Гипотеза области заполнения - Filling area conjecture - Wikipedia

Позволять (M,F) - финслеров диск, изометрически заполняющий свою границу длины 2L. Можно предположить, что M стандартный круглый диск в ℝ², а Метрика Финслера F: ТM = M × ℝ² → [0,+∞) гладкая и сильно выпуклая.^[5] Область Холмса – Томпсона пломбы можно вычислить по формуле

${ displaystyle operatorname {Area} _ { mathrm {HT}} (M, F) = { frac {1} { pi}} iint _ {M} | B_ {x} ^ {*} | , mathrm {d} x_ {0} , mathrm {d} x_ {1}}$

где для каждой точки ${ displaystyle x in M}$, набор ${ Displaystyle B_ {х} ^ {*} substeq mathbb {R} ^ {2}}$ дуальный единичный шар нормы ${ displaystyle F_ {x}}$ (единичный шар двойная норма ${ displaystyle F_ {x} ^ {*}}$), и ${ displaystyle | B_ {x} ^ {*} |}$ его обычная область как подмножество ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$.

Выберите коллекцию ${ displaystyle P = (p_ {i}) _ {0 leq i$ граничных точек, перечисленных в порядке против часовой стрелки. Для каждой точки ${ displaystyle p_ {i}}$, определим на M скалярная функция ${ displaystyle f_ {i} (x) = mathrm {dist} _ {F} (p_ {i}, x)}$. Эти функции обладают следующими свойствами:

• Каждая функция ${ displaystyle f_ {i}: M to mathbb {R}}$ Липшиц на M и поэтому (по Теорема Радемахера ) дифференцируемые в почти каждый точка ${ displaystyle x in M}$.
• Если ${ displaystyle f_ {i}}$ дифференцируема во внутренней точке ${ Displaystyle х в М ^ { circ}}$, то существует единственная кратчайшая из ${ displaystyle p_ {i}}$ к Икс (параметризованная с помощью единицы скорости), которая достигает Икс со скоростью ${ displaystyle v_ {i}}$. Дифференциал ${ displaystyle mathrm {d} _ {x} f_ {i}}$ имеет норму 1 и является единственным ковектором ${ displaystyle varphi in B_ {x} ^ {*}}$ такой, что ${ Displaystyle varphi (v_ {i}) = F_ {x} (v_ {i})}$.
• В каждой точке ${ Displaystyle х в М ^ { circ}}$ где все функции ${ displaystyle f_ {i}}$ дифференцируемы, ковекторы ${ Displaystyle mathrm {d} е_ {я}}$ различны и расположены против часовой стрелки на дуальной единичной сфере ${ displaystyle partial B_ {x} ^ {*}}$. В самом деле, они должны быть разными, потому что разные геодезические не могут достичь ${ displaystyle x}$ с такой же скоростью. Кроме того, если три из этих ковекторов ${ displaystyle mathrm {d} _ {x} f_ {i}, mathrm {d} _ {x} f_ {j}, mathrm {d} _ {x} f_ {k}}$ (для некоторых ${ Displaystyle 0 Leq я$) появились в обратном порядке, затем две из трех кратчайших кривых от точек ${ displaystyle p_ {i}, p_ {j}, p_ {k} in partial M}$ к ${ displaystyle x}$ пересекли бы друг друга, что невозможно.

Таким образом, практически для каждой внутренней точки ${ Displaystyle х в М ^ { circ}}$ковекторы ${ displaystyle mathrm {d} _ {x} f_ {i}}$ - это вершины, перечисленные в порядке против часовой стрелки, выпуклого многоугольника, вписанного в двойственный единичный шар ${ displaystyle B_ {x} ^ {*}}$. Площадь этого многоугольника ${ displaystyle sum _ {i} { frac {1} {2}} mathrm {d} _ {x} f_ {i} wedge mathrm {d} _ {x} f_ {i + 1}}$ (где индекс я +1 вычисляется по модулю п). Следовательно, мы имеем оценку снизу

${ displaystyle c_ {P}: = int _ {M} sum _ {i} { frac {1} {2}} mathrm {d} f_ {i} wedge mathrm {d} f_ {i +1} leq pi , operatorname {Area} _ { mathrm {HT}} (M, F),}$

для области пломбирования. Если мы определим 1-форму ${ displaystyle theta _ {P} = sum _ {i} { frac {1} {2}} f_ {i} , mathrm {d} f_ {i + 1}}$, то мы можем переписать эту нижнюю границу, используя Формула Стокса в качестве

${ displaystyle c_ {P} = int _ {M} mathrm {d} theta _ {P} = int _ { partial M} theta _ {P} = dots = 2L ^ {2} - sum _ {i} delta _ {i} ^ {2} { xrightarrow {P { text {density}}}} 2L ^ {2}}$.

Граничный интеграл, который здесь появляется, определяется в терминах функций расстояния ${ displaystyle f_ {i}}$ ограничен границей, которая не зависят от изометрического заполнения. Следовательно, результат интеграла зависит только от размещения точек. ${ displaystyle p_ {i}}$ по кругу длины 2L. Мы пропустили вычисления и выразили результат через длины ${ displaystyle delta _ {я}}$ каждой граничной дуги против часовой стрелки из точки ${ displaystyle p_ {i}}$ к следующему пункту ${ displaystyle p_ {я + 1}}$. Расчет действителен, только если ${ displaystyle delta _ {i} <{ frac {L} {2}}}$.

Таким образом, наша нижняя оценка площади изометрического заполнения Финслера сходится к ${ displaystyle { frac {1} { pi}} 2L ^ {2}}$ как коллекция ${ Displaystyle P substeq partial M}$ уплотняется. Отсюда следует, что

${ displaystyle operatorname {Area} _ { mathrm {HT}} (M, F) geq { frac {1} { pi}} , 2L ^ {2} = operatorname {Area} ({ текст {полушарие}})}$,

как мы должны были доказать.