Подалгебра Бореля - Borel subalgebra

В математике, особенно в теория представлений, а Подалгебра Бореля из Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это максимальный разрешимый подалгебра.^[1] Понятие названо в честь Арман Борель.

Если алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является алгеброй Ли комплексная группа Ли, то борелевская подалгебра - это алгебра Ли Подгруппа Бореля.

Подалгебра Бореля, ассоциированная с флагом

Позволять ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {gl}} (V)}$ - алгебра Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V над комплексными числами. Затем, чтобы указать борелевскую подалгебру в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ суммы указать флаг из V; дан флаг ${ Displaystyle V = V_ {0} supset V_ {1} supset cdots supset V_ {п} = 0}$ подпространство ${ displaystyle { mathfrak {b}} = {x in { mathfrak {g}} | x (V_ {i}) subset V_ {i}, 1 leq i leq n }}$ является борелевской подалгеброй,^[2] и наоборот, каждая борелевская подалгебра имеет такую форму по формуле Теорема Ли. Следовательно, подалгебры Бореля классифицируются разновидность флага из V.

Подалгебра Бореля относительно базы корневой системы

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ быть сложным полупростая алгебра Ли, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ а Подалгебра Картана и р то корневая система связанные с ними. Выбор базы р дает понятие положительных корней. потом ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ имеет разложение ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {n}} ^ {-} oplus { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {n}} ^ {+}}$ где ${ displaystyle { mathfrak {n}} ^ { pm} = sum _ { alpha> 0} { mathfrak {g}} _ { pm alpha}}$ . потом ${ displaystyle { mathfrak {b}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {n}} ^ {+}}$ является подалгеброй Бореля относительно вышеупомянутой установки.^[3] (Она разрешима, поскольку производная алгебра ${ displaystyle [{ mathfrak {b}}, { mathfrak {b}}]}$ нильпотентен. Максимально разрешима Теорема Бореля – Морозова. о сопряженности разрешимых подалгебр.^[4])

Учитывая ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -модуль V, а примитивный элемент из V - (ненулевой) вектор, который (1) является весовым вектором для ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ и что (2) аннулируется ${ Displaystyle { mathfrak {п}} ^ {+}}$ . Это то же самое, что и ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ -весовой вектор (Доказательство: если ${ displaystyle h in { mathfrak {h}}}$ и ${ Displaystyle е ин { mathfrak {п}} ^ {+}}$ с участием ${ displaystyle [h, e] = 2e}$ и если ${ Displaystyle { mathfrak {b}} cdot v}$ это линия, тогда ${ Displaystyle 0 = [час, е] cdot v = 2e cdot v}$ .)