Поле алгебраических чисел - Algebraic number field - Wikipedia

В математика, поле алгебраических чисел (или просто числовое поле) F конечный степень (и поэтому алгебраический ) расширение поля из поле из рациональное число Q. Таким образом F это поле, которое содержит Q и имеет конечный измерение когда рассматривается как векторное пространство над Q.

Изучение полей алгебраических чисел и, в более общем плане, алгебраических расширений поля рациональных чисел является центральной темой алгебраическая теория чисел.

Определение

Предпосылки

Понятие поля алгебраических чисел основывается на концепции поле. Поле состоит из набор элементов вместе с двумя операциями, а именно добавление, и умножение, и некоторые предположения о распределении. Ярким примером поля является поле рациональное число, обычно обозначаемый Qвместе с обычными операциями сложения и умножения.

Еще одно понятие, необходимое для определения полей алгебраических чисел: векторные пространства. В той степени, в которой это необходимо здесь, векторные пространства можно рассматривать как состоящие из последовательностей (или кортежи )

(Икс₁, Икс₂, ...)

чьи записи являются элементами фиксированного поля, такого как поле Q. Любые две такие последовательности можно добавить, добавляя записи по одной. Кроме того, любую последовательность можно умножить на один элемент. c фиксированного поля. Эти две операции, известные как векторное сложение и скалярное умножение удовлетворяют ряду свойств, которые служат для абстрактного определения векторных пространств. Векторные пространства могут быть «бесконечномерными», то есть последовательности, составляющие векторные пространства, имеют бесконечную длину. Если, однако, векторное пространство состоит из конечный последовательности

(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п),

векторное пространство называется конечным измерение, п.

Определение

An поле алгебраических чисел (или просто числовое поле) является конечнымстепень расширение поля поля рациональных чисел. Здесь степень означает размерность поля как векторного пространства над Q.

Примеры

• Самое маленькое и основное числовое поле - это поле Q рациональных чисел. Многие свойства числовых полей общего вида моделируются на основе свойств Q.
• В Гауссовские рациональные числа, обозначенный Q(я) (читать как "Q прилегающий я"), образуют первый нетривиальный пример числового поля. Его элементами являются выражения вида

а+би

где оба а и б рациональные числа и я это мнимая единица. Такие выражения можно складывать, вычитать и умножать в соответствии с обычными правилами арифметики, а затем упрощать с использованием тождества

я² = −1.

Явно,

(а + би) + (c + ди) = (а + c) + (б + d)я,

(а + би) (c + ди) = (ac − bd) + (объявление + до н.э)я.

Ненулевые гауссовские рациональные числа обратимый, что видно из тождества

${ displaystyle (a + bi) left ({ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} - { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}) }} i right) = { frac {(a + bi) (a-bi)} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = 1.}$

Отсюда следует, что гауссовские рациональные числа образуют числовое поле, которое является двумерным как векторное пространство над Q.

• В общем, для любого без квадратов целое число ${ displaystyle d}$, то квадратичное поле

${ displaystyle mathbf {Q} { sqrt {d}}}$

- числовое поле, полученное добавлением квадратного корня из ${ displaystyle d}$ в область рациональных чисел. Арифметические операции в этой области определяются аналогично случаю гауссовских рациональных чисел, ${ displaystyle d = -1}$.

• Циклотомическое поле

Q(ζ_п), ζ_п = exp (2πя / п)

числовое поле, полученное из Q путем присоединения примитивного пй корень единства ζ_п. Это поле содержит все сложные пкорни единства и его размер над Q равно φ(п), куда φ это Функция Эйлера.

• В действительные числа, р, а сложные числа, C, - поля, имеющие бесконечную размерность при Q-векторных пространств, следовательно, они нет числовые поля. Это следует из бесчисленность из р и C как наборы, тогда как каждое числовое поле обязательно счетный.
• Набор Q² из заказанные пары рациональных чисел, с поэтапным сложением и умножением является двумерной коммутативной алгеброй над Q. Однако это не поле, поскольку в нем делители нуля:

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

Алгебраичность и кольцо целых чисел

Как правило, в абстрактная алгебра, расширение поля F / E является алгебраический если каждый элемент ж большего поля F это ноль многочлен с коэффициентами е₀, ..., е_м в E:

п(ж) = е_мж^м + е_м−1ж^м−1 + ... + е₁ж + е₀ = 0.

Каждое расширение поля конечной степени является алгебраическим. (Доказательство: для Икс в F, просто рассмотрим 1, Икс, Икс², Икс³, ... - получаем линейную зависимость, т.е.полином, который Икс является корнем из.) В частности, это относится к полям алгебраических чисел, поэтому любой элемент ж поля алгебраических чисел F можно записать как нуль многочлена с рациональными коэффициентами. Следовательно, элементы F также упоминаются как алгебраические числа. Учитывая многочлен п такой, что п(ж) = 0, его можно устроить так, чтобы старший коэффициент е_м равна единице, если при необходимости разделить на нее все коэффициенты. Многочлен с этим свойством известен как монический многочлен. Как правило, у него будут рациональные коэффициенты. Если, однако, все его коэффициенты на самом деле целые числа, ж называется алгебраическое целое число. Любое (обычное) целое число z ∈ Z является целым алгебраическим числом, так как это нуль линейного монического многочлена:

п(т) = т − z.

Можно показать, что любое алгебраическое целое число, которое также является рациональным числом, должно быть на самом деле целым числом, отсюда и название «алгебраическое целое число». Снова используя абстрактную алгебру, в частности понятие конечно порожденный модуль, можно показать, что сумма и произведение любых двух целых алгебраических чисел по-прежнему является целым алгебраическим числом. Отсюда следует, что целые алгебраические числа в F сформировать звенеть обозначенный О_F называется кольцо целых чисел из F. Это подкольцо из (то есть кольцо, содержащееся в) F. Поле не содержит делители нуля и это свойство наследуется любым подкольцом, поэтому кольцо целых чисел F является область целостности. Поле F это поле дробей области целостности О_F. Таким образом можно переключаться между полями алгебраических чисел F и его кольцо целых чисел О_F. Кольца целых алгебраических чисел обладают тремя отличительными свойствами: во-первых, О_F является областью целостности, которая целиком закрытый в своей области дробей F. Во-вторых, О_F это Кольцо Нётериана. Наконец, каждое ненулевое главный идеал из О_F является максимальный или, что то же самое, Измерение Крулля этого кольца одно. Абстрактное коммутативное кольцо с этими тремя свойствами называется Кольцо дедекинда (или же Дедекиндский домен), в честь Ричард Дедекинд, который глубоко изучил кольца целых алгебраических чисел.

Уникальная факторизация

Для общего Кольца дедекинда, в частности кольца целых чисел, существует единственная факторизация идеалы в продукт главные идеалы. Например, идеальный ${ displaystyle (6)}$ в ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}]}$ факторы в основные идеалы как

${ displaystyle (6) = (2,1 + { sqrt {-5}}) (2,1 - { sqrt {-5}}) (3,1 + { sqrt {-5}}) ( 3,1 - { sqrt {-5}})}$

Однако в отличие от ${ displaystyle mathbf {Z}}$ как кольцо целых чисел ${ displaystyle mathbf {Q}}$, кольцо целых чисел собственного расширения ${ displaystyle mathbf {Q}}$ не нужно признавать уникальная факторизация чисел в произведение простых чисел или, точнее, основные элементы. Это происходит уже для квадратичные целые числа, например в ${ displaystyle 1 = O _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-5}})} = mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}]}$, уникальность факторизации не выполняется:

${ displaystyle 6 = 2 cdot 3 = (1 + { sqrt {-5}} cdot (1 - { sqrt {5}})}$

С использованием норма можно показать, что эти две факторизации фактически неэквивалентны в том смысле, что факторы различаются не только на единица измерения в ${ displaystyle O _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-5}})}}$. Евклидовы области уникальные домены факторизации; Например ${ Displaystyle mathbf {Z} [я]}$, кольцо Гауссовские целые числа, и ${ displaystyle mathbf {Z} [ omega]}$, кольцо Целые числа Эйзенштейна, куда ${ displaystyle omega}$ является кубическим корнем из единицы (не равным 1), обладают этим свойством.^[1]

ζ-функции, L-функции и формула номера класса

Неудача уникальной факторизации измеряется номер класса, обычно обозначаемый час, мощность так называемого группа идеального класса. Эта группа всегда конечна. Кольцо целых чисел О_F обладает уникальной факторизацией тогда и только тогда, когда это главное кольцо или, что то же самое, если F имеет класс №1. Учитывая числовое поле, номер класса часто бывает трудно вычислить. В проблема номера класса, возвращаясь к Гаусс, связана с существованием мнимых полей квадратичных чисел (т. е. ${ displaystyle mathbf {Q} { sqrt {-d}}, d geq 1}$) с установленным номером класса. В формула номера класса относится час другим фундаментальным инвариантам F. Это включает Дзета-функция Дедекинда ζ_F(s), функция комплексной переменной s, определяется

${ displaystyle zeta _ {F} (s): = prod _ { mathfrak {p}} { frac {1} {1-N ({ mathfrak {p}}) ^ {- s}}} }$.

(Произведение над всеми простыми идеалами О_F, ${ Displaystyle N ({ mathfrak {p}})}$ обозначает норму простого идеала или, что то же самое, (конечное) число элементов в поле вычетов ${ displaystyle O_ {F} / { mathfrak {p}}}$. Бесконечное произведение сходится только при Re (s)> 1, в общем аналитическое продолжение и функциональное уравнение для дзета-функции необходимы для определения функции для всех sДзета-функция Дедекинда обобщает Дзета-функция Римана в этом ζ_Q(s) = ζ (s).

Формула числа классов утверждает, что ζ_F(s) имеет простой полюс в s = 1 и в этот момент остаток дан кем-то

${ displaystyle { frac {2 ^ {r_ {1}} cdot (2 pi) ^ {r_ {2}} cdot h cdot operatorname {Reg}} {w cdot { sqrt {| D) |}}}}.}$

Здесь р₁ и р₂ классически обозначают количество настоящие вложения и пары сложные вложения из F, соответственно. Кроме того, Reg является регулятор из F, ш количество корни единства в F и D дискриминант F.

L-функции Дирихле L(χ, s) являются более изощренным вариантом ζ (s). Оба типа функций кодируют арифметическое поведение Q и F, соответственно. Например, Теорема Дирихле утверждает, что в любом арифметическая прогрессия

а, а + м, а + 2м, ...

с совмещать а и м, простых чисел бесконечно много. Эта теорема вытекает из того факта, что Дирихле L-функция отлична от нуля при s = 1. Используя гораздо более сложные методы, включая алгебраическая K-теория и Тамагава меры современная теория чисел имеет дело с описанием, хотя и в значительной степени предположительным (см. Гипотеза числа Тамагавы ), значений более общего L-функции.^[2]

Основания для числовых полей

Интегральная основа

An целостная основа для числового поля F степени п это набор

B = {б₁, ..., б_п}

из п целые алгебраические числа в F такое, что каждый элемент кольца целых чисел О_F из F можно однозначно записать как Z-линейное сочетание элементов B; то есть для любого Икс в О_F у нас есть

Икс = м₁б₁ + ... + м_пб_п,

где м_я являются (обычными) целыми числами. Тогда также верно, что любой элемент F можно записать однозначно как

м₁б₁ + ... + м_пб_п,

где сейчас м_я - рациональные числа. Целые алгебраические числа F тогда именно те элементы F где м_я все целые числа.

Работающий локально и используя такие инструменты, как Карта Фробениуса, всегда можно явно вычислить такой базис, и теперь это стандарт для системы компьютерной алгебры иметь встроенные программы для этого.

Основа мощности

Позволять F быть числовым полем степени п. Среди всех возможных баз F (рассматривается как Q-векторное пространство), есть частные, известные как силовые базы, то есть основания вида

B_Икс = {1, Икс, Икс², ..., Икс^п−1}

для какого-то элемента Икс ∈ F. Посредством теорема о примитивном элементе существует такая Икс, называется примитивный элемент. Если Икс можно выбрать в О_F и такой, что B_Икс является основой О_F как бесплатный Z-модуль, затем B_Икс называется интегральная основа мощности, а поле F называется моногенное поле. Пример числового поля, которое не является моногенным, впервые был дан Дедекиндом. Его примером является поле, полученное присоединением корня многочлена Икс³ − Икс² − 2Икс − 8.^[3]

Регулярное представление, след и определитель

Используя умножение в F, элементы поля F может быть представлен п-к-п матрицы

А = А(Икс)=(а_ij)_{1 ≤ я, j ≤ п},

требуя

${ displaystyle xe_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} e_ {j}, quad a_ {ij} in mathbf {Q}.}$

Здесь е₁, ..., е_п фиксированная основа для Fрассматривается как Q-векторное пространство. Рациональные числа а_ij однозначно определяются Икс и выбор основы, поскольку любой элемент F можно однозначно представить как линейная комбинация основных элементов. Этот способ привязки матрицы к любому элементу поля F называется регулярное представительство. Квадратная матрица А представляет собой эффект умножения на Икс в данной базе. Отсюда следует, что если элемент у из F представлен матрицей B, то продукт ху представлен матричный продукт BA. Инварианты матриц, таких как след, детерминант, и характеристический многочлен, зависят исключительно от элемента поля Икс а не на основании. В частности, след матрицы А(Икс) называется след элемента поля Икс и обозначили Tr (Икс), а определитель называется норма из Икс и обозначили N (Икс).

По определению стандартные свойства следов и определителей матриц переносятся на Tr и N: Tr (Икс) это линейная функция из Икс, как выражено Тр (Икс + у) = Tr (Икс) + Tr (у), Тр (λx) = λ Тр (Икс), а норма - мультипликативная однородная функция степени п: N (ху) = N (Икс) N (у), N (λx) = λ^п N (Икс). Здесь λ рациональное число, и Икс, у любые два элемента F.

В форма следа производный билинейная форма определяется с помощью следа, как Tr (Икс у). В интегральная форма следа, целочисленный симметричная матрица определяется как т_ij = Tr (б_яб_j), куда б₁, ..., б_п является неотъемлемой основой для F. В дискриминант из F определяется как det (т). Это целое число, инвариантное свойство поля F, вне зависимости от выбора интегральной основы.

Матрица, связанная с элементом Икс из F может также использоваться для других, эквивалентных описаний алгебраических целых чисел. Элемент Икс из F является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда характеристический многочлен п_А матрицы А связано с Икс - монический многочлен с целыми коэффициентами. Предположим, что матрица А который представляет собой элемент Икс имеет целочисленные записи в некоторой базе е. Посредством Теорема Кэли – Гамильтона, п_А(А) = 0, откуда следует, что п_А(Икс) = 0, так что Икс является целым алгебраическим числом. Наоборот, если Икс является элементом F который является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами, то то же свойство имеет место для соответствующей матрицы А. В этом случае можно доказать, что А является целочисленная матрица в подходящей основе F. Свойство быть алгебраическим целым числом определенный способом, который не зависит от выбора основы в F.

Пример

Учитывать F = Q(Икс), куда Икс удовлетворяет Икс³ − 11Икс² + Икс + 1 = 0. Тогда интегральный базис равен [1, Икс, 1/2(Икс² + 1)], а соответствующая интегральная форма следа имеет вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} 3 & 11 & 61 11 & 119 & 653 61 & 653 & 3589 end {bmatrix}}.}$

Цифра "3" в верхнем левом углу этой матрицы - это след матрицы отображения, определенной первым базисным элементом (1) в регулярном представлении F на F. Этот базовый элемент индуцирует тождественное отображение на 3 -мерное векторное пространство F. След матрицы тождественного отображения в 3-мерном векторном пространстве равен 3.

Определитель этого 1304 = 2³·163, дискриминант поля; по сравнению с корневой дискриминант, или дискриминант полинома, равен 5216 = 2⁵·163.

Места

Математики девятнадцатого века предполагали, что алгебраические числа были разновидностью комплексных чисел.^[4][5] Эта ситуация изменилась с открытием p-адические числа к Hensel в 1897 г .; и теперь принято рассматривать все возможные вложения числового поля F в различные топологические завершение однажды.

А место числового поля F является классом эквивалентности абсолютные значения на F. По сути, абсолютное значение - это понятие для измерения размера элементов. ж из F. Два таких абсолютных значения считаются эквивалентными, если они порождают одно и то же понятие малости (или близости). В целом они делятся на три режима. Во-первых (и в основном это не имеет значения) тривиальное абсолютное значение | |₀, который принимает значение 1 на всех ненулевых ж в F. Второй и третий классы - это места Архимеда и неархимедовы (или ультраметрические) места. Завершение F относительно места дается в обоих случаях, принимая Последовательности Коши в F и разделение нулевые последовательности, то есть последовательности (Икс_п)_{п ∈ N} такой, что |Икс_п| стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. Это может быть снова показано как поле, так называемое завершение F в данном месте.

За F = Q, встречаются следующие нетривиальные нормы (Теорема Островского ): обычный) абсолютная величина, что приводит к полному топологическое поле реальных чисел р. С другой стороны, для любого простого числа п, то п-адический абсолютные значения определяются

|q|_п = п^−п, куда q = п^п а/б и а и б целые числа не делятся на п.

В отличие от обычного абсолютного значения, п-адическая норма получает меньше когда q умножается на п, что приводит к совершенно иному поведению Q_п по отношению к р.

Архимедовы места

Стандартные обозначения р₁ и р₂ для количества действительных и комплексных вложений используется соответственно (см. ниже).

Вычисление архимедовых мест F делается так: пусть Икс быть примитивным элементом F, с минимальным полиномом ж (над Q). Над р, ж обычно больше не будет неприводимым, но его неприводимые (действительные) факторы имеют степень один или два. Поскольку нет повторяющихся корней, нет повторяющихся факторов. Корни р факторов первой степени обязательно действительны и заменяют Икс к р дает вложение F в р; количество таких вложений равно количеству действительных корней ж. Ограничение стандартного абсолютного значения на р к F дает архимедово абсолютное значение на F; такое абсолютное значение также называют реальное место из F. С другой стороны, корни множителей второй степени представляют собой пары сопрягать комплексные числа, что позволяет два сопряженных вложения в C. Любое из этих вложений может использоваться для определения абсолютного значения на F, что одинаково для обоих вложений, поскольку они сопряжены. Это абсолютное значение называется сложное место из F.^[6][7]

Если все корни ж выше являются действительными (соответственно сложными) или, что то же самое, любым возможным вложением F ⊂ C на самом деле вынужден быть внутри р (соотв. C), F называется полностью реальный (соотв. полностью сложный ).^[8][9]

Неархимедовы или ультраметрические места

Чтобы найти неархимедовы места, позвольте еще раз ж и Икс быть как указано выше. В Q_п, ж делится на факторы разной степени, ни один из которых не повторяется, и степени которых в сумме составляют п, степень ж. Для каждого из этих п-адически несводимые факторы т, можно предположить, что Икс удовлетворяет т и получить вложение F в алгебраическое расширение конечной степени над Q_п. Такой местное поле ведет себя во многом как числовое поле, а п-адические числа могут также играть роль рациональных чисел; в частности, мы можем точно так же определить норму и трассировку, теперь задавая функции, отображающие Q_п. Используя это п-адическая карта нормы N_т для места т, мы можем определить абсолютное значение, соответствующее данному п-адически несводимый фактор т степени м автор | θ |_т = |N_т(θ) |_п^1/м. Такое абсолютное значение называется ультраметрический, неархимедова или п-адическое место F.

Для любого ультраметрического места v у нас есть что |Икс|_v ≤ 1 для любого Икс в О_F, поскольку минимальный многочлен для Икс имеет целочисленные факторы, и, следовательно, его п-адическая факторизация имеет факторы в Z_п. Следовательно, нормальный член (постоянный член) для каждого фактора является п-адическое целое число, и одно из них является целым числом, используемым для определения абсолютного значения для v.

Основные идеалы в О_F

Для ультраметрического места v, подмножество О_F определяется |Икс|_v <1 - это идеальный п из О_F. Это основано на ультраметричности v: данный Икс и у в п, тогда

|Икс + у|_v ≤ макс (|Икс|_v, | y |_v) < 1.

Фактически, п это даже главный идеал.

И наоборот, учитывая простой идеал п из О_F, а дискретная оценка можно определить, задав v_п(Икс) = п куда п - наибольшее целое число такое, что Икс ∈ п^п, то п-кратная мощь идеала. Эта оценка может быть превращена в ультраметрическое место. При этом соответствии (классы эквивалентности) ультраметрических точек F соответствуют основным идеалам О_F. За F = Q, это возвращает теорему Островского: любой простой идеал в Z (который обязательно обозначается одним простым числом) соответствует неархимедову месту и наоборот. Однако для более общих числовых полей ситуация становится более сложной, как будет объяснено ниже.

Еще один эквивалентный способ описания ультраметрических мест - это локализации из О_F. Учитывая ультраметрическое место v на числовом поле F, соответствующая локализация - подкольцо Т из F всех элементов Икс такой, что |Икс |_v ≤ 1. По ультраметрическому свойству Т это кольцо. Кроме того, он содержит О_F. Для каждого элемента Икс из F, по крайней мере, один из Икс или же Икс⁻¹ содержится в Т. Собственно, поскольку F^×/Т^× можно показать, что они изоморфны целым числам, Т это кольцо дискретной оценки, в частности местное кольцо. Фактически, Т это просто локализация О_F в высшем идеале п. Наоборот, п максимальный идеал Т.

В целом существует трехсторонняя эквивалентность между ультраметрическими абсолютными значениями, простыми идеалами и локализациями в числовом поле.

Разветвление

Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек в Y ниже состоят из трех точек, кроме двух точек в Y отмечены точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмечены черным) соответственно. Карта ж считается разветвленным в этих точках Y.

Разветвление, вообще говоря, описывает геометрическое явление, которое может происходить с однозначными отображениями (т.е. отображениями ж: Икс → Y так что прообразы всех точек у в Y состоят только из конечного числа точек): мощность волокна ж⁻¹(у) обычно будет иметь одинаковое количество точек, но бывает, что в особых точках у, это число падает. Например, карта

C → C, z ↦ z^п

имеет п точек в каждом волокне более т, а именно п (сложные) корни т, кроме t = 0, где волокно состоит только из одного элемента, z = 0. Говорят, что отображение «разветвлено» в нуле. Это пример разветвленное покрытие из Римановы поверхности. Эта интуиция также служит для определения разветвление в алгебраической теории чисел. Учитывая (обязательно конечное) расширение числовых полей F / E, главный идеал п из О_E генерирует идеальный pO_F из О_F. Этот идеал может быть, а может и не быть первичным идеалом, но, согласно теореме Ласкера – Нётер (см. Выше), всегда определяется выражением

pO_F = q₁^е₁ q₂^е₂ ... q_м^е_м

с однозначно определенными первичными идеалами q_я из О_F и числа (так называемые индексы ветвления) е_я. Когда один индекс ветвления больше единицы, штрих п говорят, что разветвляется в F.

Связь между этим определением и геометрической ситуацией доставляется картой спектры колец Spec О_F → Спецификация О_E. Фактически, неразветвленные морфизмы из схемы в алгебраическая геометрия являются прямым обобщением неразветвленных расширений числовых полей.

Ветвление - это чисто локальное свойство, т.е. зависит только от пополнений вокруг простых чисел. п и q_я. В группа инерции измеряет разницу между локальными группами Галуа в некотором месте и группами Галуа соответствующих конечных полей вычетов.

Пример

Следующий пример иллюстрирует введенные выше понятия. Чтобы вычислить индекс ветвления Q(Икс), куда

ж(Икс) = Икс³ − Икс − 1 = 0,

на 23 достаточно рассмотреть расширение поля Q₂₃(Икс) / Q₂₃. До 529 = 23² (т.е. по модулю 529) ж можно разложить на множители как

ж(Икс) = (Икс + 181)(Икс² − 181Икс − 38) = gh.

Подстановка Икс = у + 10 в первом факторе грамм по модулю 529 дает у + 191, поэтому оценка |у |_грамм за у данный грамм есть | −191 |₂₃ = 1. С другой стороны, такая же подстановка в час дает у² − 161у - 161 по модулю 529. Поскольку 161 = 7 × 23,

${ displaystyle left vert y right vert _ {h} = { sqrt { left vert 161 right vert}} _ {23} = { frac {1} { sqrt {23}} }}$

Поскольку возможные значения абсолютного значения места, определяемого коэффициентом час не ограничиваются целыми степенями 23, а вместо этого являются целыми степенями квадратного корня из 23, индекс разветвления расширения поля в 23 равен двум.

Оценка любого элемента F можно вычислить таким образом, используя результирующие. Если, например, у = Икс² − Икс - 1, используя полученную для исключения Икс между этими отношениями и ж = Икс³ − Икс - 1 = 0 дает у³ − 5у² + 4у − 1 = 0. Если вместо этого мы исключим по факторам грамм и час из ж, получим соответствующие множители для полинома при у, а затем 23-адическая оценка, примененная к константе (норме), позволяет нам вычислить оценки у за грамм и час (которые в данном случае равны 1.)

Дискриминантная теорема Дедекинда

Значимость дискриминанта во многом заключается в том, что разветвленные ультраметрические позиции - это все места, полученные из факторизации в Q_п куда п делит дискриминант. Это верно даже для полиномиального дискриминанта; однако верно и обратное: если простое число п делит дискриминант, то существует п-место разветвления. Для этого нужен дискриминант поля. Это Дискриминантная теорема Дедекинда. В приведенном выше примере дискриминант числового поля Q(Икс) с Икс³ − Икс - 1 = 0 равно −23, и, как мы видели, 23-адическое место разветвляется. Дискриминант Дедекинда говорит нам, что это единственное ультраметрическое место, которое делает это. Другое разветвленное место происходит от абсолютной ценности сложного вложения F.

Группы Галуа и когомологии Галуа

Обычно в абстрактной алгебре расширения полей F / E можно изучить, изучив Группа Галуа Гал (F / E), состоящий из полевых автоморфизмов F уход E поэлементно фиксируется. Например, группа Галуа Gal (Q(ζ_п) / Q) расширения кругового поля степени п (см. выше) определяется выражением (Z/пZ)^×, группа обратимых элементов в Z/пZ. Это первый шаг к Теория Ивасавы.

Чтобы включить все возможные расширения, обладающие определенными свойствами, концепция группы Галуа обычно применяется к (бесконечному) расширению поля F / F из алгебраическое замыкание, ведущий к абсолютная группа Галуа грамм : = Гал (F / F) или просто Гал (F), и к продолжению F / Q. В основная теорема теории Галуа связывает поля между F и его алгебраическое замыкание и замкнутые подгруппы в Gal (F). Например, абелианизация (наибольшее абелево частное) грамм^ab из грамм соответствует полю, называемому максимальным абелево расширение F^ab (называется так, поскольку любое дальнейшее расширение не является абелевым, т.е. не имеет абелевой группы Галуа). Посредством Теорема Кронекера – Вебера., максимальное абелево расширение Q это расширение, порожденное всеми корни единства. Для более общих числовых полей теория поля классов в частности Закон взаимности Артина дает ответ, описывая грамм^ab с точки зрения группа классов иделей. Также следует отметить Поле классов Гильберта, максимальное абелево неразветвленное расширение поля F. Можно показать, что он конечен над F, его группа Галуа над F изоморфна группе классов F, в частности его степень равна номеру класса час из F (см. выше).

В определенных ситуациях группа Галуа действует на другие математические объекты, например на группу. Тогда такую ​​группу также называют модулем Галуа. Это позволяет использовать групповые когомологии для группы Галуа Gal (F), также известный как Когомологии Галуа, что в первую очередь измеряет неточность взятия Gal (F) -инварианты, но также предлагает более глубокое понимание (и вопросы). Например, группа Галуа грамм расширения поля L / F действует на L^×, ненулевые элементы L. Этот модуль Галуа играет важную роль во многих арифметических операциях. дуальности, Такие как Двойственность Пуату-Тейта. В Группа Брауэра из F, изначально задуманный для классификации алгебры с делением над F, можно преобразовать в группу когомологий, а именно H²(Гал (F), F^×).

Локально-глобальный принцип

Вообще говоря, термин «от локального к глобальному» относится к идее, что глобальная проблема сначала решается на локальном уровне, что, как правило, упрощает вопросы. Затем, конечно, информацию, полученную в ходе локального анализа, необходимо собрать воедино, чтобы вернуться к некоторому глобальному утверждению. Например, понятие снопы воплощает эту идею в топология и геометрия.

Локальные и глобальные поля

Числовые поля во многом схожи с другим классом полей, которые часто используются в алгебраическая геометрия известный как функциональные поля из алгебраические кривые над конечные поля. Примером является F_п(Т). Они во многом схожи, например, в том, что числовые кольца являются одномерными регулярными кольцами, как и координационные кольца (поля частных которых является рассматриваемым функциональным полем) кривых. Поэтому оба типа полей называются глобальные поля. В соответствии с изложенной выше философией, их можно сначала изучить на местном уровне, то есть путем изучения соответствующих местные поля. Для числовых полей F, локальные поля являются пополнениями F во всех местах, в том числе и в архимедовых (см. локальный анализ ). Для функциональных полей локальные поля - это пополнения локальных колец во всех точках кривой для функциональных полей.

Многие результаты, действительные для функциональных полей, также верны, по крайней мере, при правильной переформулировке, для числовых полей. Однако изучение числовых полей часто вызывает трудности и явления, не встречающиеся в функциональных полях. Например, в функциональных полях нет дихотомии на неархимедовы и архимедовы места. Тем не менее, функциональные поля часто служат источником интуитивного понимания того, чего следует ожидать в случае числовых полей.

Принцип Хассе

Типичный вопрос, который задается на глобальном уровне: имеет ли какое-то полиномиальное уравнение решение в F. Если это так, это решение также является решением для всех завершений. В локально-глобальный принцип или принцип Хассе утверждает, что для квадратных уравнений верно и обратное. Таким образом, проверка того, имеет ли такое уравнение решение, может выполняться на всех завершениях F, что часто бывает проще, поскольку аналитические методы (классические аналитические инструменты, такие как теорема о промежуточном значении в архимедовых местах и p-адический анализ в неархимедовых местах) можно использовать. Однако это утверждение неверно для более общих типов уравнений. Однако идея перехода от локальных данных к глобальным оказывается плодотворной в теории полей классов, например, где теория поля локальных классов используется для получения глобальной информации, упомянутой выше. Это также связано с тем, что группы Галуа пополнений F_v могут быть определены явно, тогда как группы Галуа глобальных полей, даже Q гораздо менее понятны.

Адель и идель

Чтобы собрать локальные данные, относящиеся ко всем локальным полям, прикрепленным к F, то кольцо адель настроен. Мультипликативный вариант называется Ideles.

Смотрите также

• Теорема Дирихле о единицах, S-блок
• Куммер расширение
• Теорема Минковского, Геометрия чисел
• Теорема плотности Чеботарева
• Группа классов лучей
• Группа разложения
• Поле рода

Примечания

Рекомендации

• Кон, Харви (1988), Классическое приглашение к алгебраическим числам и полям классов, Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Конрад, Кит http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
• Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0429-2
• Хельмут Хассе, Теория чисел, Springer Классика по математике Сериал (2002)
• Серж Ланг, Алгебраическая теория чисел, второе издание, Springer, 2000 г.
• Ричард А. Моллин, Алгебраическая теория чисел, CRC, 1999
• Рам Мурти, Проблемы алгебраической теории чисел, Второе издание, Springer, 2005 г.
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел, Springer Monographs in Mathematics (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-21902-6, МИСТЕР  2078267
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-65399-8, МИСТЕР  1697859, Zbl  0956.11021
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, МИСТЕР  1737196, Zbl  1136.11001
• Андре Вайль, Основная теория чисел, третье издание, Springer, 1995 г.