существенным, а то, что свойственно математике, упускается из виду »(Mancosu 1998: 243).

Гильберт 1931: 266-7, как и Бернейс, считает, что в математике есть «что-то экстралогичное»: «Помимо опыта и мысли, есть еще третий источник знания. Даже если сегодня мы больше не можем соглашаться с Кантом в деталях. , тем не менее самая общая и фундаментальная идея кантовской эпистемологии сохраняет свое значение: установить интуитивное априори образ мышления, и тем самым исследовать состояние возможности всякого знания. На мой взгляд, именно это и происходит в моих исследованиях принципов математики. В априори здесь есть не что иное, как основной способ мышления, который я также называю конечным способом мышления: что-то уже дано нам заранее в нашей способности представления: определенное экстралогичные конкретные объекты которые интуитивно существуют как непосредственный опыт, предшествующий всякой мысли. Если логический вывод должен быть определенным, то эти объекты должны быть полностью обозримыми во всех их частях, и их представление, их различия, их следование друг за другом или их расположение рядом друг с другом немедленно и интуитивно даются нам вместе с объекты, как нечто, что ни к чему другому не может быть сведено и не нуждается в такой редукции »(Hilbert 1931 in Mancosu 1998: 266, 267).

Короче говоря, согласно Гильберту и Бернейсу, понятие «последовательность» или «преемник» - это априори понятие, лежащее за пределами символической логики.

Гильберт отверг логицизм как «ложный путь»: «Некоторые пытались определить числа чисто логически; другие просто считали обычные теоретико-числовые способы вывода самоочевидными. На обоих путях они сталкивались с препятствиями, которые оказались непреодолимыми». (Гильберт 1931 в Mancoso 1998: 267). Теоремы о неполноте, возможно, представляют собой аналогичное препятствие для гильбертовского финитизма.

Манкосу утверждает, что Брауэр пришел к выводу, что «классические законы или принципы логики являются частью [] воспринимаемой закономерности [в символическом представлении]; они выводятся из постфактумной записи математических построений… Теоретическая логика… [[] является] эмпирической наукой и приложением математики »(цитата Брауэра: Mancosu 1998: 9).

Гёдель 1944: С уважением к технический аспекты расселловского логицизма, как он проявляется в Principia Mathematica (любое издание), Гёдель был разочарован:

"Следует сожалеть о том, что этому первому всеобъемлющему и исчерпывающему изложению математической логики и выведению из нее математики [?] Так сильно не хватает формальной точности в основах (содержащихся в * 1– * 21 из Начала), что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Чего не хватает, прежде всего, так это точного определения синтаксиса формализма »(см. Сноску 1 в Gödel 1944 Собрание сочинений 1990:120).

В частности, он указал, что «дело особенно сомнительно для правила замены и замены определенных символов их Definiens"(Рассел 1944: 120)

Что касается философии, которая могла бы лежать в основе этих оснований, Гёдель считал «неклассовую теорию» Рассела воплощением «номиналистического вида конструктивизма ... который лучше было бы назвать фикционализмом» (см. Сноску 1 в Gödel 1944: 119) - быть неисправным. См. Больше в разделе «Критика и предложения Гёделя» ниже.

Граттан-Гиннесс: Сложная теория отношений продолжала душить объяснение Рассела 1919 г. Введение в математическую философию и его второе издание 1927 г. Начала. Теория множеств, тем временем, продолжила редукцию отношения к упорядоченной паре множеств. Граттан-Гиннесс отмечает, что во втором издании Начала Рассел проигнорировал это сокращение, которое было достигнуто его собственным учеником Норбертом Винером (1914). Возможно, из-за «остаточного раздражения Рассел вообще не отреагировал».^[21] К 1914 году Хаусдорф дал бы другое, эквивалентное определение, а Куратовский в 1921 году дал бы то, которое используется сегодня.^[22]

Класс единицы, непредсказуемость и принцип порочного круга

Мягкое предикативное определение: Предположим, библиотекарь хочет проиндексировать свою коллекцию в единую книгу (назовите ее Ι для «индекса»). В ее указателе будут перечислены все книги и их расположение в библиотеке. Оказывается, всего три книги, и у них есть названия Ά, β и Γ. Чтобы составить индекс I, она покупает книгу из 200 пустых страниц и маркирует ее «I». Сейчас у нее четыре книги: I, Ά, β и Γ. Ее задача не сложная. По завершении содержание ее указателя I составляет 4 страницы, каждая с уникальным заголовком и уникальным расположением (каждая запись обозначается аббревиатурой Заголовок._Т):

I ← {I.L_я, Ά.L_Ά, β.L_β, Γ.L_Γ}.

Пуанкаре считал, что такое определение "я"непредсказуемый ". Похоже, он считал, что в математике допускаются только предикативные определения:

"определение является предикативным и логически допустимо, только если оно исключает все объекты, которые зависят от определенного понятия, то есть которые могут каким-либо образом определяться им ".^[23]

По определению Пуанкаре индексная книга библиотекаря является «непредикативной», потому что определение I зависит от определения совокупности I, Ά, β и Γ. Как указано ниже, некоторые комментаторы настаивают на том, что непредсказуемость в обычных версиях безвреден, но, как показывают примеры ниже, есть версии, которые не безвредны. В ответ на эти трудности Рассел выступил за строгий запрет, свой «принцип порочного круга»:

«Никакая совокупность не может содержать членов, определяемых только в терминах этой совокупности, или членов, включающих или предполагающих эту совокупность» (принцип порочного круга) »(Gödel 1944, появляющийся в Собрание сочинений Т. II 1990:125).^[24]

Пагубная отрицательность: α = НЕ-α: Чтобы проиллюстрировать, насколько пагубным может быть случай непредсказуемости, рассмотрим последствия ввода аргумента α в функция f с выходом ω = 1 - α. Это можно рассматривать как эквивалент "алгебраическая логика" выражение для «символико-логического» выражения ω = NOT-α, со значениями истинности 1 и 0. Когда вход α = 0, выход ω = 1; когда вход α = 1, выход ω = 0.

Чтобы сделать функцию «непредсказуемой», отождествите вход с выходом, получив α = 1-α

В алгебре, скажем, рациональных чисел уравнение выполняется при α = 0,5. Но внутри, например, булевой алгебры, где разрешены только «значения истинности» 0 и 1, тогда равенство не можешь быть довольным.

Неустранимая ошибка в определении класса юнита: Некоторые трудности в программе логики могут проистекать из парадокса α = НЕ-α.^[25] Рассел открыл в 1879 г. Begriffsschrift^[26] что Фреге позволил функции получать свой входной «функционал» (значение своей переменной) не только из объекта (вещи, члена), но и из собственного выхода функции.^[27]

Как описано выше, конструкции натуральных чисел как у Фреге, так и у Рассела начинаются с образования равномчисленных классов классов («связок»), за которым следует присвоение уникального «числа» каждому связке, а затем размещение связок в порядок через асимметричное отношение S: Икс S у ≠ у S Икс. Но Фреге, в отличие от Рассела, позволил идентифицировать класс классов единиц как саму единицу:

Но, поскольку класс с цифрой 1 является отдельным объектом или единицей, он также должен быть включен в класс классов единиц. Это включение приводит к «бесконечному регрессу» (как назвал его Гёдель) возрастающего «типа» и увеличения содержания.

Рассел избежал этой проблемы, объявив класс чем-то вроде «фикции». Под этим он имел в виду, что класс может обозначать только те элементы, которые удовлетворяют его пропозициональной функции, и ничего больше. Как «фикцию» класс нельзя рассматривать как вещь: сущность, «термин», особенность, «единицу». Это сборка но, с точки зрения Рассела, не является «достойным мелочей»:

"Такой класс ... не вызывает возражений, но его много, а не один. Мы можем, если захотим, обозначить его одним символом: таким образом Икс ε ты будет означать " Икс один из ты 's. "Это не должно рассматриваться как отношение двух терминов, Икс и ты, потому что ты поскольку числовое соединение не является одним термином. . . Таким образом, класс классов будет много-много; каждый из его составных частей будет только множеством и поэтому, можно предположить, ни в каком смысле не может быть единственными составными частями [и т. д.] »(1903: 516).

Это предполагает, что «внизу» каждый отдельный «термин» может быть указан (задан «предикативным» предикатом) для любого класса, для любого класса классов, для класса классов классов и т. Д., Но это вводит новый проблема - иерархия «типов» классов.

Решение проблемы непредсказуемости: иерархия типов

Классы как не объекты, как полезные вымыслы: Gödel 1944: 131 отмечает, что «Рассел приводит две причины против экстенсионального взгляда на классы, а именно существование (1) нулевого класса, который не может быть коллекцией, и (2) единичных классов, которые должны были бы быть быть идентичными со своими отдельными элементами ". Он предполагает, что Рассел должен был рассматривать их как фикцию, но не делает дальнейшего вывода, что все классы (такие как классы классов, определяющие числа 2, 3 и т. д.) являются фикцией.

Но Рассел этого не сделал. После подробного анализа в Приложении А: Логические и арифметические доктрины Фреге в своем 1903 году Рассел заключает:

«Логическая доктрина, которая таким образом навязана нам, состоит в следующем: субъектом предложения может быть не один термин, а по существу множество терминов; так обстоит дело со всеми предложениями, утверждающими числа, отличные от 0 и 1» (1903: 516) .

В следующем примечании формулировка «столько же классов» - класс - это совокупность тех терминов (вещей), которые удовлетворяют пропозициональной функции, но класс не является вещь в себе:

«Таким образом, окончательный вывод состоит в том, что правильная теория классов даже более экстенсиональна, чем теория из главы VI; что столько классов является единственным объектом, всегда определяемым пропозициональной функцией, и что этого достаточно для формальных целей» (1903 г.) : 518).

Это как если бы владелец ранчо собрал весь свой скот (овец, коров и лошадей) в три фиктивных загона (один для овец, один для коров и один для лошадей), которые находятся на его фиктивном ранчо. На самом деле существуют овцы, коровы и лошади (пристройки), но не вымышленные загоны «концепций» и ранчо.^{[оригинальное исследование? ]}

Разветвленная теория типов: функции-порядки и типы аргументов, предикативные функции: Когда Рассел провозгласил все классы - полезные вымыслы, он решил проблему "единичного" класса, но общий проблема никуда не делась; скорее, он появился в новой форме: «Теперь необходимо будет различать (1) термины, (2) классы, (3) классы классов и т. д. до бесконечности; мы должны будем признать, что ни один член одного множества не является членом какого-либо другого множества, и что Икс ε ты требует, чтобы Икс должен быть на один градус ниже, чем набор, на который ты принадлежит. Таким образом Икс ε Икс станет бессмысленным предложением; и таким образом избегается противоречие »(1903: 517).

Это «доктрина типов» Рассела. Чтобы гарантировать, что непредикативные выражения, такие как Икс ε Икс Рассел предположил, что в его логике можно рассматривать как своего рода рабочую гипотезу, что все такие непредикативные определения имеют предикативные определения. Это предположение требует понятий функций - «порядков» и аргументов - «типов». Во-первых, функции (и их классы-расширения, то есть «матрицы») должны быть классифицированы по их «порядку», где функции отдельных лиц имеют порядок 1, функции функций (классы классов) имеют порядок 2 и так далее. Затем он определяет "тип" аргументов функции ("входные данные" функции) как их "диапазон значимости", то есть каковы эти входные данные. α (отдельные лица? классы? классы классов? и т. д.), которые при подключении к f (x) дают значимый результат ω. Обратите внимание, что это означает, что «тип» может иметь смешанный порядок, как показано в следующем примере:

«Джо Ди Маджио и Янки выиграли Мировую Серию 1947 года».

Это предложение можно разбить на два предложения: "Икс выиграл Мировую серию 1947 года "+"у выиграл Мировую серию 1947 года ". Первое предложение означает Икс индивидуальный "Джо Ди Маджио" в качестве входных данных, другой принимает для у совокупность «янки» в качестве входных данных. Таким образом, составное предложение имеет (смешанный) тип 2, смешанный по порядку (1 и 2).

Под «предикативной» Рассел имел в виду, что функция должна быть на порядок выше, чем «тип» ее переменной (переменных). Таким образом, функция (порядка 2), которая создает класс классов, может принимать только аргументы для своей переменной (переменных), которые являются классами (тип 1) и отдельными лицами (тип 0), поскольку это более низкие типы. Тип 3 может принимать только типы 2, 1 или 0 и так далее. Но эти типы могут быть смешаны (например, чтобы это предложение было (вроде) истинным: " z выигравший Мировую серию 1947 года "мог принять индивидуальное участие (тип 0)" Джо Ди Маджио "и / или имена других его товарищей по команде, и он мог принимать класс (тип 1) отдельных игроков «Янки».

Аксиома сводимости: The аксиома сводимости это гипотеза, что любой функция любой порядок может быть сокращен до (или заменен) эквивалентным предикативный функция соответствующего порядка.^[28] Внимательное прочтение первого издания показывает, что n^th Предикативная функция порядка не обязательно должна быть выражена «полностью вниз» как огромная «матрица» или совокупность отдельных атомарных предложений. "Поскольку на практике только относительный типы переменных актуальны; таким образом, самый низший тип, встречающийся в данном контексте, можно назвать типом индивидов »(стр. 161). Но аксиома сводимости предполагает, что в теории возможно сокращение «полностью вниз».

Рассел 1927 отказывается от аксиомы сводимости: Ко 2-му изданию ВЕЧЕРА Однако в 1927 году Рассел отказался от аксиомы сводимости и пришел к выводу, что он действительно принудит любой порядок функций «полностью вниз» к его элементарным предложениям, связанным вместе с логическими операторами:

«Все предложения любого порядка выводятся из матрицы, составленной из элементарных предложений, объединенных посредством черты» (ВЕЧЕРА 1927 Приложение A, стр. 385)

(«Ход» Инсульт Шеффера - принята для 2-го издания PM - единственная логическая функция с двумя аргументами, из которой могут быть определены все другие логические функции.)

Конечным результатом, однако, стал крах его теории. Рассел пришел к обескураживающему выводу: «теория порядковых и кардинальных чисел выживает ... но с иррациональными и действительными числами в целом больше нельзя адекватно обращаться ... Возможно, какая-то еще одна аксиома, менее вызывающая, чем аксиома сводимости. , могли бы дать эти результаты, но нам не удалось найти такую ​​аксиому »(ВЕЧЕРА 1927: xiv).

Гёдель 1944 соглашается, что логицистский проект Рассела зашел в тупик; он, кажется, не согласен с тем, что даже целые числа выжили:

"[Во втором издании] Аксиома сводимости опускается, и здесь прямо указывается, что все примитивные предикаты принадлежат к низшему типу и что единственная цель переменных (и, очевидно, также констант) более высоких порядков и типов состоит в том, чтобы сделать можно утверждать более сложные функции истинности атомарных предложений »(Gödel 1944 in Собрание сочинений:134).

Гёдель, однако, утверждает, что эта процедура, по-видимому, в той или иной форме предполагает арифметику (с. 134). Он делает вывод, что «можно получить целые числа разного порядка» (стр. 134-135); Доказательство Рассела 1927 ВЕЧЕРА Приложение B о том, что «целые числа любого порядка выше 5 совпадают с числами порядка 5», является «неубедительным» и «вопрос о том, может ли (и в какой степени) быть получена теория целых чисел на основе разветвленных иерархия [классы плюс типы] должны рассматриваться как нерешенные в настоящее время ». Гедель пришел к выводу, что в любом случае это не имеет значения, потому что пропозициональные функции порядка п (любой п) должны описываться конечными комбинациями символов (все цитаты и контент взяты со страницы 135).

Критика и предложения Гёделя

Гедель в своей работе 1944 года определяет место, где, по его мнению, логицизм Рассела терпит неудачу, и предлагает предложения по устранению проблем. Он подвергает пересмотру «принцип порочного круга», разбивая его на три части, «определяемые только в терминах», «вовлекающих» и «предполагающих». Это первая часть, которая «делает невозможными предикативные определения и тем самым разрушает вывод математики из логики, осуществленный Дедекиндом и Фреге, и большую часть самой математики». Поскольку, утверждает он, математика полагается на присущую ей непредсказуемость (например, «действительные числа, определенные ссылкой на все действительные числа»), он заключает, что то, что он предложил, является «доказательством того, что принцип порочного круга ложен [скорее], чем что классическая математика ложна »(все цитаты из Gödel 1944: 127).

Теория отсутствия классов Рассела - корень проблемы: Гёдель считает, что непредсказуемость - это не «абсурд», как это проявляется во всей математике. Проблема Рассела проистекает из его «конструктивистского (или номиналистического»^[29]) точка зрения на объекты логики и математики, в частности на предложения, классы и понятия. . . понятие, являющееся символом. . . так что отдельный объект, обозначенный этим символом, предстает просто фикцией »(стр. 128).

В самом деле, теория «некласса» Рассела, заключает Гёдель:

"представляет большой интерес как один из немногих подробно проведенных примеров тенденции к устранению предположений о существовании объектов вне" данных "и замене их конструкциями на основе этих данных.³³. «Данные» здесь следует понимать в относительном смысле; т.е. в нашем случае как логика без предположения о существовании классов и понятий]. Результат в этом случае был по существу отрицательным; т.е. классы и концепции, введенные таким образом, не обладают всеми свойствами, необходимыми для их использования в математике. . . . Все это лишь подтверждение защищенной выше точки зрения, согласно которой логика и математика (так же, как и физика) построены на аксиомах с реальным содержанием, которое невозможно объяснить "(стр. 132)

Он завершает свое эссе следующими предложениями и наблюдениями:

«Следует выбрать более консервативный курс, например, попытаться прояснить значение терминов« класс »и« концепция »и создать последовательную теорию классов и концепций как объективно существующих сущностей. Это курс которые предпринимались при фактическом развитии математической логики и к которым сам Рассел был вынужден приступить в наиболее конструктивных частях своей работы. Основные попытки в этом направлении ... простая теория типов ... и аксиоматика. Теория множеств, обе из которых оказались успешными, по крайней мере, до такой степени, что они позволяют выводить современную математику и в то же время избегают всех известных парадоксов ... seems Кажется разумным подозревать, что это неполное понимание основ который ответственен за тот факт, что математическая логика до сих пор так далеко отставала от высоких ожиданий Пеано и других ... "(стр. 140)

Неологицизм

Неологицизм описывает ряд взглядов, которые их сторонники считают наследниками исходной логической программы.^[30] В более узком смысле, неологицизм можно рассматривать как попытку спасти некоторые или все элементы Фреге программы за счет использования модифицированной версии системы Фреге в Grundgesetze (что можно рассматривать как своего рода логика второго порядка ).

Например, можно заменить Основной закон V (аналогично схема аксиомы неограниченного понимания в наивная теория множеств ) с некоторой «более безопасной» аксиомой, чтобы предотвратить вывод известных парадоксов. Наиболее цитируемым кандидатом на замену BLV является Принцип Юма, контекстное определение '#', данное как '#F = #G, тогда и только тогда, когда есть биекция между F и G '.^[31] Этот вид неологицизма часто называют неофрежеанство.^[32] Сторонники неофрежества включают: Криспин Райт и Боб Хейл, иногда также называемый Шотландская школа или же абстракционистский платонизм,^[33] кто поддерживает форму эпистемический фундаментализм.^[34]

Среди других основных сторонников неологицизма: Бернард Лински и Эдуард Н. Залта, иногда называемый Стэнфорд – Эдмонтонская школа, абстрактный структурализм или же модальный неологицизм кто поддерживает форму аксиоматический метафизика.^[34][32] Модальный неологицизм выводит Аксиомы Пеано в второго порядка модальный теория объектов.^[35][36]

Другой квазинологичский подход был предложен М. Рэндаллом Холмсом. В такой поправке к Grundgesetze, BLV остается неизменным, за исключением ограничения стратифицируемыми формулами в манере Куайна. NF и связанные системы. По сути, все Grundgesetze затем «проходит». Полученная система имеет такую ​​же стойкость, как и Дженсен NFU + Россер Аксиома счета.^[37]

Примечания

Библиография

• Ричард Дедекинд, около 1858 г., 1878 г., Очерки теории чисел, Английский перевод, опубликованный Open Court Publishing Company 1901, Dover публикация 1963, Минеола, Нью-Йорк, ISBN  0-486-21010-3. Содержит два очерка - I. Непрерывность и иррациональные числа с оригинальным предисловием, II. Природа и значение чисел с двумя предисловиями (1887,1893).
• Ховард Ивс, 1990 год, Основы и основные понятия математики, третье издание, Dover Publications, Inc, Минеола, штат Нью-Йорк, ISBN  0-486-69609-X.
• И. Граттан-Гиннесс, 2000 г., Поиски математических корней, 1870–1940: логика, теории множеств и основы математики от Кантора через Рассела до Геделя, Princeton University Press, Принстон, штат Нью-Джерси, ISBN  0-691-05858-X.
• Жан ван Хейеноорт, 1967, От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг., 3-е издание 1976 г., Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN  0-674-32449-8. Включает Фреге 1879 г. Begriffsschrift с комментарием ван Хейенорта, Рассела 1908 г. Математическая логика на основе теории типов с комментариями Уилларда В. Куайна, Цермело 1908 г. Новое доказательство возможности хорошего заказа с комментариями ван Хейеноорта, письмами Рассела Фреге и Фреге к Фреге и т. д.
• Стивен К. Клини, 1971, 1952, Введение в метаматематику 1991 10-е впечатление,, Издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк, ISBN  0-7204-2103-9.
• Марио Ливио Август 2011 г. «Почему математика работает: математика изобретена или открыта? Ведущий астрофизик предполагает, что ответ на тысячелетний вопрос - оба», Scientific American (ISSN 0036-8733), том 305, номер 2, август 2011 г., подразделение Scientific American компании Nature America, Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
• Бертран Рассел, 1903 г., Принципы математики Vol. я, Кембридж: Издательство University Press, Кембридж, Великобритания.
• Паоло Манкосу, 1998 год, От Брауэра до Гильберта: дебаты об основах математики в 1920-е годы, Oxford University Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN  0-19-509632-0.
• Бертран Рассел, 1912 год, Проблемы философии (с введением Джона Перри, 1997 г.), Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  0-19-511552-X.
• Бертран Рассел, 1919 год, Введение в математическую философию, Barnes & Noble, Inc, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  978-1-4114-2942-0. Это нематематический компаньон для Principia Mathematica.

  • Амит Хагар 2005 Вступление Бертрану Расселу, 1919, Введение в математическую философию, Barnes & Noble, Inc, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  978-1-4114-2942-0.

• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, 2-е издание 1927 г. (первое издание 1910–1913 гг.), Principia Mathematica до * 56, 1962 г., Cambridge at the University Press, Cambridge UK, без ISBN. Издание второе, сокращенное до * 56, с Введение во второе издание страницы Xiii-xlvi и новое Приложение A (* 8 Предложения, содержащие очевидные переменные) заменить * 9 Теория очевидных переменных, и Приложение C Истина-функции и другие.

внешняя ссылка

• «Логицизм» в энциклопедии математики