Аксиомы Гильберта - Hilberts axioms - Wikipedia

Аксиомы Гильберта представляют собой набор из 20 предположений, предложенных Дэвид Гильберт в 1899 г. в своей книге Grundlagen der Geometrie^[1]^[2]^[3]^[4] (Тр. Основы геометрии) в качестве основы для современного лечения Евклидова геометрия. Другие известные современные аксиоматизация евклидовой геометрии Альфред Тарский и из Джордж Биркофф.

Аксиомы

Гильберта система аксиом построен с шестью примитивные представления: три примитивных термина:^[5]

и три примитивных связи:^[6]

Близость, а тернарное отношение точки привязки;
Ложь на (Сдерживание), три бинарные отношения, одна связывает точки и прямые линии, одна связывает точки и плоскости, а одна связывает прямые линии и плоскости;
Конгруэнтность, два бинарных отношения, одно связывающее отрезки линии и одна ссылка углы, каждая из которых обозначается инфиксом ≅.

Каждый из отрезков, углов и треугольников может быть определен в терминах точек и прямых линий с использованием отношений промежуточности и сдерживания. Все точки, прямые и плоскости в следующих аксиомах различны, если не указано иное.

I. Заболеваемость

За каждые два балла А и B существует линия а который содержит их обоих. Мы пишем AB = а или же BA = а. Вместо «содержит» мы можем также использовать другие формы выражения; например, мы можем сказать "А лежит на а", "А это точка а", "а проходит через А и через B", "а присоединяется А к B"и т. д. Если А лежит на а и в то же время на другой линии б, мы используем также выражение: "Линии а и б иметь смысл А совместно »и др.
Для каждых двух точек существует не более одной строки, содержащей их обе; следовательно, если AB = а и AC = а, куда B ≠ C, то также до н.э = а.
На прямой есть как минимум две точки. Есть как минимум три точки, которые не лежат на одной линии.
За каждые три балла А, B, C не находится на одной прямой, существует плоскость α, содержащая их все. Для каждой плоскости существует точка, лежащая на ней. Мы пишем ABC = α. Мы также используем выражения: "А, B, C роды α"; "А, B, C точки α", так далее.
За каждые три балла А, B, C которые не лежат на одной линии, существует не более одной плоскости, содержащей их все.
Если две точки А, B линии а лежать в самолете α, то каждая точка а лежит в α. В этом случае мы говорим: «Линия а лежит в самолете α", так далее.
Если два самолета α, β иметь точку зрения А в общем то у них есть хотя бы вторая точка B в общем.
Существует не менее четырех точек, не лежащих на плоскости.

II. Заказ

Если точка B лежит между точками А и C, B также находится между C и А, и существует линия, содержащая различные точки А, B, C.
Если А и C две точки, то существует хотя бы одна точка B на линии AC такой, что C лежит между А и B.^[7]
Из любых трех точек, расположенных на одной линии, не более одной находится между двумя другими.^[8]
Аксиома Паша: Позволять А, B, C три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть а быть линией, лежащей в плоскости ABC и не проходя ни через одну из точек А, B, C. Тогда, если строка а проходит через точку сегмента AB, он также пройдет через любую точку сегмента до н.э или точка сегмента AC.

III. Конгруэнтность

Если А, B две точки на линии а, и если А′ - точка на той же или другой линии а′, То на данной стороне А′ На прямой а′, Мы всегда можем найти точку B′ Так что отрезок AB конгруэнтно отрезку А′B′. Обозначим эту связь записью AB ≅ А′B′. Каждый сегмент конгруэнтен сам себе; то есть у нас всегда есть AB ≅ AB.
Мы можем кратко сформулировать вышеприведенную аксиому, сказав, что каждый сегмент может быть уволен на заданной стороне заданной точки заданной прямой по крайней мере в одном направлении.
Если сегмент AB конгруэнтно отрезку А′B′, А также отрезку А″B″, Затем сегмент А′B′ Конгруэнтно отрезку А″B″; то есть, если AB ≅ А′B′ и AB ≅ А″B″, тогда А′B′ ≅ А″B″.
Позволять AB и до н.э быть двумя отрезками линии а которые не имеют ничего общего, кроме точки B, и, кроме того, пусть А′B' и B′C′ Быть двумя отрезками одной или другой линии а'Также не имеющий никакого смысла, кроме B′ В общем. Тогда, если AB ≅ А′B′ и до н.э ≅ B′C′, у нас есть AC ≅ А′C′.
Пусть угол ∠ (час,k) быть дано в самолете α и пусть линия а'Дано в плоскости α′. Предположим также, что в плоскости α′, Определенная сторона прямой а′ Быть назначенным. Обозначим через час′ Луч прямой а'Исходящий из точки О′ Этой строки. Затем в самолете α'Есть один и только один луч k′ Такой, что угол ∠ (час, k), или же ∠ (k, час), конгруэнтно углу ∠ (час′, k′) и при этом все внутренние точки угла ∠ (час′, k′) лежать на заданной стороне а′. Выразим это отношение с помощью обозначений ∠ (час, k) ≅ ∠ (час′, k′).
Если угол ∠ (час, k) конгруэнтно углу ∠ (час′, k′) и к углу ∠ (час″, k″), то угол ∠ (час′, k′) конгруэнтно углу ∠ (час″, k″); то есть, если ∠ (час, k) ≅ ∠ (час′, k′) и ∠ (час, k) ≅ ∠ (час″, k″), тогда ∠ (час′, k′) ≅ ∠ (час″, k″).
Если в двух треугольниках ABC и А′B′C′ Сравнения AB ≅ А′B′, AC ≅ А′C′, ∠BAC ≅ ∠B′А′C′ держать, тогда сравнение ∠ABC ≅ ∠А′B′C′ (и, поменяв обозначения, следует, что ∠ACB ≅ ∠А′C′B′ также имеет место).

IV. Параллели

Аксиома Евклида^[9] Позволять а быть любой линией и А дело не в этом. Тогда на плоскости имеется не более одной линии, определяемой а и А, который проходит через А и не пересекается а.

V. Непрерывность

Аксиома архимеда. Если AB и CD есть какие-то отрезки, то существует номер п такой, что п сегменты CD построенный непрерывно из А, по лучу от А через B, перейдет за рамки B.
Аксиома полноты линии. Продолжение (расширенная линия от линии, которая уже существует, обычно используется в геометрии) набора точек на линии с ее отношениями порядка и конгруэнтности, которые сохранят отношения, существующие между исходными элементами, а также фундаментальные свойства линии порядок и конгруэнтность, вытекающие из аксиом I-III и V-1, невозможны.

Отброшенная аксиома Гильберта

Гильберт (1899) включил 21-ю аксиому, которая гласила:

II.4. Любые четыре точки А, B, C, D линии всегда можно пометить так, чтобы B должен находиться между А и C а также между А и D, и, кроме того, что C должен находиться между А и D а также между B и D.

E.H. Мур и Р.Л. Мур независимо доказал, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, появившейся в Труды Американского математического общества в 1902 г.^[10]

Издания и переводы Grundlagen der Geometrie

Оригинальная монография, основанная на его собственных лекциях, была организована и написана Гильбертом для мемориального обращения, данного в 1899 году. За этим вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, санкционированный Гильбертом, был сделан E.J. Таунсенд и авторское право 1902 года. Этот перевод включает изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. В предисловии к этому изданию Гильберт писал:

«Настоящее седьмое издание моей книги Основы геометрии вносит значительные улучшения и дополнения в предыдущее издание, частично из моих последующих лекций по этой теме, а частично благодаря улучшениям, сделанным за это время другими авторами. Соответствующим образом переработан основной текст книги ».

За 7-м изданием последовали новые, но основной текст практически не редактировался. Изменения в этих редакциях вносятся в приложения и дополнения. Изменения в тексте были значительными по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан издательством Open Court Publishers, опубликовавшим перевод Таунсенда. Итак, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером из 10-го немецкого издания в 1971 году. Этот перевод включает в себя несколько исправлений и дополнений более поздних немецких изданий Пола Бернейса.

Перевод Унгера отличается от перевода Таунсенда в отношении аксиом следующим образом:

Старая аксиома II.4 переименована в теорему 5 и перенесена.
Старая аксиома II.5 (Аксиома Паша) изменена на II.4.
V.2, Аксиома полноты строки, заменена:

Аксиома полноты. К системе точек, прямых и плоскостей невозможно добавить другие элементы таким образом, чтобы обобщенная система образовала новую геометрию, подчиняющуюся всем пяти группам аксиом. Другими словами, элементы геометрии образуют систему, которая не поддается расширению, если мы рассматриваем пять групп аксиом как действительные.

Старая аксиома V.2 теперь называется теоремой 32.

Две последние модификации принадлежат П. Бернейсу.

Другие важные изменения:

Период, термин прямая линия используемый Townsend был заменен на линия на протяжении.
В Аксиомы инцидентности были позваны Аксиомы связи пользователя Townsend.

Заявление

Эти аксиомы аксиоматизировать Евклидово сплошная геометрия. Удаление пяти аксиом, существенным образом упоминающих «плоскость», а именно I.4–8, и изменение III.4 и IV.1 для исключения упоминания плоскостей, дает аксиоматизацию Евклидова плоская геометрия.

Аксиомы Гильберта, в отличие от Аксиомы Тарского, не являются теория первого порядка потому что аксиомы V.1–2 не могут быть выражены в логика первого порядка.

Ценность Гильберта Grundlagen было больше методологическим, чем содержательным или педагогическим. Другим важным вкладом в аксиоматику геометрии были: Мориц Паш, Марио Пиери, Освальд Веблен, Эдвард Вермиль Хантингтон, Гилберт Робинсон, и Генри Джордж Фордер. Ценность Grundlagen это новаторский подход к метаматематический вопросы, включая использование моделей для доказательства независимости аксиом; и необходимость доказательства непротиворечивости и полноты системы аксиом.

Математика в двадцатом веке превратилась в сеть аксиоматических формальные системы. На это в значительной степени повлиял пример, который Гильберт подал в Grundlagen. Попытка 2003 года (Мейкле и Флерио) формализовать Grundlagen с помощью компьютера, однако, обнаружил, что некоторые доказательства Гильберта, по-видимому, основаны на диаграммах и геометрической интуиции, и как таковые выявили некоторые потенциальные двусмысленности и упущения в его определениях.^[11]

Смотрите также

Примечания

^ Соммер, Юлиус (1900). "Рецензия: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899" (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 6 (7): 287–299. Дои:10.1090 / с0002-9904-1900-00719-1.
^ Пуанкаре, Анри (1903). "Обзор Пуанкаре" Основ геометрии "Гильберта в переводе Э. В. Хантингтона" (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 10: 1–23. Дои:10.1090 / S0002-9904-1903-01061-1.
^ Швейцер, Артур Ричард (1909). "Рассмотрение: Grundlagen der Geometrie, Третье издание, Teubner, 1909 г. " (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 15 (10): 510–511. Дои:10.1090 / s0002-9904-1909-01814-2.
^ Гронуолл, Т. (1919). "Рассмотрение: Grundlagen der Geometrie, Издание четвертое, Тойбнер, 1913 г. " (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 20 (6): 325–326. Дои:10.1090 / S0002-9904-1914-02492-9.
^ Эти аксиомы и их нумерация взяты из перевода Унгера (на английский язык) 10-го издания Grundlagen der Geometrie.
^ Можно было бы считать это шестью отношениями, как указано ниже, но Гильберт этого не сделал.
^ В редакции Таунсенда это утверждение отличается тем, что оно также включает в себя наличие хотя бы одной точки D между А и C, которая стала теоремой в более поздней редакции.
^ Часть существования («есть хотя бы один») - это теорема.
^ Это терминология Гильберта. Это утверждение более известно как Аксиома Playfair.
^ Мур, Э. (1902), «О проективных аксиомах геометрии» (PDF), Труды Американского математического общества, 3: 142–158, Дои:10.2307/1986321
^ На странице 334: "Путем формализации Grundlagen в «Изабель / Изар» мы показали, что работа Гильберта замалчивает тонкие моменты рассуждений и в некоторых случаях в значительной степени полагалась на диаграммы, которые позволяли делать неявные предположения. По этой причине можно утверждать, что Гильберт перемежал свои аксиомы с геометрической интуицией, чтобы доказать многие из своих теорем ».

внешняя ссылка

[1] Соммер, Юлиус (1900). "Рецензия: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899" (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 6 (7): 287–299. Дои:10.1090 / с0002-9904-1900-00719-1.

[2] Пуанкаре, Анри (1903). "Обзор Пуанкаре" Основ геометрии "Гильберта в переводе Э. В. Хантингтона" (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 10: 1–23. Дои:10.1090 / S0002-9904-1903-01061-1.

[3] Швейцер, Артур Ричард (1909). "Рассмотрение: Grundlagen der Geometrie, Третье издание, Teubner, 1909 г. " (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 15 (10): 510–511. Дои:10.1090 / s0002-9904-1909-01814-2.

[4] Гронуолл, Т. (1919). "Рассмотрение: Grundlagen der Geometrie, Издание четвертое, Тойбнер, 1913 г. " (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 20 (6): 325–326. Дои:10.1090 / S0002-9904-1914-02492-9.

[5] Эти аксиомы и их нумерация взяты из перевода Унгера (на английский язык) 10-го издания Grundlagen der Geometrie.

[6] Можно было бы считать это шестью отношениями, как указано ниже, но Гильберт этого не сделал.

[7] В редакции Таунсенда это утверждение отличается тем, что оно также включает в себя наличие хотя бы одной точки D между А и C, которая стала теоремой в более поздней редакции.

[8] Часть существования («есть хотя бы один») - это теорема.

[9] Это терминология Гильберта. Это утверждение более известно как Аксиома Playfair.

[10] Мур, Э. (1902), «О проективных аксиомах геометрии» (PDF), Труды Американского математического общества, 3: 142–158, Дои:10.2307/1986321

[11] На странице 334: "Путем формализации Grundlagen в «Изабель / Изар» мы показали, что работа Гильберта замалчивает тонкие моменты рассуждений и в некоторых случаях в значительной степени полагалась на диаграммы, которые позволяли делать неявные предположения. По этой причине можно утверждать, что Гильберт перемежал свои аксиомы с геометрической интуицией, чтобы доказать многие из своих теорем ».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]