Сжимаемое пространство - Contractible space

Иллюстрация некоторых сжимаемых и несжимаемых пространств. Пространства A, B и C стягиваются; пространства D, E и F - нет.

В математика, а топологическое пространство Икс является стягиваемый если карта идентичности на Икс гомотопен нулю, т.е. если он гомотопный на какую-то постоянную карту.^[1][2] Интуитивно сжимаемое пространство - это пространство, которое можно непрерывно сжимать до точки в этом пространстве.

Характеристики

Сжимаемое пространство в точности совпадает с гомотопический тип точки. Отсюда следует, что все гомотопические группы сжимаемого пространства банальный. Следовательно, любое пространство с нетривиальной гомотопической группой не может быть стягиваемым. Аналогично, поскольку особые гомологии является гомотопическим инвариантом, редуцированные группы гомологии стягиваемого пространства все тривиальны.

Для топологического пространства Икс все следующие эквиваленты:

• Икс стягиваемо (т. е. тождественное отображение гомотопно нулю).
• Икс гомотопически эквивалентно одноточечному пространству.
• Икс деформация втягивается на точку. (Однако существуют стягиваемые пространства, которые не сильно деформация втянется в точку.)
• Для любого пространства Y, любые две карты ж,грамм: Y → Икс гомотопны.
• Для любого пространства Y, любая карта ж: Y → Икс нуль-гомотопна.

В конус на пространстве Икс всегда сжимаемо. Следовательно, любое пространство может быть вложено в стягиваемое (что также показывает, что подпространства стягиваемых пространств не обязательно должны быть стягиваемыми).

Более того, Икс договорный если и только если существует втягивание из конуса Икс к Икс.

Каждое сжимаемое пространство путь подключен и односвязный. Более того, поскольку все высшие гомотопические группы обращаются в нуль, каждое стягиваемое пространство является п-связаны для всех п ≥ 0.

Локально сжимаемые пространства

Топологическое пространство - это локально сокращаемый если каждая точка имеет местная база контрактных окрестности. Сжимаемые пространства не обязательно локально сжимаемы, и наоборот. Например, расческа стягиваемо, но не локально стягиваемо (если бы было, то было бы локально связано, а это не так). Локально сжимаемые пространства - это локально п-подключен для всех п ≥ 0. В частности, они локально односвязный, локально путь подключен, и локально связанный.

Примеры и контрпримеры

• Любой Евклидово пространство стягивается, как и любой звездный домен на евклидовом пространстве.
• В Коллектор Уайтхеда стягивается.
• Сферы любой конечной размерности не стягиваются.
• В единичная сфера в бесконечномерном Гильбертово пространство договорный.
• В дом с двумя комнатами это стандартный пример пространства, которое можно сжимать, но не интуитивно.
• В Шляпа болвана стягивается, но не складной.
• Конус на Гавайская серьга стягиваемо (так как это конус), но не локально стягиваемо и даже не локально односвязно.
• Все коллекторы и Комплексы CW находятся локально сжимаемый, но в целом не сжимаемый.
• В Варшавский круг получается путем "закрытия" синусоида тополога дугой, соединяющей (0, −1) и (1, sin (1)). Это одномерный континуум, гомотопические группы все тривиально, но не сжимаемо.

Рекомендации