Теорема Гуревича - Hurewicz theorem

В математика, то Теорема Гуревича это основной результат алгебраическая топология, подключение теория гомотопии с теория гомологии через карту, известную как Гомоморфизм Гуревича. Теорема названа в честь Витольд Гуревич, и обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре.

Формулировка теорем

Теоремы Гуревича являются ключевым звеном между гомотопические группы и группы гомологии.

Абсолютная версия

Для любого соединенный путём Космос Икс и положительное целое число п существует групповой гомоморфизм

{ displaystyle h _ {*} двоеточие pi _ {n} (X) to H_ {n} (X),}

называется Гомоморфизм Гуревича, от п-го гомотопическая группа к п-го группа гомологии (с целыми коэффициентами). Он задается следующим образом: выбрать канонический генератор ${ Displaystyle и_ {п} в Н_ {п} (S ^ {п})}$ , то гомотопический класс отображений ${ displaystyle f in pi _ {n} (X)}$ доставлен в ${ displaystyle f _ {*} (u_ {n}) in H_ {n} (X)}$ .

За ${ Displaystyle п = 1}$ этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм

{ displaystyle { tilde {h}} _ {*} двоеточие pi _ {1} (X) / [ pi _ {1} (X), pi _ {1} (X)] to H_ {1} (X)}

между абелианизация первой гомотопической группы ( фундаментальная группа ) и первая группа гомологий.

Если ${ Displaystyle п geq 2}$ и Икс является ${ Displaystyle (п-1)}$ -связаны, карта Гуревича ${ displaystyle h _ {*} двоеточие pi _ {n} (X) to H_ {n} (X)}$ является изоморфизмом. Кроме того, карта Гуревича ${ displaystyle h _ {*} двоеточие pi _ {n + 1} (X) to H_ {n + 1} (X)}$ является эпиморфизм в этом случае.^[1]

Относительная версия

Для любого пара пространств ${ Displaystyle (Х, А)}$ и целое число ${ displaystyle k> 1}$ существует гомоморфизм

{ displaystyle h _ {*} двоеточие pi _ {k} (X, A) to H_ {k} (X, A)}

от относительных гомотопических групп к относительным гомологическим группам. Относительная теорема Гуревича утверждает, что если оба ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle A}$ связаны, и пара ${ Displaystyle (п-1)}$ -подключен тогда ${ displaystyle H_ {k} (X, A) = 0}$ за ${ Displaystyle к <п}$ и ${ Displaystyle Н_ {п} (Х, А)}$ получается из ${ Displaystyle pi _ {п} (Х, А)}$ за счет исключения действия ${ Displaystyle pi _ {1} (А)}$ . Это доказано, например, в Уайтхед (1978) по индукции, доказывая, в свою очередь, абсолютную версию и лемму о гомотопическом сложении.

Эта относительная теорема Гуревича переформулирована следующим образом: Браун и Хиггинс (1981) как утверждение о морфизме

{ displaystyle pi _ {n} (X, A) to pi _ {n} (X чашка CA),}

куда ${ displaystyle CA}$ обозначает конус из ${ displaystyle A}$ . Это утверждение является частным случаем гомотопическая теорема об удалении с участием индуцированных модулей для ${ displaystyle n> 2}$ (скрещенные модули, если ${ displaystyle n = 2}$ ), которая сама выводится из высшей гомотопии теорема ван Кампена для относительных гомотопических групп, доказательство которых требует развития техники кубического высшего гомотопического группоида фильтрованного пространства.

Триадная версия

Для любой триады пространств ${ Displaystyle (Х; А, В)}$ (т.е. пробел Икс и подпространства А, B) и целое число ${ displaystyle k> 2}$ существует гомоморфизм

{ displaystyle h _ {*} двоеточие pi _ {k} (X; A, B) to H_ {k} (X; A, B)}

от триадных гомотопических групп к триадным гомологическим группам. Обратите внимание, что

{ displaystyle H_ {k} (X; A, B) cong H_ {k} (X cup (C (A cup B))).}

Теорема Гуревича о триаде утверждает, что если Икс, А, B, и ${ displaystyle C = A cap B}$ связаны, пары ${ Displaystyle (А, С)}$ и ${ displaystyle (B, C)}$ находятся ${ Displaystyle (п-1)}$ -связанный и ${ Displaystyle (д-1)}$ -связно, соответственно, и триада ${ Displaystyle (Х; А, В)}$ является ${ Displaystyle (п + д-2)}$ -связано, затем ${ displaystyle H_ {k} (X; A, B) = 0}$ за ${ Displaystyle к <р + д-2}$ и ${ Displaystyle Н_ {п + д-1} (Х; А)}$ получается из ${ displaystyle pi _ {p + q-1} (X; A, B)}$ за счет исключения действия ${ displaystyle pi _ {1} (A cap B)}$ и обобщенные произведения Уайтхеда. Доказательство этой теоремы использует теорему о высшем гомотопическом типе ван Кампена для триадических гомотопических групп, которая требует понятия фундаментального ${ displaystyle operatorname {кошка} ^ {n}}$ -группа п-куб пространств.

Версия симплициального набора

Теорема Гуревича для топологических пространств также может быть сформулирована для п-связаны симплициальные множества удовлетворяющие условию Кана.^[2]

Рациональная теорема Гуревича

Рациональная теорема Гуревича:^[3]^[4] Позволять Икс быть односвязным топологическим пространством с ${ displaystyle pi _ {я} (X) otimes mathbb {Q} = 0}$ за ${ displaystyle i leq r}$ . Тогда отображение Гуревича