Звездчатый октаэдр - Stellated octahedron

Звездчатый октаэдр
Рассматривается как соединение двух правильных тетраэдров (красного и желтого)
Тип	Обычное соединение
Символ Кокстера	{4,3}[2{3,3}]{3,4}^[1]
Символы Шлефли	{{3,3}} а {4,3} ß {2,4} ßr {2,2}
Диаграммы Кокстера	∪
Звездчатость основной	Октаэдр
Выпуклый корпус	Куб
Индекс	UC₄, W₁₉
Многогранники	2 тетраэдры
Лица	8 треугольники
Края	12
Вершины	8
Двойной	Самодвойственный
Группа симметрии Группа Коксетера	О_час, [4,3], порядок 48 D_4ч, [4,2], порядок 16 D_2ч, [2,2], порядок 8 D_3D, [2⁺, 6], порядок 12
Подгруппа ограничение одной составляющей	Т_d, [3,3], порядок 24 D_2d, [2⁺, 4], порядок 8 D₂, [2,2]⁺, заказ 4 C_3в, [3], порядок 6

В звездчатый октаэдр единственный звездчатость из октаэдр. Его еще называют Stella Octangula (На латыни «восьмиконечная звезда»), имя, данное ей Иоганн Кеплер в 1609 г., хотя раньше было известно геометры. Он был изображен в Пачоли с De Divina Proportione, 1509.^[2]

Это самый простой из пяти обычных полиэдрические соединения, и единственный регулярный соединение двух тетраэдров. Это также наименее плотное из обычных полиэдрических соединений, имеющее плотность 2.

Его можно рассматривать как трехмерное расширение гексаграмма: гексаграмма представляет собой двумерную фигуру, образованную двумя перекрывающимися равносторонними треугольниками, центрально-симметричный друг к другу, и таким же образом звездчатый октаэдр может быть образован из двух центрально-симметричных перекрывающихся тетраэдров. Это можно обобщить на любое желаемое количество более высоких измерений; четырехмерная эквивалентная конструкция - это соединение двух 5-ти ячеек. Также это можно рассматривать как один из этапов построения 3D Коха снежинка, фрактальная форма, образованная повторным присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной грани большей фигуры. Первый этап построения Снежинки Коха - это единственный центральный тетраэдр, а второй этап, образованный добавлением четырех меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, - это звездчатый октаэдр.

Строительство

Декартовы координаты звездчатого октаэдра следующие: (± 1/2, ± 1/2, 0) (0, 0, ± 1 / √2) (± 1, 0, ± 1 / √2) (0, ± 1, ± 1 / √2)

Звездчатый октаэдр можно построить несколькими способами:

Это звездчатость из правильный октаэдр, разделяющие те же плоскости лица. (Видеть Веннингера модель W₁₉.)

В перспективе	Звездчатая плоскость	Единственная звездчатая форма правильного октаэдра с одной звездчатой плоскостью желтого цвета.

Это также обычный соединение многогранника, будучи построенным как объединение двух регулярных тетраэдры (правильный тетраэдр и его двойственный тетраэдр ).
Его можно получить как увеличение регулярного октаэдр, добавив тетраэдрический пирамиды на каждом лице. В этой конструкции он имеет ту же топологию, что и выпуклый Каталонский твердый, то триакис октаэдр, пирамиды которого намного короче.
Это огранка из куб, разделяя расположение вершин.
Это можно рассматривать как {4/2} антипризма; где {4/2} представляет собой тетраграмму, соединение двух двойных дигоны, и тетраэдр, рассматриваемый как двуугольная антипризма, это можно рассматривать как соединение двух дигональные антипризмы.
Это можно рассматривать как сеть четырехмерного восьмигранная пирамида, состоящий из центрального октаэдра, окруженного восемью тетраэдрами.

Огранка куба	Одиночный диагональный треугольник, ограненный красным

Связанные понятия

Звездчатый октаэдр - это первая итерация трехмерного аналога Коха снежинка.

Соединение двух сферических тетраэдров может быть построено, как показано.

Два тетраэдра составного вида звездчатого октаэдра являются «десмическими», что означает, что (при интерпретации как линия в проективное пространство ) каждое ребро одного тетраэдра пересекает два противоположных ребра другого тетраэдра. Одно из этих двух пересечений видно в звездчатом октаэдре; другое пересечение происходит в бесконечно удаленной точке проективного пространства между двумя параллельными ребрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра можно дополнить до десмическая система трех тетраэдров, где третий тетраэдр имеет четыре вершины, три бесконечно удаленных точки пересечения и центроид двух конечных тетраэдров. Те же двенадцать вершин тетраэдра также образуют точки Конфигурация Рея.

В числа stella octangula находятся фигуральные числа которые подсчитывают количество шаров, которые можно расположить в форме звездчатого октаэдра. Они есть

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (последовательность A007588 в OEIS )

В популярной культуре

Как сферическая черепица совмещенные ребра в соединении двух тетраэдров образуют ромбический додекаэдр.

Звездчатый октаэдр появляется с несколькими другими многогранниками и полиэдрическими соединениями в М. К. Эшер печать "Звезды ",^[3] и представляет собой центральную форму в книге Эшера Двойной планетоид (1949).^[4]

Некоторые современные мистики связывают эту форму с «меркабой»,^[5] что, по их мнению, является «противоположно вращающимся энергетическим полем», названным от древнеегипетского слова.^[6]Однако слово «меркаба» на самом деле иврит, а точнее относится к колесница в видениях Иезекииль.^[7]Сходство этой формы с двухмерным звезда Давида также часто отмечалось.^[8]

Звездчатый октаэдр также является общей формой дрона "Призрак", найденного в видеоигре. Судьба.