Гомотопическая категория цепных комплексов - Homotopy category of chain complexes

В гомологическая алгебра в математика, то гомотопическая категория К (А) цепных комплексов в аддитивная категория А представляет собой основу для работы с цепными гомотопиями и гомотопическими эквивалентностями. Он занимает промежуточное положение между категорией цепные комплексы Ком (А) из А и производная категория D (А) из А когда А является абелевский; в отличие от первого, это триангулированная категория, и в отличие от последнего для его образования не требуется А абелева. Философски, в то время как D (А) делает изоморфизмы любых отображений комплексов, квазиизоморфизмы в Ком (А), К (А) делает это только для тех, которые являются квазиизоморфизмами по «уважительной причине», а именно, фактически имеют обратную с точностью до гомотопической эквивалентности. Таким образом, К (А) более понятно чем D (А).

Определения

Позволять А быть аддитивная категория. Гомотопическая категория К (А) основан на следующем определении: если у нас есть комплексы А, B и карты ж, грамм из А к B, а цепная гомотопия из ж к грамм это коллекция карт ${displaystyle h ^ {n} двоеточие A ^ {n} o B ^ {n-1}}$ (нет карта комплексов) такая, что

${displaystyle f ^ {n} -g ^ {n} = d_ {B} ^ {n-1} h ^ {n} + h ^ {n + 1} d_ {A} ^ {n},}$ или просто ${displaystyle f-g = d_ {B} h + hd_ {A}.}$

Это можно изобразить как:

Мы также говорим, что ж и грамм находятся цепной гомотопный, или это ${displaystyle f-g}$ является нуль-гомотопный или же гомотопный 0. Из определения ясно, что отображения комплексов, гомотопные нулю, образуют группу по сложению.

В гомотопическая категория цепных комплексов К (А) затем определяется следующим образом: его объекты такие же, как объекты Ком (А), а именно цепные комплексы. Его морфизмы - это «отображения комплексов по модулю гомотопии»: то есть мы определяем отношение эквивалентности

${displaystyle fsim g}$ если ж гомотопен грамм

и определить

${displaystyle operatorname {Hom} _ {K (A)} (A, B) = operatorname {Hom} _ {Kom (A)} (A, B) / sim}$

быть частное этим отношением. Ясно, что это приводит к аддитивной категории, если заметить, что это то же самое, что и факторизация по подгруппе нуль-гомотопных отображений.

Также широко используются следующие варианты определения: если взять только ограниченный снизу (А^п= 0 для n << 0), ограниченный сверху (А^п= 0 для n >> 0), или же ограниченный (А^п= 0 для | n | >> 0) комплексов вместо неограниченных, говорят о ограниченная снизу гомотопическая категория и т. д. Они обозначаются K⁺(А), K⁻(А) и K^б(А), соответственно.

Морфизм ${displaystyle f: Aightarrow B}$ который является изоморфизмом в К (А) называется гомотопическая эквивалентность. В деталях это означает, что есть еще одна карта ${displaystyle g: Bightarrow A}$, такие, что две композиции гомотопны тождествам: ${displaystyle fcirc gsim Id_ {B}}$ и${displaystyle gcirc fsim Id_ {A}}$.

Название «гомотопия» происходит от того факта, что гомотопный карты топологические пространства индуцируют гомотопические (в указанном выше смысле) отображения особые цепи.

Замечания

Две цепные гомотопические отображения ж и грамм индуцируют те же отображения на гомологиях, поскольку (ж - ж) отправляет циклы к границы, нулевые в гомологиях. В частности, гомотопическая эквивалентность - это квазиизоморфизм. (Обратное, вообще говоря, неверно.) Это показывает, что существует канонический функтор ${displaystyle K (A) ightarrow D (A)}$ к производная категория (если А является абелевский ).

Триангулированная структура

В сдвиг А [1] комплекса А следующий комплекс

${displaystyle A [1]: ... o A ^ {n + 1} {xrightarrow {d_ {A [1]} ^ {n}}} A ^ {n + 2} o ...}$ (Обратите внимание, что ${displaystyle (A [1]) ^ {n} = A ^ {n + 1}}$),

где дифференциал ${displaystyle d_ {A [1]} ^ {n}: = - d_ {A} ^ {n + 1}}$.

Для конуса морфизма ж мы берем картографический конус. Есть природные карты

${displaystyle A {xrightarrow {f}} B o C (f) o A [1]}$

Эта диаграмма называется треугольник. Гомотопическая категория К (А) это триангулированная категория, если определить выделенные треугольники как изоморфные (в К (А), т.е. гомотопический эквивалент) указанным выше треугольникам для произвольных А, B и ж. То же верно и для ограниченных вариантов K⁺(А), K⁻(А) и K^б(А). Хотя треугольники имеют смысл в Ком (А) кроме того, эта категория не триангулирована относительно этих выделенных треугольников; Например,

${displaystyle X {xrightarrow {id}} X o 0 o}$

не выделяется, поскольку конус тождественного отображения не изоморфен комплексу 0 (однако нулевое отображение ${displaystyle C (id) o 0}$ является гомотопической эквивалентностью, так что этот треугольник является отличился в К (А)). Кроме того, очевидно, что поворот выделенного треугольника не выделяется в Ком (А), но (менее очевидно) выделяется в К (А). Смотрите ссылки для деталей.

Обобщение

В более общем смысле, гомотопическая категория Хо (С) из дифференциальная категория C определяется, чтобы иметь те же объекты, что и C, но морфизмы определяются${displaystyle operatorname {Hom} _ {Ho (C)} (X, Y) = H ^ {0} operatorname {Hom} _ {C} (X, Y)}$. (Это сводится к гомотопии цепных комплексов, если C - категория комплексов, морфизмы которых не должны уважать дифференциалы). Если C имеет конусы и сдвиги в подходящем смысле, тогда Хо (С) также является триангулированной категорией.

Рекомендации

• Манин Юрий Иванович; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.