Предикат (математическая логика) - Predicate (mathematical logic)
В математическая логика, а предикат формализация математической концепции утверждение. А утверждение обычно понимается как утверждение, которое может быть истинный или же ложный, в зависимости от значений переменные что в нем происходит. А предикат это правильно сформированная формула что можно оценить как истинный или же ложный в зависимости от значений переменных, которые в нем встречаются. Таким образом, его можно рассматривать как Булевозначная функция.
Предикат состоит из атомарные формулы связаны с логические связки. An атомный формула - это хорошо сформированная формула некоторой математической теории. Основные логические связки: отрицание (нет или же ¬), логическое соединение (и или же ∧), логическая дизъюнкция (или же или же ∨), экзистенциальная количественная оценка (∃) и универсальная количественная оценка (∀); предикаты всегда правда (обозначено истинный или же ⊤) и всегда ложь (обозначено ложный или же ⊥) обычно рассматриваются также как логические связки.
Предикат, не содержащий никаких квантификатор (∃ или же ∀), называется пропозициональная формула. Предикат, в котором все кванторы применяются к отдельным элементам, а не к наборам или предикатам, называется предикатом. предикат первого порядка.
Упрощенный обзор
Неформально сказуемое, часто обозначаемое заглавной буквой римские буквы Такие как , и ,[1] это утверждение, которое может быть истинным или ложным в зависимости от значений его переменных.[2] Его можно рассматривать как оператор или функцию, которая возвращает значение, которое является истинным или ложным в зависимости от его ввода.[3][4] Например, предикаты иногда используются для обозначения членства в множестве: когда мы говорим о множествах, иногда неудобно или невозможно описать набор, перечислив все его элементы. Таким образом, предикат Р (х) будет истинным или ложным, в зависимости от того, Икс принадлежит набору или нет.
Предикат может быть предложением, если заполнитель x определяется доменом или выбором.
Предикаты также часто используются, чтобы говорить о характеристики объектов, определяя набор всех объектов, имеющих какое-либо общее свойство. Например, когда п это предикат на Иксиногда можно сказать п это свойство из Икс. Аналогично обозначение п(Икс) используется для обозначения предложения или утверждения п относительно переменного объекта x. Набор, определяемый п(Икс), также называемый расширением[5] из п, записывается как {Икс | п(Икс)}, а - множество объектов, для которых п правда.
Например, {Икс | Икс является положительным целым числом меньше 4} - это множество {1,2,3}.
Если т является элементом множества {Икс | п(Икс)}, то утверждение п(т) является истинный.
Здесь, п(Икс) называется предикат, и Икс в заполнитель из предложение. Иногда, п(Икс) также называется a (шаблон в роли) пропозициональная функция, поскольку каждый выбор заполнителя Икс производит предложение.
Простая форма предиката - это Логическое выражение, и в этом случае входные данные выражения сами являются логическими значениями, объединенными с помощью логических операций. Точно так же логическое выражение с предикатами входных данных само по себе является более сложным предикатом.
Формальное определение
Точная семантическая интерпретация атомная формула и атомарное предложение будет варьироваться от теории к теории.
- В логика высказываний, атомарные формулы называются пропозициональные переменные.[6] В некотором смысле они нулевые (т.е. 0-арность ) предикаты.
- В логика первого порядка, атомарная формула состоит из предикатный символ применяется к соответствующему количеству терминов.
- В теория множеств, под предикатами понимаются характеристические функции или установить индикаторные функции (т.е. функции от элемента набора к значение истины ). Обозначение конструктора множеств использует предикаты для определения множеств.
- В аутоэпистемическая логика, который отвергает закон исключенного среднего, предикаты могут быть истинными, ложными или просто неизвестный. В частности, данного набора фактов может быть недостаточно для определения истинности или ложности предиката.
- В нечеткая логика, предикаты характеристические функции из распределение вероятностей. То есть строгое определение истинности / ложности предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.
Смотрите также
- Классификация топосов
- Свободные переменные и связанные переменные
- Многоступенчатый предикат
- Непрозрачный предикат
- Логика функтора предиката
- Переменная предиката
- Носитель правды
- Правильная формула
Рекомендации
- ^ «Исчерпывающий список логических символов». Математическое хранилище. 2020-04-06. Получено 2020-08-20.
- ^ Каннингем, Дэниел В. (2012). Логическое введение в доказательство. Нью-Йорк: Спрингер. п. 29. ISBN 9781461436317.
- ^ Хаас, Гай М. "Что если? (Предикаты)". Введение в компьютерное программирование. Фонд Беркли за возможности в сфере ИТ (BFOIT). Архивировано из оригинал 13 августа 2016 г.. Получено 20 июля 2013.
- ^ «Математика | Предикаты и кванторы | Набор 1». Гики. 2015-06-24. Получено 2020-08-20.
- ^ "Логика предикатов | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2020-08-20.
- ^ Лавров Игорь Андреевич; Максимова Лариса (2003). Проблемы теории множеств, математической логики и теории алгоритмов. Нью-Йорк: Спрингер. п. 52. ISBN 0306477122.