Теорема Гаусса – Бонне - Gauss–Bonnet theorem

Пример сложной области, в которой применима теорема Гаусса – Бонне. Показывает знак геодезической кривизны.

В Теорема Гаусса – Бонне, или Формула Гаусса – Бонне, это отношения между поверхности в дифференциальная геометрия. Он соединяет кривизна поверхности (от геометрия ) его Эйлерова характеристика (от топология ).

В простейшем приложении случай треугольника на плоскости, то сумма его углов составляет 180 градусов.^[1] Теорема Гаусса-Бонне распространяет это на более сложные формы и искривленные поверхности, соединяя локальную и глобальную геометрии.

Теорема названа в честь Карл Фридрих Гаусс, который разработал версию, но не опубликовал ее, и Пьер Оссиан Бонне, опубликовавший частный случай в 1848 г.^{[не проверено в теле ]}

утверждение

Предположим ${ displaystyle M}$ это компактный двумерный Риманово многообразие с границей ${ displaystyle partial M}$ . Позволять ${ displaystyle K}$ быть Гауссова кривизна из ${ displaystyle M}$ , и разреши ${ displaystyle k_ {g}}$ быть геодезическая кривизна из ${ displaystyle partial M}$ . потом^[2]^[3]

{ Displaystyle int _ {M} K ; dA + int _ { partial M} k_ {g} ; ds = 2 pi chi (M), ,}

где dA это элемент площади поверхности, и ds линейный элемент вдоль границы M. Вот, ${ Displaystyle чи (М)}$ это Эйлерова характеристика из ${ displaystyle M}$ .

Если граница ${ displaystyle partial M}$ является кусочно гладкий, то интерпретируем интеграл ${ displaystyle int _ { partial M} k_ {g} ; ds}$ как сумму соответствующих интегралов вдоль гладких участков границы плюс сумма углы при котором гладкие участки поворачиваются на углах границы.

Многие стандартные доказательства используют теорему об повороте касательных, которая примерно утверждает, что номер намотки из Кривая Иордании ровно ± 1.^[2]

Толкование и значение

Теорема применима, в частности, к компактным поверхностям без границы, и в этом случае интеграл

{ displaystyle int _ { partial M} k_ {g} ; ds}

можно не указывать. В нем говорится, что полная гауссова кривизна такой замкнутой поверхности в 2π раз больше эйлеровой характеристики поверхности. Обратите внимание, что для ориентируемый компактных поверхностей без границы, эйлерова характеристика равна ${ displaystyle 2-2g}$ , где ${ displaystyle g}$ это род поверхности: любая ориентируемая компактная поверхность без границы топологически эквивалентна сфере с некоторыми прикрепленными ручками, и ${ displaystyle g}$ подсчитывает количество ручек.

Если гнуть и деформировать поверхность ${ displaystyle M}$ , его эйлерова характеристика, будучи топологическим инвариантом, не изменится, а кривизна в некоторых точках изменится. Теорема заявляет, что несколько удивительно, что полный интеграл всех кривизны останется прежним, независимо от того, как деформировать. Так, например, если у вас есть сфера с "вмятиной", то ее полная кривизна равно 4π (эйлерова характеристика сферы равна 2), независимо от того, насколько велика или глубина вмятина.

Решающее значение имеет компактность поверхности. Рассмотрим, например, открыть единичный диск, некомпактная риманова поверхность без границы, кривизны 0 и с эйлеровой характеристикой 1: формула Гаусса – Бонне не работает. Однако это верно для компактного замкнутого единичного диска, который также имеет эйлерову характеристику 1 из-за добавленного граничного интеграла со значением 2π.

В качестве приложения тор имеет эйлерову характеристику 0, поэтому его полная кривизна также должна быть равна нулю. Если тор несет обычную риманову метрику из вложения в р³, то внутренняя часть имеет отрицательную гауссову кривизну, внешняя часть имеет положительную гауссову кривизну, а общая кривизна действительно равна 0. Также можно построить тор, отождествляя противоположные стороны квадрата, и в этом случае риманова метрика на торе равна плоский и имеет постоянную кривизну 0, что опять же приводит к полной кривизне 0. Невозможно задать риманову метрику на торе с всюду положительной или всюду отрицательной гауссовой кривизной.

Для треугольников

Иногда формула GB обозначается как

{ displaystyle int _ {T} K = 2 pi - sum alpha - int _ { partial T} kappa _ {g}}

где T - это геодезический треугольник. Здесь мы определяем «треугольник» на M как односвязную область, граница которой состоит из трех геодезические. Затем мы можем нанести GB на поверхность Т образованный внутренней частью этого треугольника и кусочной границей треугольника.

Геодезическая кривизна окаймляющих геодезических равна 0, а эйлерова характеристика Т будучи 1.

Следовательно, сумма углов поворота геодезического треугольника равна 2π минус общая кривизна внутри треугольника. Поскольку угол поворота на углу равен π минус внутренний угол, мы можем перефразировать это следующим образом:^[4]

Сумма внутренних углов геодезического треугольника равна π плюс общая кривизна, заключенная в треугольнике.

{ Displaystyle сумма ( пи - альфа) = пи + int _ {T} K}

В случае плоскости (где гауссова кривизна равна 0, а геодезические - прямые), мы восстанавливаем знакомую формулу для суммы углов в обычном треугольнике. На стандартной сфере, где кривизна всюду равна 1, мы видим, что сумма углов геодезических треугольников всегда больше π.

Особые случаи

Ряд более ранних результатов в сферической геометрии и гиперболической геометрии, открытых в предыдущие столетия, были отнесены к частным случаям Гаусса – Бонне.

Треугольники

В сферическая тригонометрия и гиперболическая тригонометрия, площадь треугольника пропорциональна сумме, на которую его внутренние углы не суммируются до 180 °, или, что то же самое, (обратной) величине, на которую его внешние углы не складываются до 360 °.

Площадь сферический треугольник пропорциональна его избытку, на Теорема Жирара - сумма, на которую его внутренние углы в сумме составляют более 180 °, что равно сумме, на которую его внешние углы в сумме составляют менее 360 °.

Площадь гиперболический треугольник, наоборот, пропорциональна своему дефект как установлено Иоганн Генрих Ламберт.

Многогранники

Теорема Декарта о полном угловом дефекте из многогранник является полиэдральным аналогом: он утверждает, что сумма дефекта во всех вершинах многогранника гомеоморфный к сфере 4π. В более общем случае, если многогранник имеет Эйлерова характеристика ${ displaystyle chi = 2-2g}$ (где г - род, что означает «количество дырок»), то сумма дефекта равна ${ displaystyle 2 pi chi.}$ Это частный случай Гаусса – Бонне, когда кривизна сосредоточена в дискретных точках (вершинах).

Думая о кривизне как о мера, а не как функция, теорема Декарта - это Гаусс-Бонне, где кривизна дискретная мера, а Гаусс – Бонне для мер обобщает как Гаусс – Бонне для гладких многообразий, так и теорему Декарта.

Комбинаторный аналог

Существует несколько комбинаторных аналогов теоремы Гаусса – Бонне. Сформулируем следующее. Позволять ${ displaystyle M}$ быть конечным 2-мерным псевдомногообразие. Позволять ${ Displaystyle чи (v)}$ обозначим количество треугольников, содержащих вершину ${ displaystyle v}$ . потом

{ displaystyle sum _ {v in { mathrm {int}} {M}} left (6- chi (v) right) + sum _ {v in partial M} left (3 - chi (v) right) = 6 chi (M), }

где первая сумма пробегает вершины внутри ${ displaystyle M}$ , вторая сумма идет по граничным вершинам, а ${ Displaystyle чи (М)}$ - эйлерова характеристика ${ displaystyle M}$ .

Подобные формулы могут быть получены для двумерного псевдомногообразия, если мы заменим треугольники на высшие многоугольники. Для полигонов п вершин, мы должны заменить 3 и 6 в формуле выше на п/(п − 2) и 2п/(п − 2)соответственно. Например, для четырехугольники мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на 2 и 4 соответственно. В частности, если ${ displaystyle M}$ замкнутая двумерная цифровой коллектор, род получается ^[5]

{ displaystyle g = 1 + { frac {M_ {5} + 2M_ {6} -M_ {3}} {8}},}

где ${ displaystyle M_ {i}}$ указывает количество точек поверхности, каждая из которых имеет ${ displaystyle i}$ соседние точки на поверхности. Это простейшая формула теоремы Гаусса – Бонне в трехмерном цифровом пространстве.

Обобщения

В Теорема Черна (после Шиинг-Шен Черн 1945) является 2n-мерным обобщением ГБ (см. Также Гомоморфизм Черна – Вейля ).

В Теорема Римана – Роха также можно рассматривать как обобщение ГБ на комплексные многообразия.

Чрезвычайно далеко идущее обобщение, включающее в себя все упомянутые выше теоремы, - это Теорема Атьи – Зингера об индексе, который выиграл оба Майкл Атья и Исадор Сингер то Премия Абеля.

Обобщением на 2-многообразия, которое не обязательно должно быть компактным, является Неравенство Кон-Фоссена.

В популярной культуре

В Грег Иган роман Диаспора, два персонажа обсуждают вывод этой теоремы.

Теорема может быть использована непосредственно как система управления скульптурой. Например в работе Эдмунд Харрис в коллекции Колледж с отличием Университета Арканзаса.^[6]

Скульптура из плоских материалов с использованием теоремы Гаусса-Бонне

Смотрите также

использованная литература

^ Черн, Шиинг-Шэнь (4 марта 1998 г.). «Интервью с Шиинг-Шен Черн» (PDF) (Интервью). Беседовала Аллин Джексон. Получено 2019-07-22.
^ ^а ^б ду Карму, Манфреду Пердигау (1992). Риманова геометрия. Бостон: Биркхойзер. ISBN 0817634908. OCLC 24667701.
^ ду Карму, Манфреду Пердигау (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0132125897. OCLC 1529515.
^ Уикс, Джеффри Р. (2001-12-12). «Форма пространства». CRC Press. Дои:10.1201/9780203912669. ISBN 9780203912669 - через Тейлор и Фрэнсис. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)
^ Чен, Ли; Ронг, Юнву (август 2010 г.). «Цифровой топологический метод вычисления рода и чисел Бетти». Топология и ее приложения. 157 (12): 1931–1936. Дои:10.1016 / j.topol.2010.04.006 - через ScienceDirect.
^ Харрис, Эдмунд (2020). "Скульптура Гаусса-Капота". Proceedings of Bridges 2020: математика, искусство, музыка, архитектура, образование, культура. 2020: 137–144. Получено 2020-11-17.

дальнейшее чтение

Гринфельд Павел (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей. Springer. ISBN 1-4614-7866-9.
"Теорема Гаусса – Бонне", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

внешние ссылки

Теорема Гаусса – Бонне. в Wolfram Mathworld

[1] Черн, Шиинг-Шэнь (4 марта 1998 г.). «Интервью с Шиинг-Шен Черн» (PDF) (Интервью). Беседовала Аллин Джексон. Получено 2019-07-22.

[doCarmo1992-2] а ^б ду Карму, Манфреду Пердигау (1992). Риманова геометрия. Бостон: Биркхойзер. ISBN 0817634908. OCLC 24667701.

[doCarmo1976-3] ду Карму, Манфреду Пердигау (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0132125897. OCLC 1529515.

[4] Уикс, Джеффри Р. (2001-12-12). «Форма пространства». CRC Press. Дои:10.1201/9780203912669. ISBN 9780203912669 - через Тейлор и Фрэнсис. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)

[5] Чен, Ли; Ронг, Юнву (август 2010 г.). «Цифровой топологический метод вычисления рода и чисел Бетти». Топология и ее приложения. 157 (12): 1931–1936. Дои:10.1016 / j.topol.2010.04.006 - через ScienceDirect.

[6] Харрис, Эдмунд (2020). "Скульптура Гаусса-Капота". Proceedings of Bridges 2020: математика, искусство, музыка, архитектура, образование, культура. 2020: 137–144. Получено 2020-11-17.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]