Особые гомологии - Singular homology - Wikipedia

В алгебраическая топология, филиал математика, особые гомологии относится к изучению определенного набора алгебраические инварианты из топологическое пространство Икс, так называемой группы гомологии ${ displaystyle H_ {n} (X).}$ Интуитивно понятно, что особые гомологии учитываются для каждого измерения п, то п-мерные отверстия пространства. Особые гомологии - частный пример теория гомологии, который теперь превратился в довольно обширное собрание теорий. Из различных теорий это, пожалуй, одна из самых простых для понимания, поскольку она построена на довольно конкретных конструкциях.

Короче говоря, особые гомологии строятся отображением стандарт п-суплекс в топологическое пространство и составив их в формальные суммы, называется особые цепи. Граничная операция - отображение каждого п-мерный симплекс к своему (п−1) -мерный граница - индуцирует единственное число цепной комплекс. Тогда особые гомологии - это гомология цепного комплекса. Полученные группы гомологий одинаковы для всех гомотопический эквивалент пространства, что и является причиной их изучения. Эти конструкции могут применяться ко всем топологическим пространствам, и поэтому особые гомологии могут быть выражены в терминах теория категорий, где гомологии выражаются как функтор от категория топологических пространств в разряд оцениваемых абелевы группы.

Особые симплексы

Стандартный 2-симплекс Δ² в р³

А единственное число п-суплекс в топологическом пространстве Икс это непрерывная функция (также называется картой) ${ displaystyle sigma}$ из стандарта п-симплекс ${ displaystyle Delta ^ {n}}$ к Икс, написано ${ displaystyle sigma: Delta ^ {n} к X.}$ Эту карту не обязательно инъективный, и могут быть неэквивалентные особые симплексы с одним и тем же образом в Икс.

Граница ${ displaystyle sigma,}$ обозначается как ${ displaystyle partial _ {n} sigma,}$ определяется как формальная сумма единственного числа (п - 1) -симплексы, представленные ограничением ${ displaystyle sigma}$ к граням стандарта п-простой, с переменным знаком, учитывающим ориентацию. (Формальная сумма - это элемент свободная абелева группа на симплексах. Основа группы - бесконечное множество всевозможных особых симплексов. Групповая операция "сложение" и сумма симплексных а с симплексом б обычно просто обозначается а + б, но а + а = 2а и так далее. Каждый симплекс а имеет отрицательный -а.) Таким образом, если обозначить ${ displaystyle sigma}$ по его вершинам

{ displaystyle [p_ {0}, p_ {1}, ldots, p_ {n}] = [ sigma (e_ {0}), sigma (e_ {1}), ldots, sigma (e_ { n})]}

соответствующие вершинам ${ displaystyle e_ {k}}$ стандарта п-суплекс ${ displaystyle Delta ^ {n}}$ (что, конечно, не полностью определяет особый симплекс, полученный ${ displaystyle sigma}$ ), тогда

{ displaystyle partial _ {n} sigma = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} sigma mid _ {[p_ {0}, ldots, p_ {k -1}, p_ {k + 1}, ldots, p_ {n}]}}

это формальная сумма обозначенных определенным образом граней симплексного изображения. (То есть конкретное лицо должно быть ограничением ${ displaystyle sigma}$ к лицу ${ displaystyle Delta ^ {n}}$ который зависит от порядка перечисления его вершин.) Так, например, граница ${ displaystyle sigma = [p_ {0}, p_ {1}]}$ (кривая, идущая от ${ displaystyle p_ {0}}$ к ${ displaystyle p_ {1}}$ ) - формальная сумма (или «формальная разница») ${ displaystyle [p_ {1}] - [p_ {0}]}$ .

Сингулярный цепной комплекс

Обычное построение сингулярных гомологий осуществляется путем определения формальных сумм симплексов, которые можно понимать как элементы свободная абелева группа, а затем показав, что мы можем определить определенную группу, группа гомологии топологического пространства, содержащего граничный оператор.

Рассмотрим сначала множество всех возможных особых п-симплексы ${ Displaystyle sigma _ {п} (Х)}$ на топологическом пространстве Икс. Этот набор может быть использован как основа свободная абелева группа, так что каждое единственное число п-simplex является генератором группы. Этот набор генераторов, конечно, обычно бесконечен, часто бесчисленный, так как существует много способов отобразить симплекс в типичное топологическое пространство. Свободную абелеву группу, порожденную этим базисом, обычно обозначают как ${ Displaystyle C_ {п} (Х)}$ . Элементы ${ Displaystyle C_ {п} (Х)}$ называются единственное число п-цепи; они представляют собой формальные суммы сингулярных симплексов с целыми коэффициентами.

В граница ${ displaystyle partial}$ легко распространяется на особые п-цепи. Расширение, названное граничный оператор, записанный как

{ displaystyle partial _ {n}: C_ {n} to C_ {n-1},}

это гомоморфизм групп. Граничный оператор вместе с ${ displaystyle C_ {n}}$ , сформировать цепной комплекс абелевых групп, называемых особый комплекс. Часто обозначается как ${ displaystyle (C _ { bullet} (X), partial _ { bullet})}$ или проще ${ displaystyle C _ { bullet} (X)}$ .

Ядро граничного оператора есть ${ Displaystyle Z_ {n} (X) = ker ( partial _ {n})}$ , и называется группа единственного числа п-циклы. Образ граничного оператора ${ displaystyle B_ {n} (X) = operatorname {im} ( partial _ {n + 1})}$ , и называется группа единственного числа п-границы.

Также можно показать, что ${ displaystyle partial _ {n} circ partial _ {n + 1} = 0}$ . В ${ displaystyle n}$ -я группа гомологий ${ displaystyle X}$ тогда определяется как факторная группа

{ Displaystyle H_ {n} (X) = Z_ {n} (X) / B_ {n} (X).}

Элементы ${ displaystyle H_ {n} (X)}$ называются классы гомологии.

Гомотопическая инвариантность

Если Икс и Y два топологических пространства с одинаковыми гомотопический тип (т.е. являются гомотопический эквивалент ), тогда

{ Displaystyle Н_ {п} (Х) конг Н_ {п} (Y) ,}

для всех п ≥ 0. Это означает, что группы гомологий топологические инварианты.

В частности, если Икс это связанный сжимаемое пространство, то все его группы гомологий равны 0, кроме ${ displaystyle H_ {0} (X) cong mathbb {Z}}$ .

Доказательство гомотопической инвариантности сингулярных групп гомологий можно наметить следующим образом. Непрерывная карта ж: Икс → Y индуцирует гомоморфизм

{ displaystyle f _ { sharp}: C_ {n} (X) rightarrow C_ {n} (Y).}

Сразу можно проверить, что

{ displaystyle partial f _ { sharp} = f _ { sharp} partial,}

т.е. ж_# это карта цепи, спускающийся до гомоморфизмов на гомологиях

{ displaystyle f _ {*}: H_ {n} (X) rightarrow H_ {n} (Y).}

Теперь покажем, что если ж и грамм гомотопически эквивалентны, то ж_* = грамм_*. Отсюда следует, что если ж является гомотопической эквивалентностью, то ж_* является изоморфизмом.

Позволять F : Икс × [0, 1] → Y быть гомотопией, которая принимает ж к грамм. На уровне цепей определим гомоморфизм

{ Displaystyle P: C_ {n} (X) rightarrow C_ {n + 1} (Y)}

который, говоря геометрически, берет за базисный элемент σ: Δ^п → Икс из C_п(Икс) к "призме" п(σ): Δ^п × я → Y. Граница п(σ) можно выразить как

{ Displaystyle partial P ( sigma) = f _ { sharp} ( sigma) -g _ { sharp} ( sigma) -P ( partial sigma).}

Так что если α в C_п(Икс) является п-цикл, то ж_#(α ) и грамм_#(α) отличаются границей:

{ displaystyle f _ { sharp} ( alpha) -g _ { sharp} ( alpha) = partial P ( alpha),}

т.е. они гомологичны. Это доказывает утверждение.

Функциональность

Приведенная выше конструкция может быть определена для любого топологического пространства и сохраняется при действии непрерывных отображений. Из этой общности следует, что теорию сингулярных гомологий можно переформулировать на языке теория категорий. В частности, группу гомологий можно понимать как функтор от категория топологических пространств Вершина к категория абелевых групп Ab.

Учтите сначала, что ${ Displaystyle X mapsto C_ {n} (X)}$ является отображением топологических пространств в свободные абелевы группы. Это говорит о том, что ${ Displaystyle C_ {п} (Х)}$ можно было бы принять за функтор, если можно понять его действие на морфизмы из Вершина. Теперь морфизмы Вершина являются непрерывными функциями, поэтому если ${ displaystyle f: от X до Y}$ является непрерывным отображением топологических пространств, его можно продолжить до гомоморфизма групп

{ displaystyle f _ {*}: C_ {n} (X) to C_ {n} (Y) ,}

определяя

{ displaystyle f _ {*} left ( sum _ {i} a_ {i} sigma _ {i} right) = sum _ {i} a_ {i} (f circ sigma _ {i} )}

куда ${ displaystyle sigma _ {i}: Delta ^ {n} to X}$ - особый симплекс, а ${ Displaystyle сумма _ {я} а_ {я} сигма _ {я} ,}$ это особенное п-цепь, то есть элемент ${ Displaystyle C_ {п} (Х)}$ . Это показывает, что ${ displaystyle C_ {n}}$ является функтором

{ displaystyle C_ {n}: mathbf {Top} to mathbf {Ab}}

от категория топологических пространств к категория абелевых групп.

Граничный оператор коммутирует с непрерывными отображениями, так что ${ displaystyle partial _ {n} f _ {*} = f _ {*} partial _ {n}}$ . Это позволяет рассматривать весь цепной комплекс как функтор. В частности, это показывает, что карта ${ Displaystyle X mapsto H_ {п} (X)}$ это функтор

{ displaystyle H_ {n}: mathbf {Top} to mathbf {Ab}}

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. По аксиоме гомотопии имеем ${ displaystyle H_ {n}}$ также является функтором, называемым функтором гомологии, действующим на hTop, частное гомотопическая категория:

{ displaystyle H_ {n}: mathbf {hTop} to mathbf {Ab}.}

Это отличает особые гомологии от других теорий гомологии, в которых ${ displaystyle H_ {n}}$ по-прежнему является функтором, но не обязательно определяется на всех Вершина. В некотором смысле сингулярные гомологии - это самая "большая" теория гомологий, поскольку каждая теория гомологий на некотором подкатегория из Вершина согласуется с сингулярными гомологиями в этой подкатегории. С другой стороны, особые гомологии не обладают чистейшими категориальными свойствами; такая очистка мотивирует развитие других теорий гомологии, таких как клеточная гомология.

В более общем смысле, функтор гомологии определяется аксиоматически как функтор на абелева категория, или, наоборот, как функтор на цепные комплексы, удовлетворяющие аксиомам, требующим пограничный морфизм это превращается короткие точные последовательности в длинные точные последовательности. В случае особых гомологий функтор гомологии может быть разложен на две части, топологическую часть и алгебраическую часть. Топологический фрагмент дается формулой

{ displaystyle C _ { bullet}: mathbf {Top} to mathbf {Comp}}

который отображает топологические пространства как ${ Displaystyle X mapsto (C _ { bullet} (X), partial _ { bullet})}$ и непрерывные функции как ${ displaystyle f mapsto f _ {*}}$ . Вот тогда ${ displaystyle C _ { bullet}}$ понимается как сингулярный цепной функтор, который отображает топологические пространства в категория сетевых комплексов Comp (или же Kom). Категория цепных комплексов включает в себя цепные комплексы. объекты, и цепные карты как его морфизмы.

Вторая, алгебраическая часть - это функтор гомологии

{ displaystyle H_ {n}: mathbf {Comp} to mathbf {Ab}}

который отображает

{ displaystyle C _ { bullet} mapsto H_ {n} (C _ { bullet}) = Z_ {n} (C _ { bullet}) / B_ {n} (C _ { bullet})}

и переводит цепные отображения в отображения абелевых групп. Именно этот функтор гомологии может быть определен аксиоматически, так что он стоит сам по себе как функтор в категории цепных комплексов.

Гомотопические карты снова входят в картину, определяя гомотопически эквивалентные цепные карты. Таким образом, можно определить факторная категория hComp или же K, то гомотопическая категория цепных комплексов.

Коэффициенты в р

Учитывая любой единый звенеть р, множество сингулярных п-симплексы на топологическом пространстве можно рассматривать как генераторы свободный р-модуль. То есть вместо того, чтобы выполнять приведенные выше конструкции с начальной точки свободных абелевых групп, вместо этого используются свободные р-модули на их месте. Все конструкции проходят практически без изменений. Результатом этого является

{ Displaystyle Н_ {п} (Х, R) }

который сейчас р-модуль. Конечно, обычно нет бесплатный модуль. Чтобы восстановить обычную группу гомологий, нужно заметить, что

{ displaystyle H_ {n} (X, mathbb {Z}) = H_ {n} (X)}

если принять кольцо за кольцо целых чисел. Обозначение ЧАС_п(Икс, р) не следует путать с почти идентичным обозначением ЧАС_п(Икс, А), что означает относительную гомологию (см. ниже).

Относительная гомология

Для подпространства ${ Displaystyle A подмножество X}$ , то относительная гомология ЧАС_п(Икс, А) понимается как гомологии фактора цепных комплексов, т. е.

{ Displaystyle H_ {n} (X, A) = H_ {n} (C _ { bullet} (X) / C _ { bullet} (A))}

где фактор цепных комплексов задается короткой точной последовательностью

{ displaystyle 0 к C _ { bullet} (A) к C _ { bullet} (X) к C _ { bullet} (X) / C _ { bullet} (A) to 0.}

Когомологии

Дуализируя гомологии цепной комплекс (т.е. применяя функтор Hom (-, р), р - любое кольцо) получаем коцепьевой комплекс с кограничной картой ${ displaystyle delta}$ . В группы когомологий из Икс определяются как группы гомологий этого комплекса; в шутку, «когомологии - это гомологии ко [двойственного комплекса]».

Группы когомологий имеют более богатую или, по крайней мере, более знакомую алгебраическую структуру, чем группы гомологий. Во-первых, они образуют дифференциальная градуированная алгебра следующее:

оцененный набор групп образуют градуированный р-модуль;
этому можно придать структуру градуированной р-алгебра с использованием чашка продукта;
то Гомоморфизм Бокштейна β дает дифференциал.

Есть дополнительные когомологические операции, а алгебра когомологий имеет структуру сложения mod п (как и раньше, мод п когомологии - это когомологии мода п комплекс коцепи, а не мод п редукция когомологий), в частности Алгебра Стинрода структура.

Гомологии и когомологии Бетти

Поскольку количество теории гомологии стал большим (см. Категория: Теория гомологий), условия Бетти гомологии и Когомологии Бетти иногда применяются (особенно авторами, пишущими на алгебраическая геометрия ) к сингулярной теории, поскольку порождает Бетти числа самых знакомых пространств, таких как симплициальные комплексы и закрытые коллекторы.

Чрезвычайная гомология

Если определить теорию гомологий аксиоматически (через Аксиомы Эйленберга – Стинрода ), а затем ослабляет одну из аксиом ( аксиома размерности), получается обобщенная теория, называемая экстраординарная теория гомологии. Первоначально они возникли в виде необычные теории когомологий, а именно K-теория и теория кобордизма. В этом контексте особые гомологии называются обычные гомологии.