Угловой дефект - Angular defect

В геометрия, (угловатый) дефект (или дефицит или недостаток) означает отказ некоторых углы в сумме до ожидаемой величины 360 ° или 180 °, когда такие углы в Евклидова плоскость было бы. Противоположное понятие - это избыток.

Классически дефект возникает двумя способами:

• дефект вершины многогранника;
• дефект гиперболический треугольник;

И избыток также возникает двумя способами:

• превышение тороидальный многогранник.
• превышение сферический треугольник;

В евклидовой плоскости углы вокруг точки в сумме составляют 360 °, в то время как внутренние углы в треугольнике складывается до 180 ° (эквивалентно, внешний вид углы в сумме составляют 360 °). Однако у выпуклого многогранника углы при вершине составляют менее 360 °, в сферическом треугольнике внутренние углы всегда в сумме составляют более 180 ° (внешние углы в сумме составляют Меньше чем 360 °), а углы в гиперболическом треугольнике всегда составляют менее 180 ° (внешние углы в сумме составляют Больше чем 360 °).

Говоря современным языком, дефект в вершине или над треугольником (с минусом) - это в точности кривизна в этой точке или общая (интегрированная) по треугольнику, как установлено Теорема Гаусса – Бонне.

Дефект вершины

Для многогранник, дефект в вершине равен 2π минус сумма всех углов в вершине (включая все грани в вершине). Если многогранник выпуклый, то дефект каждой вершины всегда положительный. Если сумма углов превышает полную очередь, как это происходит в некоторых вершинах многих невыпуклых многогранников, то дефект отрицательный.

Понятие дефекта распространяется на более высокие измерения, поскольку сумма, на которую двугранные углы из клетки в пик не дотягивает до полного круга.

Примеры

Дефект любой из вершин правильного додекаэдр (в котором три обычных пятиугольники встречаются в каждой вершине) составляет 36 °, или π / 5 радиан, или 1/10 окружности. Каждый из углов составляет 108 °; три из них встречаются в каждой вершине, поэтому дефект составляет 360 ° - (108 ° + 108 ° + 108 °) = 36 °.

Та же процедура может быть проделана для другого Платоновы тела:

Форма	Количество вершин	Полигоны встречаются в каждой вершине	Дефект в каждой вершине	Полный дефект
тетраэдр	4	Три равносторонних треугольника	${ Displaystyle пи (180 ^ { circ})}$	${ displaystyle 4 pi (720 ^ { circ})}$
октаэдр	6	Четыре равносторонних треугольника	${ displaystyle {2 pi over 3} (120 ^ { circ})}$	${ displaystyle 4 pi (720 ^ { circ})}$
куб	8	Три квадрата	${ displaystyle { pi over 2} (90 ^ { circ})}$	${ displaystyle 4 pi (720 ^ { circ})}$
икосаэдр	12	Пять равносторонних треугольников	${ displaystyle { pi over 3} (60 ^ { circ})}$	${ displaystyle 4 pi (720 ^ { circ})}$
додекаэдр	20	Три правильных пятиугольника	${ displaystyle { pi over 5} (36 ^ { circ})}$	${ displaystyle 4 pi (720 ^ { circ})}$

Теорема Декарта

Теорема Декарта о «полном дефекте» многогранника утверждает, что если многогранник гомеоморфный к сфере (т. е. топологически эквивалентен сфере, так что она может быть деформирована в сферу путем растяжения без разрыва), «общий дефект», то есть сумма дефектов всех вершин, составляет два полных круга (или 720 ° или 4π радиан). Многогранник не обязательно должен быть выпуклым.^[1]

Обобщение говорит, что количество кругов в общем дефекте равно Эйлерова характеристика многогранника. Это частный случай Теорема Гаусса – Бонне которая связывает интеграл Гауссова кривизна к эйлеровой характеристике. Здесь гауссова кривизна сосредоточена в вершинах: на гранях и ребрах гауссова кривизна равна нулю, а интеграл гауссовой кривизны в вершине равен дефекту там.

Это можно использовать для расчета количества V вершин многогранника, суммируя углы всех граней и добавляя общий дефект. В этой сумме будет по одному завершенному кругу на каждую вершину многогранника. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильную характеристику Эйлера для многогранника.

Обратное к этой теореме дает Теорема единственности Александрова, согласно которому метрическое пространство, являющееся локально евклидовым, за исключением конечного числа точек положительного углового дефекта, добавленного к 4π, может быть реализовано уникальным образом как поверхность выпуклого многогранника.

Положительные дефекты на невыпуклых фигурах

Заманчиво думать, что у каждого невыпуклого многогранника должны быть вершины с отрицательным дефектом, но это не обязательно. Два контрпримера этому - малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр, которые имеют по двенадцать выпуклых точек с положительными дефектами.

Многогранники с положительными дефектами

Контрпример, который не пересекает сам себя, дается куб где одно лицо заменено на квадратная пирамида: этот удлиненная квадратная пирамида выпуклая, и дефекты в каждой вершине положительны. Теперь рассмотрим тот же куб, в котором квадратная пирамида переходит в куб: он вогнутый, но дефекты остаются теми же, и поэтому все положительные.

Отрицательный дефект указывает на то, что вершина напоминает точка перевала, тогда как положительный дефект указывает на то, что вершина напоминает локальный максимум или минимум.

использованная литература

Заметки

Список используемой литературы

• Ричсон, Д.; Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии, Princeton (2008), страницы 220–225.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Угловой дефект». MathWorld.