Инвариант Дена - Dehn invariant

В геометрия, то Инвариант Дена из многогранник это значение, используемое для определения, могут ли многогранники быть рассеченный друг в друга или могут ли они пространство плитки. Он назван в честь Макс Ден, кто использовал его для решения Третья проблема Гильберта от того, можно ли разрезать все многогранники равного объема друг на друга.

Два многогранника имеют разрез на многогранные части, которые могут быть повторно собраны в любой из них тогда и только тогда, когда их объемы и инварианты Дена равны. Многогранник может быть разрезан и повторно собран в пространство плиток тогда и только тогда, когда его инвариант Дена равен нулю, поэтому наличие нулевого инварианта Дена является необходимым условием для того, чтобы быть многогранником, заполняющим пространство. Инвариант Дена свободного самопересечения гибкий многогранник инвариантен при изгибе.

Инвариант Дена равен нулю для куб но ненулевое для другого Платоновы тела, подразумевая, что другие твердые тела не могут размещать мозаику в пространстве и не могут быть разрезаны на куб. Все Архимедовы тела имеют инварианты Дена, которые являются рациональными комбинациями инвариантов платоновых тел. В частности, усеченный октаэдр также мозаичное пространство и имеет нулевой инвариант Дена, как куб.

Инварианты Дена многогранников являются элементами бесконечномерного векторное пространство. Как абелева группа, это пространство является частью точная последовательность с участием групповая гомология.Подобные инварианты можно определить и для некоторых других пазлы на вскрытие, включая проблему рассечения прямолинейные многоугольники друг в друга параллельными осями разрезами и перемещениями.

Фон

Рассечение квадрата и равностороннего треугольника друг на друга. Для куба и правильного тетраэдра такого разреза не существует.

В двух измерениях Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена. заявляет, что любые два полигоны равной площади можно разрезать на многоугольные части и снова собрать друг в друга. Дэвид Гильберт заинтересовался этим результатом как способом аксиоматизации площадь, в связи с Аксиомы Гильберта за Евклидова геометрия. В Третья проблема Гильберта, он поставил вопрос, всегда ли два многогранника равного объема можно разрезать на многогранные части и собрать друг в друга. Ученик Гильберта Макс Ден, в его 1900 абилитация тезис, изобрел инвариант Дена, чтобы доказать, что это не всегда возможно, обеспечивая отрицательное решение проблемы Гильберта. Хотя Ден по-другому сформулировал свой инвариант, современный подход состоит в том, чтобы описать его как значение в тензорное произведение, следующий Джессен (1968).^[1][2]

Определение

Для определения инварианта Дена требуется понятие многогранник для которых длины и двугранные углы ребер хорошо определены. Чаще всего это относится к многогранникам, границы которых коллекторы, вложенных в конечное число плоскостей в Евклидово пространство. Однако инвариант Дена также рассматривался для многогранников в сферическая геометрия или в гиперболическое пространство,^[1] и для некоторых самопересекающихся многогранников в евклидовом пространстве.^[3]

Значения инварианта Дена принадлежат абелева группа^[4] определяется как тензорное произведение

${ displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z}.}$

Левый множитель этого тензорного произведения представляет собой набор действительных чисел (в данном случае представляющих длины ребер многогранников), а правый множитель представляет двугранные углы в радианы в виде чисел по модулю 2π.^[5] (Некоторые источники принимают углы по модулю π вместо модуля 2π,^[1][4][6] или разделите углы на π и использовать ${ Displaystyle mathbb {R} / mathbb {Z}}$ на месте ${ Displaystyle mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z}}$^[7] но это не влияет на результирующее тензорное произведение, поскольку любое рациональное кратное π в правильном множителе становится равным нулю в продукте.)

Инвариант Дена многогранника с длинами ребер ${ displaystyle ell _ {i}}$ и двугранные углы кромки ${ displaystyle theta _ {я}}$ это сумма^[5]

${ displaystyle sum _ {i} ell _ {i} otimes theta _ {i}.}$

Альтернативное, но эквивалентное описание инварианта Дена связано с выбором Основа Гамеля, бесконечное подмножество ${ displaystyle B}$ действительных чисел, так что каждое действительное число может быть однозначно выражено как сумма конечного числа рациональных кратных элементов ${ displaystyle B}$. Таким образом, как аддитивная группа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ является изоморфный к ${ Displaystyle mathbb {Q} ^ {(B)}}$, то прямая сумма копий ${ displaystyle mathbb {Q}}$ с одним слагаемым для каждого элемента ${ displaystyle B}$. Если ${ displaystyle B}$ выбирается тщательно, так что π (или рациональное кратное π) является одним из его элементов, а ${ displaystyle B '}$ остальная часть базиса без этого элемента, то тензорное произведение ${ Displaystyle mathbb {R} otimes mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z}}$ является (бесконечномерным) реальным векторное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {(B ')}}$. Инвариант Дена можно выразить, разложив каждый двугранный угол ${ displaystyle theta _ {я}}$ в конечную сумму базисных элементов

${ displaystyle theta _ {i} = sum _ {j = 0} ^ {k_ {i}} q_ {i, j} b_ {i, j}}$

куда ${ displaystyle q_ {я, j}}$ рационально, ${ displaystyle b_ {i, j}}$ - одно из действительных чисел в базисе Гамеля, и эти базисные элементы пронумерованы так, чтобы ${ displaystyle b_ {я, 0}}$ является рациональным кратным πэто принадлежит ${ displaystyle B}$ но нет ${ displaystyle B '}$. При таком разложении инвариант Дена равен

${ displaystyle sum _ {i} sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} ell _ {i} q_ {i, j} e_ {i, j},}$

где каждый ${ displaystyle e_ {i, j}}$ стандартный единичный вектор в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {(B ')}}$ соответствующий базовому элементу ${ displaystyle b_ {i, j}}$. Обратите внимание, что сумма здесь начинается с ${ displaystyle j = 1}$, чтобы опустить член, соответствующий рациональным кратным π.^[8]

Хотя формулировка базиса Хамеля, по-видимому, включает аксиома выбора, этого можно избежать (при рассмотрении любого конкретного конечного множества многогранников), ограничив внимание конечномерным векторным пространством, порожденным над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ двугранными углами многогранников.^[9] Эта альтернативная формулировка показывает, что значениям инварианта Дена можно придать дополнительную структуру действительного векторное пространство.

Для идеальный многогранник в гиперболическом пространстве длины ребер бесконечны, поэтому обычное определение инварианта Дена неприменимо. Тем не менее инвариант Дена может быть расширен на эти многогранники с помощью ориосферы для усечения их вершин и вычисления инварианта Дена обычным способом для результирующей усеченной формы, игнорируя дополнительные ребра, созданные этим процессом усечения. Результат не зависит от выбора орисфер для усечения, поскольку каждая отсекает только одну вершину данного многогранника.^[10]

Примеры

В Платоновы тела каждая из них имеет одинаковую длину ребер и двугранные углы, ни один из которых не является рациональным кратным друг другу. Двугранный угол куба, π/ 2, является рациональным кратным π, а остальные - нет. Двугранные углы правильного тетраэдра и правильного октаэдра равны дополнительный: они в сумме π.^[11]

В формулировке инварианта Дена в базисе Гамеля можно выбрать четыре из этих двугранных углов как часть базиса Гамеля. π/ 2, является базисным элементом, который отбрасывается в формуле для инварианта Дена, поэтому инвариант Дена куба равен нулю. В более общем смысле, инвариант Дена любого параллелепипед также равен нулю.^[12] Можно включить только один из двух углов тетраэдра и октаэдра, так как другой является рациональной комбинацией того, который включен, и угла куба. Инварианты Дена каждого из других Платоновых тел будут вектором в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {B '}}$ формируется путем умножения единичного вектора для угла этого тела на длину и количество ребер тела. Независимо от того, как они масштабируются по разным длинам ребер, тетраэдр, икосаэдр и додекаэдр имеют инварианты Дена, которые образуют векторы, указывающие в разных направлениях, и, следовательно, не равны и не равны нулю.^[13]

Отрицательный двугранный угол октаэдра отличается от угла тетраэдра на целое число, кратное π, и вдобавок у октаэдра в два раза больше ребер, чем у тетраэдра (двенадцать вместо шести). Следовательно, инвариант Дена октаэдра в −2 раза больше инварианта Дена тетраэдра той же длины ребра. Инварианты Дена другого Архимедовы тела также могут быть выражены как рациональные комбинации инвариантов Платоновых тел.^[13]

Приложения

Нерешенная проблема в математике: Есть ли разрез между каждой парой сферических или гиперболических многогранников с одинаковым объемом и инвариантом Дена, как друг друга? (больше нерешенных задач по математике)

В качестве Ден (1901) наблюдается, инвариант Дена является инвариантный для разрезания многогранников, в том смысле, что разрезание многогранника на более мелкие многогранные части и затем повторная сборка их в другой многогранник не меняет инвариант Дена результата. Другой такой инвариант - это объем многогранника. Следовательно, если можно разрезать один многогранник п в другой многогранник Q, то оба п и Q должен иметь тот же инвариант Дена, а также тот же объем.^[14]Сидлер (1965) расширил этот результат, доказав, что объем и инвариант Дена являются единственными инвариантами для этой проблемы. Если п и Q оба имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена, всегда можно разделить одно на другое.^[5][15]

Результат Дена остается в силе для сферическая геометрия и гиперболическая геометрия. В обеих этих геометриях два многогранника, которые можно разрезать и собирать друг в друга, должны иметь один и тот же инвариант Дена. Однако, как заметил Джессен, распространение результата Сидлера на сферическую или гиперболическую геометрию остается открытым: неизвестно, всегда ли два сферических или гиперболических многогранника с одинаковым объемом и одним и тем же инвариантом Дена можно разрезать и собрать друг в друга.^[16] Каждый гиперболическое многообразие с конечным объем можно разрезать по геодезическим поверхностям в гиперболический многогранник, который обязательно имеет нулевой инвариант Дена.^[17]

Инвариант Дена также контролирует способность многогранника к пространство плитки (часть темы Восемнадцатая проблема Гильберта ). Каждый тайл, заполняющий пространство, имеет нулевой инвариант Дена, как и куб.^[18][19] Обратное неверно - существуют многогранники с нулевым инвариантом Дена, которые не образуют мозаичное пространство, но их всегда можно разрезать на другую форму (куб), которая образует мозаичное пространство.

В более общем смысле, если некоторая комбинация многогранников совместно покрывает пространство, то сумма их инвариантов Дена (взятых в одинаковой пропорции) должна быть равна нулю. Например, четырехгранно-октаэдрические соты представляет собой замощение пространства тетраэдрами и октаэдрами (с вдвое большим количеством тетраэдров, чем октаэдров), соответствующее тому факту, что сумма инвариантов Дена для октаэдра и двух тетраэдров (с одинаковыми длинами сторон) равна нулю.^[20]

Реализуемость

Хотя инвариант Дена принимает значения в ${ displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z},}$ не все элементы в этом пространстве могут быть реализованы как инварианты Дена многогранников. Инварианты Дена евклидовых многогранников образуют линейное подпространство ${ Displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z}}$: можно сложить инварианты Дена многогранников, взяв несвязное объединение многогранников (или склеив их вместе на грани), инвертировать инварианты Дена, сделав отверстия в форме многогранника в большие кубы, и умножив инвариант Дена на любой скаляр, масштабируя многогранник на то же число. Вопрос о том, какие элементы ${ displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z},}$ (или, что то же самое, ${ Displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / mathbb {Z}}$) реализуемы, были прояснены работой Дюпона и Сах, которые показали существование следующих короткая точная последовательность из абелевы группы (не векторные пространства) с участием групповая гомология:^[21]

${ displaystyle 0 к H_ {2} ( operatorname {SO} (3), mathbb {R} ^ {3}) to { mathcal {P}} (E ^ {3}) / { mathcal {Z}} (E ^ {3}) to mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / mathbb {Z} to H_ {1} ( operatorname {SO } (3), mathbb {R} ^ {3}) to 0}$

Здесь обозначение ${ displaystyle { mathcal {P}} (E ^ {3})}$ представляет свободная абелева группа над евклидовыми многогранниками по модулю определенных соотношений, полученных из пар многогранников, которые можно разрезать друг на друга.${ displaystyle { mathcal {Z}} (E ^ {3})}$ - подгруппа, порожденная в этой группе треугольником призмы, и используется здесь для обозначения объема (поскольку каждое действительное число является объемом ровно одного элемента этой группы). Карта из группы многогранников в ${ Displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / mathbb {Z}}$ инвариант Дена.${ displaystyle operatorname {SO} (3)}$ это Группа вращения евклидовой точки, и ${ displaystyle H}$ Теорема Сидлера о том, что объем и инвариант Дена являются единственными инвариантами евклидова рассечения, гомологически представляется утверждением, что группа ${ displaystyle H_ {2} ( operatorname {SO} (3), mathbb {R} ^ {3})}$ фигурирующая в этой последовательности на самом деле равна нулю. Если бы она была ненулевой, ее образ в группе многогранников дал бы семейство многогранников, которые не разрезаются на куб того же объема, но имеют нулевой инвариант Дена. По теореме Сидлера таких многогранников не существует.^[21]

Группа ${ Displaystyle Н_ {1} ( OperatorName {SO} (3), mathbb {R} ^ {3})}$ справа от точной последовательности изоморфна группе ${ displaystyle Omega _ { mathbb {R}} ^ {1}}$ из Дифференциалы Kähler, а отображение тензорных произведений длин и углов в кэлеровы дифференциалы дается выражением

${ displaystyle ell otimes theta / pi mapsto ell { frac {d cos theta} { sin theta}},}$

куда ${ displaystyle d}$ универсальный вывод ${ displaystyle Omega _ { mathbb {R}} ^ {1}}$.Эта группа ${ Displaystyle Н_ {1} ( OperatorName {SO} (3), mathbb {R} ^ {3}) = Omega _ { mathbb {R}} ^ {1}}$ является препятствием для реализации: его ненулевые элементы происходят из элементов ${ Displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / mathbb {Z}}$ что не может быть реализовано как инварианты Дена.^[22]

Аналогично, в гиперболическом или сферическом пространстве реализуемые инварианты Дена не обязательно образуют векторное пространство, поскольку скалярное умножение больше невозможно, но они по-прежнему образуют подгруппу. Дюпон и Сах доказывают существование точных последовательностей^[21]

${ displaystyle 0 to H_ {3} ( operatorname {SL} (2, mathbb {C}), mathbb {Z}) ^ {-} to { mathcal {P}} ({ mathcal { H}} ^ {3}) to mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / mathbb {Z} to H_ {2} ( operatorname {SL} (2 , mathbb {C}), mathbb {Z}) ^ {-} to 0}$

и

${ displaystyle 0 к H_ {3} ( operatorname {SU} (2), mathbb {Z}) to { mathcal {P}} (S ^ {3}) / mathbb {Z} to mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / mathbb {Z} to H_ {2} ( operatorname {SU} (2), mathbb {Z}) to 0.}$

Здесь ${ displaystyle operatorname {SL}}$ обозначает специальная линейная группа, и ${ displaystyle operatorname {SL} (2, mathbb {C})}$ это группа Преобразования Мебиуса; верхний индекс минус указывает на (-1) -собственное подпространство для инволюции, индуцированной комплексным сопряжением. ${ displaystyle operatorname {SU}}$ обозначает особая унитарная группа.Подгруппа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ в ${ Displaystyle { mathcal {P}} (S ^ {3}) / mathbb {Z}}$ группа, порожденная всей сферой.^[21] Опять же, самая правая ненулевая группа в этих последовательностях является препятствием для реализации значения в ${ Displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R} / mathbb {Z}}$ как инвариант Дена.

Этот алгебраический взгляд на инвариант Дена может быть расширен до более высоких измерений, где он имеет мотивирующий интерпретация с участием алгебраическая K-теория.^[17]

Связанные результаты

Подход, очень похожий на инвариант Дена, можно использовать для определения того, прямолинейные многоугольники могут быть разрезаны друг на друга только с помощью разрезов и перемещений, параллельных оси (а не разрезов под произвольными углами и поворотами). В инварианте этого вида рассечения используется тензорное произведение ${ Displaystyle mathbb {R} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {R}}$где левый и правый члены в произведении представляют высоту и ширину прямоугольников. Инвариант для любого заданного многоугольника вычисляется путем разрезания многоугольника на прямоугольники, взятия тензорного произведения высоты и ширины каждого прямоугольника и сложения результатов. Опять же, рассечение возможно тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковую площадь и одинаковый инвариант.^[6][9]

Гибкие многогранники представляют собой класс многогранников, которые могут совершать непрерывное движение, сохраняя форму их граней. К Теорема Коши о жесткости, они должны быть невыпуклыми, и, как известно "теорема мехов" ), что объем многогранника должен оставаться постоянным на протяжении всего движения. Более сильная версия этой теоремы утверждает, что инвариант Дена такого многогранника также должен оставаться инвариантным при любом непрерывном движении. Этот результат называется "теорема о сильных мехах ". Это доказано для всех несамопересекающихся изгибаемых многогранников.^[23]Однако для более сложных изгибаемых многогранников с самопересечениями инвариант Дена может непрерывно изменяться по мере изгибания многогранника.^[24]

Общая средняя кривизна многогранной поверхности определяется как сумма длин ребер по краям, умноженная на внешние двугранные углы. Таким образом (для многогранников без рациональных углов) это линейная функция инварианта Дена, хотя она не дает полной информации об инварианте Дена. Доказано, что она остается постоянной для любого изгибающегося многогранника.^[25]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Видео об инвариантах Дена на Numberphile