Бетти число - Betti number

В алгебраическая топология, то Бетти числа используются для различения топологические пространства на основе возможности подключения п-размерный симплициальные комплексы. Для наиболее разумных конечномерных пробелы (Такие как компактные многообразия, конечный симплициальные комплексы или же Комплексы CW ), последовательность чисел Бетти с некоторой точки и далее равна 0 (числа Бетти обращаются в нуль выше размерности пространства), и все они конечны.

В п^th Число Бетти представляет собой ранг п^th группа гомологии, обозначенный ЧАС_п, который сообщает нам максимальное количество разрезов, которое можно сделать перед разделением поверхности на две части или 0-циклы, 1-циклы и т. д.^[1] Например, если ${ Displaystyle H_ {п} (X) cong 0}$ тогда ${ displaystyle b_ {n} (X) = 0}$ , если ${ Displaystyle Н_ {п} (Х) конг mathbb {Z}}$ тогда ${ displaystyle b_ {n} (X) = 1}$ , если ${ Displaystyle Н_ {п} (Х) конг mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ тогда ${ displaystyle b_ {n} (X) = 2}$ , если ${ Displaystyle Н_ {п} (Х) cong mathbb {Z} oplus mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ тогда ${ displaystyle b_ {n} (X) = 3}$ и т.д. Обратите внимание, что рассматриваются только ранги бесконечных групп, поэтому, например, если ${ Displaystyle Н_ {п} (Х) конг mathbb {Z} ^ {к} oplus mathbb {Z} / (2)}$ , куда ${ Displaystyle mathbb {Z} / (2)}$ конечная циклическая группа порядка 2, то ${ displaystyle b_ {n} (X) = k}$ . Эти конечные компоненты групп гомологий являются их торсионные подгруппы, и они обозначаются коэффициенты кручения.

Термин «числа Бетти» был придуман Анри Пуанкаре после Энрико Бетти. Современная формулировка обусловлена Эмми Нётер. Сегодня числа Бетти используются в таких областях, как симплициальные гомологии, Информатика, цифровые изображения, так далее.

Геометрическая интерпретация

Для тора первое число Бетти равно б₁ = 2, что интуитивно можно представить как количество круглых "отверстий"

Неофициально kth число Бетти относится к количеству k-размерный дыры на топологической поверхности. А "k-размерный дыра" это k-мерный цикл, не являющийся границей (k+1) -мерный объект.

Первые несколько чисел Бетти имеют следующие определения для 0-мерного, 1-мерного и 2-мерного симплициальные комплексы:

б₀ - количество связанных компонентов;
б₁ - количество одномерных или «круглых» отверстий;
б₂ - количество двумерных «пустот» или «полостей».

Так, например, тор имеет одну компоненту связной поверхности, поэтому б₀ = 1, два "круглых" отверстия (одно экваториальное и одно меридиональный ) так б₁ = 2, и единственная полость, заключенная внутри поверхности, так что б₂ = 1.

Другая интерпретация б_k это максимальное количество k-размерные кривые, которые можно удалить, пока объект остается соединенным. Например, тор остается связным после удаления двух одномерных кривых (экваториальной и меридиональной), поэтому б₁ = 2.^[2]

Двумерные числа Бетти легче понять, потому что мы видим мир в 0, 1, 2 и 3 измерениях; однако последующие числа Бетти имеют более высокое измерение, чем кажущееся физическое пространство.

Формальное определение

Для неотрицательного целое число k, то kй номер Бетти б_k(Икс) пространства Икс определяется как классифицировать (количество линейно независимых образующих) абелева группа ЧАС_k(Икс), kth группа гомологии изИкс. В k-я группа гомологий ${ displaystyle H_ {k} = ker delta _ {k} / mathrm {Im} delta _ {k + 1}}$ , то ${ displaystyle delta _ {k} s}$ являются граничными отображениями симплициальный комплекс и ранг H_k это kй номер Бетти. Эквивалентно его можно определить как векторное пространственное измерение из ЧАС_k(Икс; Q), поскольку группа гомологий в этом случае является векторным пространством надQ. В теорема об универсальном коэффициенте в очень простом случае без кручения показывает, что эти определения совпадают.

В более общем плане, учитывая поле F можно определить б_k(Икс, F), kчисло Бетти с коэффициентами в F, как размерность векторного пространства ЧАС_k(Икс, F).

Многочлен Пуанкаре

В Многочлен Пуанкаре поверхности определяется как производящая функция номеров Бетти. Например, числа Бетти тора - 1, 2 и 1; таким образом, его многочлен Пуанкаре равен ${ displaystyle 1 + 2x + x ^ {2}}$ . То же определение применяется к любому топологическому пространству, имеющему конечно порожденные гомологии.

Учитывая топологическое пространство, которое имеет конечно порожденные гомологии, полином Пуанкаре определяется как производящая функция его чисел Бетти, а именно полином, в котором коэффициент при ${ Displaystyle х ^ {п}}$ является ${ displaystyle b_ {n}}$ .

Примеры

Числа Бетти на графике

Рассмотрим топологический граф грамм в котором множество вершин V, множество ребер E, а набор связных компонент равен C. Как объяснено на странице гомология графов, его группы гомологий задаются формулами:

${ displaystyle H_ {k} (G) = { begin {cases} mathbb {Z} ^ {| C |} & k = 0 mathbb {Z} ^ {| E | + | C | - | V |} & k = 1 {0 } & { text {иначе}} end {case}}}$

Это может быть прямо доказано математическая индукция по количеству ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов, либо уменьшает количество связанных компонентов.

Следовательно, «нулевое» число Бетти б₀(грамм) равно |C|, то есть просто количество связанных компонентов.^[3]

Первое число Бетти б₁(грамм) равно |E|+|C|-|V|, Его еще называют цикломатическое число - термин, введенный Густав Кирхгоф перед газетой Бетти.^[4] Видеть цикломатическая сложность для приложения к программная инженерия.

Все остальные числа Бетти равны 0.

Числа Бетти симплициального комплекса

Рассмотрим симплициальный комплекс с 0-симплексами: a, b, c и d, 1-симплексами: E, F, G, H и I, и единственный 2-симплекс - это J, который является заштрихованной областью на рисунке. Ясно, что на этом рисунке есть одна связная компонента (б₀); одно отверстие, которое является незатененной областью (б₁); и никаких «пустот» или «полостей» (б₂).

Это означает, что ранг ${ displaystyle H_ {0}}$ равен 1, ранг ${ displaystyle H_ {1}}$ равен 1 и ранг ${ displaystyle H_ {2}}$ равно 0.

Последовательность чисел Бетти для этого рисунка - 1,1,0,0, ...; многочлен Пуанкаре равен ${ Displaystyle 1 + х ,}$ .

Числа Бетти проективной плоскости

Группы гомологии проективная плоскость п находятся:^[5]

${ displaystyle H_ {k} (P) = { begin {case} mathbb {Z} & k = 0 mathbb {Z} _ {2} & k = 1 {0 } & { text {в противном случае}} end {case}}}$

Здесь, Z₂ это циклическая группа порядка 2. 0-е число Бетти снова 1. Однако 1-е число Бетти равно 0. Это потому, что ЧАС₁(п) конечная группа - у нее нет бесконечной компоненты. Конечная компонента группы называется коэффициент кручения из п. (Рациональные) числа Бетти б_k(Икс) не учитываем никаких кручение в группах гомологий, но они являются очень полезными основными топологическими инвариантами. Проще говоря, они позволяют подсчитать количество дыры разных размеров.

Характеристики

Эйлерова характеристика

Для конечного CW-комплекса K у нас есть

{ Displaystyle чи (К) = сумма _ {я = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {я} b_ {я} (К, F), ,}

куда ${ Displaystyle чи (К)}$ обозначает Эйлерова характеристика из K и любое полеF.

Декартово произведение

Для любых двух пробелов Икс и Y у нас есть

{ Displaystyle P_ {X times Y} = P_ {X} P_ {Y},}

куда ${ displaystyle P_ {X}}$ обозначает Многочлен Пуанкаре из Икс, (в более общем смысле Ряд Гильберта – Пуанкаре, для бесконечномерных пространств), т.е. производящая функция числа Бетти Икс:

{ Displaystyle P_ {X} (z) = b_ {0} (X) + b_ {1} (X) z + b_ {2} (X) z ^ {2} + cdots, , !}

видеть Теорема Кюннета.

Симметрия

Если Икс является п-мерного многообразия существует симметрия, меняющая местами ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle n-k}$ , для любого ${ displaystyle k}$ :

{ Displaystyle Ь_ {к} (Х) = Ь_ {п-к} (Х),}

при условиях (a закрыто и ориентированный многообразие); видеть Двойственность Пуанкаре.

Разные коэффициенты

Зависимость от поля F только через его характеристика. Если группы гомологии без кручения, числа Бетти не зависят от F. Связь п-кручение и число Бетти для характеристикап, за п простое число, подробно дается теорема об универсальном коэффициенте (на основе Функторы Tor, но в простом случае).

Еще примеры

Последовательность чисел Бетти для круга - 1, 1, 0, 0, 0, ...;
многочлен Пуанкаре равен
${ Displaystyle 1 + х ,}$ .
Последовательность чисел Бетти для трех-тор равно 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ....
многочлен Пуанкаре равен
${ Displaystyle (1 + х) ^ {3} = 1 + 3x + 3x ^ {2} + х ^ {3} ,}$ .
Аналогично для п-тор,
многочлен Пуанкаре равен
${ Displaystyle (1 + х) ^ {п} ,}$ (посредством Теорема Кюннета ), поэтому числа Бетти - это биномиальные коэффициенты.

Для пространств, которые по существу бесконечномерны, может существовать бесконечная последовательность ненулевых чисел Бетти. Примером может служить бесконечномерная сложное проективное пространство, с последовательностью 1, 0, 1, 0, 1, ... то есть периодической, с продолжительность периода 2) В этом случае функция Пуанкаре не полином, а бесконечный ряд

{ Displaystyle 1 + х ^ {2} + х ^ {4} + dotsb}

,

который, будучи геометрическим рядом, может быть выражен как рациональная функция

{ displaystyle { frac {1} {1-x ^ {2}}}.}

В более общем смысле, любая периодическая последовательность может быть выражена как сумма геометрических рядов, обобщая вышеизложенное (например, ${ displaystyle a, b, c, a, b, c, dots,}$ имеет производящую функцию

{ Displaystyle (а + bx + cx ^ {2}) / (1-х ^ {3}) ,}

и вообще линейные рекурсивные последовательности в точности последовательности, порожденные рациональные функции; таким образом, ряд Пуанкаре может быть выражен как рациональная функция тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти является линейной рекурсивной последовательностью.

Многочлены Пуанкаре компактного простого Группы Ли находятся:

{ Displaystyle P_ {СУ (п + 1)} (х) = (1 + х ^ {3}) (1 + х ^ {5}) cdots (1 + х ^ {2n + 1})}

{ Displaystyle P_ {SO (2n + 1)} (x) = (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {7}) cdots (1 + x ^ {4n-1})}

{ displaystyle P_ {Sp (n)} (x) = (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {7}) cdots (1 + x ^ {4n-1})}

{ Displaystyle P_ {SO (2n)} (x) = (1 + x ^ {2n-1}) (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {7}) cdots (1 + x ^ {4н-5})}

{ Displaystyle P_ {G_ {2}} (x) = (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {11})}

{ Displaystyle P_ {F_ {4}} (x) = (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {11}) (1 + x ^ {15}) (1 + x ^ {23}) }

{ Displaystyle P_ {E_ {6}} (x) = (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {9}) (1 + x ^ {11}) (1 + x ^ {15}) (1 + x ^ {17}) (1 + x ^ {23})}

{ displaystyle P_ {E_ {7}} (x) = (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {11}) (1 + x ^ {15}) (1 + x ^ {19}) (1 + x ^ {23}) (1 + x ^ {27}) (1 + x ^ {35})}

{ Displaystyle P_ {E_ {8}} (x) = (1 + x ^ {3}) (1 + x ^ {15}) (1 + x ^ {23}) (1 + x ^ {27}) (1 + x ^ {35}) (1 + x ^ {39}) (1 + x ^ {47}) (1 + x ^ {59})}

Связь с размерностями пространств дифференциальных форм

В геометрических ситуациях, когда ${ displaystyle X}$ это закрытый коллектор, важность чисел Бетти может проистекать из другого направления, а именно из того, что они предсказывают размерности векторных пространств замкнутые дифференциальные формы по модулю точные дифференциальные формы. Связь с приведенным выше определением осуществляется тремя основными результатами: теорема де Рама и Двойственность Пуанкаре (когда они применимы), и теорема об универсальном коэффициенте из теория гомологии.

Есть альтернативное прочтение, а именно, что числа Бетти дают размеры пространств гармонические формы. Это требует также использования некоторых результатов Теория Ходжа, о Ходж лапласиан.

В этой настройке Теория Морса дает набор неравенств для переменных сумм чисел Бетти в терминах соответствующей переменной суммы числа критические точки ${ displaystyle N_ {i}}$ из Функция Морса данного индекс:

{ displaystyle b_ {i} (X) -b_ {i-1} (X) + cdots leq N_ {i} -N_ {i-1} + cdots.}

Эдвард Виттен дал объяснение этим неравенствам, используя функцию Морса для модификации внешняя производная в комплекс де Рама.^[6]