Деструктивная дилемма - Destructive dilemma - Wikipedia

Деструктивная дилемма^[1]^[2] это имя действительный правило вывода из логика высказываний. Это вывод что если п подразумевает Q и р подразумевает S и либо Q ложно или S ложно, то либо п или р должно быть ложным. Таким образом, если два условные верны, но один из их последствия ложно, то один из их антецеденты должно быть ложным. Деструктивная дилемма это дизъюнктивный версия модус толленс. Дизъюнктивная версия modus ponens это конструктивная дилемма. Правило деструктивной дилеммы можно сформулировать:

{ displaystyle { frac {P to Q, R to S, neg Q lor neg S} { поэтому neg P lor neg R}}}

где правило таково: везде, где экземпляры " ${ displaystyle P to Q}$ ", " ${ displaystyle R to S}$ ", и " ${ Displaystyle neg Q lor neg S}$ "появляются на строках доказательства", ${ Displaystyle neg P lor neg R}$ "можно разместить на следующей строке.

Формальное обозначение

В деструктивная дилемма правило может быть записано в последовательный обозначение:

{ Displaystyle (п к Q), (р к S), ( отр Q lor neg S) vdash ( neg P lor neg R)}

где ${ displaystyle vdash}$ это металогический символ, означающий, что ${ Displaystyle neg P lor neg R}$ это синтаксическое следствие из ${ displaystyle P to Q}$ , ${ displaystyle R to S}$ , и ${ displaystyle neg Q lor neg S}$ в некоторых логическая система;

и выражается как функционал истины тавтология или теорема логики высказываний:

{ Displaystyle (((п к Q) земля (R к S)) земля ( отр Q лор отр S)) к ( отр П лор отр R)}

где ${ displaystyle P}$ , ${ displaystyle Q}$ , ${ displaystyle R}$ и ${ displaystyle S}$ суждения, выраженные в некоторых формальная система.

Пример естественного языка

Если пойдет дождь, мы останемся внутри.

Если будет солнечно, пойдем гулять.

Либо мы не останемся внутри, либо не пойдем гулять, либо и то, и другое.

Поэтому либо не будет дождя, либо не будет солнечно, либо и то, и другое.

Доказательство


Шаг	Предложение	Вывод
1	${ Displaystyle (A rightarrow B) земля (C rightarrow D)}$	Данный
2	${ displaystyle neg B lor neg D}$	Данный
3	${ Displaystyle B rightarrow neg D}$	Материальное значение (2)
4	${ displaystyle C to D}$	Устранение конъюнкции (1)
5	${ displaystyle neg D rightarrow neg C}$	Транспозиция (4)
6	${ Displaystyle B rightarrow neg C}$	Гипотетический силлогизм (3,5)
7	${ displaystyle A rightarrow B}$	Устранение конъюнкции (1)
8	${ Displaystyle A rightarrow neg C}$	Гипотетический силлогизм (6,7)
9	${ displaystyle neg A lor neg C}$	Материальное значение (8)

Пример доказательства

Правильность этой структуры аргументов можно показать, используя оба условное доказательство (CP) и сокращение до абсурда (RAA) следующим образом:

1.	${ Displaystyle ((P rightarrow Q) И (R rightarrow S)) И ( neg Q vee neg S)}$	(Предположение CP)
2.	${ Displaystyle (P rightarrow Q) и (R rightarrow S)}$	(1: упрощение)
3.	${ displaystyle (P rightarrow Q)}$	(2: упрощение)
4.	${ Displaystyle (R rightarrow S)}$	(2: упрощение)
5.	${ Displaystyle ( neg Q vee neg S)}$	(1: упрощение)
6.	${ Displaystyle neg ( neg P vee neg R)}$	(Предположение RAA)
7.	${ displaystyle neg neg P And neg neg R}$	(6: Закон де Моргана )
8.	${ Displaystyle neg neg P}$	(7: упрощение)
9.	${ Displaystyle neg neg R}$	(7: упрощение)
10.	${ displaystyle P}$	(8: двойное отрицание )
11.	${ displaystyle R}$	(9: двойное отрицание)
12.	${ displaystyle Q}$	(3,10: модус поненс)
13.	${ displaystyle S}$	(4,11: modus ponens)
14.	${ Displaystyle neg neg Q}$	(12: двойное отрицание)
15.	${ displaystyle neg S}$	(5, 14: дизъюнктивный силлогизм )
16.	${ displaystyle S And neg S}$	(13,15: соединение )
17.	${ displaystyle neg P vee neg R}$	(6–16: RAA)

18.	${ displaystyle (((P rightarrow Q) And (R rightarrow S)) And ( neg Q vee neg S))) rightarrow neg P vee neg R}$	(1-17: CP)