Prüfer group - Prüfer group

Прюфер 2-группа с презентацией ⟨грамм_п: грамм_п+1² = грамм_п, грамм₁² = е⟩, проиллюстрированный как подгруппа единичного круга в комплексной плоскости

В математике, особенно в теория групп, то Прюфер п-группа или п-квазициклическая группа или же п^∞-группа, Z(п^∞), для простое число п уникальный п-группа в котором каждый элемент имеет п разные п-ые корни.

Прюфер п-группы счетный абелевы группы важные для классификации бесконечных абелевых групп: они (вместе с группой рациональное число ) образуют самые маленькие строительные блоки из всех делимые группы.

Группы названы в честь Хайнц Прюфер, немецкий математик начала 20 века.

Конструкции Z(п^∞)

Прюфер п-группа может быть отождествлена ​​с подгруппой круговая группа, U (1), состоящий из всех п^п-й корни единства в качестве п распространяется на все неотрицательные целые числа:

${displaystyle mathbf {Z} (p ^ {infty}) = {exp (2pi im / p ^ {n}) mid 0leq m$

Групповая операция здесь - это умножение сложные числа.

Существует презентация

${displaystyle mathbf {Z} (p ^ {infty}) = langle, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}, ldots mid g_ {1} ^ {p} = 1, g_ {2} ^ { p} = g_ {1}, g_ {3} ^ {p} = g_ {2}, точки, угол.}$

Здесь групповая операция в Z(п^∞) записывается как умножение.

Альтернативно и эквивалентно Prüfer п-группа может быть определена как Силовский п-подгруппа из факторгруппа Q/Z, состоящий из тех элементов, порядок которых является степенью п:

${displaystyle mathbf {Z} (p ^ {infty}) = mathbf {Z} [1 / p] / mathbf {Z}}$

(куда Z[1/п] обозначает группу всех рациональных чисел, знаменатель которых является степенью п, используя сложение рациональных чисел как групповую операцию).

Для каждого натурального числа прассмотрим факторгруппа Z/п^пZ и вложение Z/п^пZ → Z/п^п+1Z индуцированный умножением на п. В прямой предел этой системы Z(п^∞):

${displaystyle mathbf {Z} (p ^ {infty}) = varinjlim mathbf {Z} / p ^ {n} mathbf {Z}.}$

Мы также можем написать

${displaystyle mathbf {Z} (p ^ {infty}) = mathbf {Q} _ {p} / mathbf {Z} _ {p}}$

куда Q_п обозначает аддитивную группу п-адические числа и Z_п является подгруппой п-адические целые числа.

Характеристики

Полный список подгрупп Прюфера п-группа Z(п^∞) = Z[1/п]/Z является:

${displaystyle 0subsetneq left ({1 over p} mathbf {Z} ight) / mathbf {Z} subsetneq left ({1 over p ^ {2}} mathbf {Z} ight) / mathbf {Z} subsetneq left ({1 over p ^ {3}} mathbf {Z} ight) / mathbf {Z} subsetneq cdots subsetneq mathbf {Z} (p ^ {infty})}$

(Здесь ${displaystyle left ({1 over p ^ {n}} mathbf {Z} ight) / mathbf {Z}}$ является циклической подгруппой в Z(п^∞) с п^п элементы; он содержит именно те элементы Z(п^∞) чей порядок разделяет п^п и соответствует набору п^п-й корень единства.) п-группы - единственные бесконечные группы, чьи подгруппы полностью заказанный по включению. Эта последовательность включений выражает принцип Прюфера. п-группа как прямой предел своих конечных подгрупп. Поскольку нет максимальная подгруппа Прюфера п-группа, это своя Подгруппа Фраттини.

Учитывая этот список подгрупп, ясно, что Прюфер п-группы неразложимый (не может быть записано как прямая сумма собственных подгрупп). Больше правда: Прюфер п-группы подпрямо неразложимый. Абелева группа подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда она изоморфна конечному циклическому п-группа или в группу Прюфера.

Прюфер п-группа - единственная бесконечная п-группа то есть локально циклический (каждый конечный набор элементов порождает циклическую группу). Как видно выше, все собственные подгруппы Z(п^∞) конечны. Прюфер п-группы - единственные бесконечные абелевы группы с этим свойством.^[1]

Прюфер п-группы делимый. Они играют важную роль в классификации делимых групп; наряду с рациональными числами они являются простейшими делимыми группами. Точнее: абелева группа делима тогда и только тогда, когда она прямая сумма из (возможно бесконечного) количества копий Q и (возможно бесконечное) количество копий Z(п^∞) для каждого простого числа п. (кардинал ) количество копий Q и Z(п^∞), которые используются в этой прямой сумме, с точностью до изоморфизма определяют делимую группу.^[2]

Как абелева группа (т. Е. Как Z-модуль ), Z(п^∞) является Артиниан но нет Нётерян.^[3] Таким образом, его можно использовать в качестве контрпримера против идеи, что каждый артинианский модуль является нётеровым (тогда как каждый Артиниан звенеть нётерский).

В кольцо эндоморфизмов из Z(п^∞) изоморфно кольцу п-адические целые числа Z_п.^[4]

В теории локально компактные топологические группы Прюфер п-группа (наделенная дискретная топология ) это Понтрягин дуальный компактной группы п-адические целые числа, а группа п-адические целые числа - это двойственное по Понтрявину к Прюферу п-группа.^[5]

Смотрите также

• п-адические целые числа, который можно определить как обратный предел конечных подгрупп Прюфера п-группа.
• Диадический рациональный, рациональные числа вида а/2^б. 2-группу Прюфера можно рассматривать как диадические рациональные числа по модулю 1.
• Циклическая группа (конечный аналог)
• Круговая группа (бесчисленное множество аналог)

Примечания

Рекомендации

• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47187-7.
• Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра. Springer. ISBN  978-0-387-71567-4.
• Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы. Пресса Мичиганского университета.
• Н.Н. Вильямс (2001) [1994], «Квазициклическая группа», Энциклопедия математики, EMS Press