Horosphere - Horosphere

Горосфера внутри Модель диска Пуанкаре по касательной к краям шестиугольная черепица ячейка шестиугольная черепичная сотовая конструкция
Упаковка аполлонических сфер можно рассматривать как отображение орисфер, которые касаются внешней сферы Модель диска Пуанкаре

В гиперболическая геометрия, а горосфера (или же парасфера) является специфическим гиперповерхность в гиперболический п-Космос. Это граница Horoball- предел последовательности возрастающих шаров, разделяющих (с одной стороны) касательную гиперплоскость и точку ее касания. За п = 2 орисфера называется орицикл.

Ориосфера также может быть описана как предел гиперсфер, которые разделяют касательную гиперплоскость в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности. В евклидовой геометрии такая «гиперсфера бесконечного радиуса» будет гиперплоскостью, но в гиперболической геометрии это орисфера (искривленная поверхность).

История

Эта концепция уходит корнями в понятие, выраженное Ф. Л. Вахтер в 1816 году в письме своему учителю Гаусс. Отметив, что в евклидовой геометрии предел сферы, радиус которой стремится к бесконечности, является плоскостью, Вахтер утверждал, что даже если пятый постулат были ложными, тем не менее на поверхности была бы геометрия, идентичная геометрии обычной плоскости.[1] Условия горосфера и орицикл из за Лобачевский, который установил различные результаты, показывающие, что геометрия орициклов и орисферы в гиперболическом пространстве эквивалентна геометрии линий и плоскости в евклидовом пространстве.[2] Термин «хороболл» появился благодаря Уильям Терстон, который использовал его в своей работе над гиперболические трехмерные многообразия. Термины орисфера и horoball часто используются в трехмерной гиперболической геометрии.

Модели

в конформная модель шара, орисфера представлена ​​сферой, касательной к сфере горизонта. в модель верхнего полупространства, орисфера может выглядеть либо как сфера, касательная к плоскости горизонта, либо как плоскость, параллельная плоскости горизонта. в модель гиперболоида, орисфера представлена ​​плоскостью, нормаль которой лежит в асимптотическом конусе.

Кривизна

Орисфера имеет критическую величину (изотропной) кривизны: если бы кривизна была больше, поверхность могла бы закрыться, давая сферу, а если бы кривизна была меньше, поверхность была бы (N - 1) -мерный гиперцикл.

Рекомендации

  1. ^ Роберто Бонола (1906), Неевклидова геометрия, переведено H.S. Carslaw, Дувр, 1955; п. 63
  2. ^ Роберто Бонола (1906), Неевклидова геометрия, перевод Х.С. Карслав, Дувр, 1955; п. 88
  • Приложение, теория пространства Янош Бойяи, 1987, с.143