Центральная серия - Central series

В математика, особенно в областях теория групп и Теория лжи, а центральная серия это своего рода нормальная серия из подгруппы или же Подалгебры Ли, выражая мысль, что коммутатор почти тривиально. За группы, это явное выражение того, что группа является нильпотентная группа, и для матричные кольца, это явное выражение, что в некотором базисе кольцо матриц целиком состоит из верхний треугольный матрицы с постоянной диагональю.

В статье используется язык теории групп; аналогичные термины используются для алгебр Ли.

В нижний центральный ряд и верхний центральный ряд (также называемый нисходящий центральный ряд и восходящий центральный рядсоответственно), несмотря на «центральный» в их названиях, являются центральными сериями тогда и только тогда, когда группа нильпотентный.

Определение

А центральная серия последовательность подгрупп

{displaystyle {1} = A_ {0} riangleleft A_ {1} riangleleft dots riangleleft A_ {n} = G}

такие, что последовательные частные центральный; то есть, ${displaystyle [G, A_ {i + 1}] leq A_ {i}}$ , куда ${displaystyle [G, H]}$ обозначает коммутаторная подгруппа генерируется всеми элементами формы ${displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$ , с грамм в грамм и час в ЧАС. С ${displaystyle [G, A_ {i + 1}] leq A_ {i} leq A_ {i + 1}}$ , подгруппа ${displaystyle A_ {i + 1}}$ нормально в грамм для каждого я. Таким образом, мы можем перефразировать «центральное» условие, приведенное выше, как: ${displaystyle A_ {i}}$ нормально в грамм и ${displaystyle A_ {i + 1} / A_ {i}}$ занимает центральное место в ${displaystyle G / A_ {i}}$ для каждого я. Как следствие, ${displaystyle A_ {i + 1} / A_ {i}}$ абелев для каждого я.

Центральный ряд аналогичен в Теория лжи к флаг что строго соблюдается сопряженное действие (более прозаично, основа, в которой каждый элемент представлен строго верхний треугольный матрица); сравнивать Теорема Энгеля.

Группе не обязательно иметь центральный ряд. На самом деле группа имеет центральный ряд тогда и только тогда, когда она является нильпотентная группа. Если группа имеет центральный ряд, то существуют две центральные серии, члены которых в определенных смыслах экстремальны. С А₀ = {1}, центр Z(грамм) удовлетворяет А₁ ≤ Z(грамм). Следовательно, максимальный выбор для А₁ является А₁ = Z(грамм). Продолжая таким образом выбирать максимально возможные А_{я + 1} данный А_я производит то, что называется верхний центральный ряд. Дважды, поскольку А_п = грамм, коммутаторная подгруппа [грамм, грамм] удовлетворяет [грамм, грамм] = [грамм, А_п] ≤ А_{п − 1}. Следовательно, минимальный выбор для А_{п − 1} является [грамм, грамм]. Продолжая выбирать А_я минимально данный А_{я + 1} так что [грамм, А_{я + 1}] ≤ А_я производит то, что называется нижний центральный ряд. Эти серии могут быть построены для любой группы, и если группа имеет центральный ряд (является нильпотентной группой), эти процедуры будут давать центральные серии.

Нижний центральный ряд

В нижний центральный ряд (или же нисходящий центральный ряд) группы грамм убывающий ряд подгрупп

грамм = грамм₁ ⊵ грамм₂ ⊵ ⋯ ⊵ грамм_п ⊵ ⋯,

где каждый грамм_{п + 1} = [грамм_п, грамм], подгруппа из грамм генерируется всеми коммутаторами [Икс, у] с Икс в грамм_п и у в грамм. Таким образом, грамм₂ = [грамм, грамм] = грамм⁽¹⁾, то производная подгруппа из грамм; грамм₃ = [[грамм, грамм], грамм] и т. д. Нижний центральный ряд часто обозначают γ_п(грамм) = грамм_п.

Это не следует путать с производный ряд, условия которого грамм^(п) := [грамм^(п−1),грамм^(п−1)], нет грамм_п := [грамм_п−1, грамм]. Сериалы связаны грамм^(п) ≤ грамм_п. Например, симметричная группа S₃ является разрешимый класса 2: производный ряд S₃ ⊵ {е, (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ {е}. Но он не нильпотентен: его нижний центральный ряд S₃ ⊵ {е, (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ {е, (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ ⋯ не завершается. Нильпотентная группа - это разрешимая группа, а его производная длина является логарифмической в своем классе нильпотентности (Шенкман 1975, п. 201 216).

Для бесконечных групп можно продолжить нижний центральный ряд до бесконечности порядковые номера через трансфинитная рекурсия: для предельный порядковый номер λ, определять грамм_λ = ∩ { грамм_α : α < λ}. Если грамм_λ = 1 для некоторого порядкового номера λ, тогда грамм считается гипоцентральная группа. Для каждого порядкового номера λ, есть группа грамм такой, что грамм_λ = 1, но грамм_α ≠ 1 для всех α < λ, (Мальцев 1949 ).

Если ω - первый бесконечный ординал, то грамм_ω - наименьшая нормальная подгруппа группы грамм такое, что частное остаточно нильпотентный, то есть такой, что каждый неединичный элемент имеет нетождественный гомоморфный образ в нильпотентной группе (Шенкман 1975, п. 175 183). В области комбинаторная теория групп, это важный и ранний результат, который бесплатные группы аппроксимируемо нильпотентными. Фактически факторы нижнего центрального ряда представляют собой свободные абелевы группы с естественным базисом, определяемым формулой основные коммутаторы, (Зал 1959, Гл. 11).

Если грамм_ω = грамм_п для некоторых конечных п, тогда грамм_ω - наименьшая нормальная подгруппа группы грамм с нильпотентным фактором, и грамм_ω называется нильпотентный остаток из грамм. Это всегда так для конечной группы и определяет F₁(грамм) срок в нижняя серия фитингов за грамм.

Если грамм_ω ≠ грамм_п для всех конечных п, тогда грамм/грамм_ω не нильпотентен, но это остаточно нильпотентный.

Не существует общего члена для пересечения всех членов трансфинитного нижнего центрального ряда, аналогичного гиперцентру (ниже).

Верхний центральный ряд

В верхний центральный ряд (или же восходящий центральный ряд) группы грамм последовательность подгрупп

{displaystyle 1 = Z_ {0} riangleleft Z_ {1} riangleleft cdots riangleleft Z_ {i} riangleleft cdots,}

где каждая последующая группа определяется:

{displaystyle Z_ {i + 1} = {xin Gmid forall yin G: [x, y] in Z_ {i}}}

и называется яй центр из грамм (соответственно, второй центр, третий центр, так далее.). В этом случае, Z₁ это центр из грамм, а для каждой последующей группы факторная группа Z_{я + 1}/Z_я это центр грамм/Z_я, и называется частное верхнего центрального ряда.

Для бесконечных групп можно продолжить верхний центральный ряд до бесконечности порядковые номера через трансфинитная рекурсия: для предельный порядковый номер λ, определять

{displaystyle Z_ {lambda} (G) = igcup _ {alpha

Предел этого процесса (объединение высших центров) называется гиперцентр группы.

Если трансфинитный верхний центральный ряд стабилизируется на всей группе, то группа называется гиперцентральный. Гиперцентральные группы обладают многими свойствами нильпотентных групп, такими как условие нормализатора (нормализатор собственной подгруппы правильно содержит подгруппу), элементы взаимно простого порядка коммутируют и периодический гиперцентральные группы прямая сумма от их Силовский п-подгруппы (Шенкман 1975, Гл. VI.3). Для каждого порядкового номера λ есть группа грамм с Z_λ(грамм) = грамм, но Z_α(грамм) ≠ грамм за α < λ, (Глушков 1952 ) и (Маклейн 1956 ).

Связь между нижним и верхним центральным рядами

Существуют различные связи между нижним центральным рядом (LCS) и верхним центральным рядом (UCS) (Эллис 2001 ), особенно для нильпотентные группы.

Проще говоря, группа является абелевой тогда и только тогда, когда LCS завершается на первом шаге (коммутаторная подгруппа тривиальна) тогда и только тогда, когда UCS стабилизируется на первом шаге (центр - это вся группа). В более общем смысле, для нильпотентной группы длина LCS и длина UCS совпадают (и называется класс нильпотентности группы). Однако LCS и UCS нильпотентной группы не обязательно могут иметь одинаковые термины. Например, в то время как UCS и LCS согласовывают циклическая группа C₂ и группа кватернионов Q₈ (которые C₂ ⊵ {е} и Q₈ ⊵ {1, -1} ⊵ {1} соответственно), UCS и LCS их прямой продукт C₂ × Q₈ нет: его нижний центральный ряд C₂ × Q₈ ⊵ {е} × {-1, 1} ⊵ {е} × {1}, а верхний центральный ряд равен C₂ × Q₈ ⊵ C₂ × {-1, 1} ⊵ {е} × {1}.

Однако ЛСК стабилизируется на нулевом шаге тогда и только тогда, когда она идеально, а ПСК стабилизируется на нулевом шаге тогда и только тогда, когда она бесцентровый, которые являются разными концепциями и показывают, что длины LCS и UCS (интерпретируемые как длина до стабилизации) не обязательно должны совпадать.

Для идеальной группы ПСК всегда стабилизируется к первому шагу, факт, называемый Лемма Грюна. Однако бесцентровая группа может иметь очень длинный нижний центральный ряд: свободная группа на двух или более образующих не имеет центра, но его нижний центральный ряд не стабилизируется до первого бесконечного ординала.

Утонченная центральная серия

При изучении п-группы, часто бывает важно использовать более длинные центральные серии. Важным классом таких центральных рядов является показатель степенип центральный ряд; то есть центральный ряд, факторы которого равны элементарные абелевы группы, или что то же самое показатель степени п. Существует единственный наиболее быстро убывающий такой ряд, нижний показатель -п центральный ряд λ, определяемый:

λ₁(грамм) = грамм, и

λ_{п + 1}(грамм) = [грамм, λ_п(грамм)] (λ_п(грамм))^п

Второй член λ₂(грамм), равно [грамм, грамм]грамм^п = Φ (грамм), Подгруппа Фраттини. Младший показатель -п центральный ряд иногда называют просто п-центральный ряд.

Существует единственный такой быстрорастущий ряд, верхний показатель -п центральный ряд S, определяемый:

S₀(грамм) = 1

S_п+1(грамм) / S_п(грамм) = Ω (Z (грамм/ S_п(грамм)))

где Ω (Z(ЧАС)) обозначает подгруппу, порожденную (и равную) множеству центральных элементов ЧАС порядка разделения п. Первый член S₁(грамм), является подгруппой, порожденной минимальными нормальными подгруппами, и поэтому равна цоколь из грамм. По этой причине верхний показатель -п центральная серия иногда известна как цокольная серия или даже серия Лоуи, хотя последняя обычно используется для обозначения нисходящей серии.

Иногда могут быть полезны другие усовершенствования центральной серии, такие как Серия Дженнингс κ определяется:

κ₁(грамм) = грамм, и

κ_{п + 1}(грамм) = [грамм, κ_п(грамм)] (κ_я(грамм))^п, куда я является наименьшим целым числом, большим или равным п/п.

Сериал Дженнингса назван в честь С. А. Дженнингс кто использовал серию для описания Серия Loewy модульного групповое кольцо из п-группа.

Смотрите также

Нильпотентная серия, аналогичное понятие для разрешимых групп
Отношения родитель-потомок для конечного п-группы, определяемые различными видами центральных рядов
Унипотентная группа