Полуторалинейная форма - Sesquilinear form

В математика, а полуторалинейная форма является обобщением билинейная форма что, в свою очередь, является обобщением концепции скалярное произведение из Евклидово пространство. Билинейная форма линейный в каждом из своих аргументов, но полуторалинейная форма позволяет «скрутить» один из аргументов в полулинейный манера, отсюда и имя; которое происходит от латинского числовой префикс полуторный что означает «полтора». Основная концепция скалярного произведения - получение скаляр из пары векторов - можно обобщить, допустив более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно, расширив определение вектора.

Мотивирующий частный случай - это полуторалинейная форма на комплексное векторное пространство, $V$ . Это карта $V \times V \to C$ который является линейным по одному аргументу и "искажает" линейность другого аргумента на комплексное сопряжение (упоминается как антилинейный в другом аргументе). Этот случай естественно возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай позволяет скалярам происходить из любых поле и поворот обеспечивается полевой автоморфизм.

Приложение в проективная геометрия требует, чтобы скаляры происходили из делительное кольцо (тело), $K$ , а это значит, что "векторы" следует заменить элементами $K$ -модуль. В очень общих условиях полуторалинейные формы могут быть определены над $р$ -модули для произвольных кольца $р$ .

Неформальное введение

Полулинейные формы абстрагируют и обобщают основное понятие Эрмитова форма на комплексное векторное пространство. Эрмитовые формы обычно встречаются в физика, как внутренний продукт на комплексе Гильбертово пространство. В таких случаях стандартная эрмитова форма на $C п$ дан кем-то

{ displaystyle langle w, z rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

куда ${ displaystyle { overline {w}} _ {i}}$ обозначает комплексно сопряженный из ${ displaystyle w_ {i} ~.}$ Этот продукт можно обобщить на ситуации, когда кто-то не работает с ортонормированной базой для $C п$ , или даже любую базу. Путем добавления дополнительного множителя ${ displaystyle i}$ в продукт, можно получить косоэрмитовская форма, более точно определенное ниже. Нет особой причины ограничивать определение комплексными числами; его можно определить для произвольных кольца несущий антиавтоморфизм, неформально понимаемый как обобщенное понятие «комплексного сопряжения» для кольца.

соглашение

Существуют разные мнения относительно того, какой аргумент должен быть линейным. В коммутативном случае мы будем считать первое линейным, как это принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного полуторалинейным формам на комплексных векторных пространствах. Здесь мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (т. Е. Антилинейным), а второй - линейным. Это соглашение, используемое в основном физиками.^[1] и берет свое начало в Дирака обозначение бюстгальтера в квантовая механика.

В более общей некоммутативной ситуации, с правыми модулями мы считаем второй аргумент линейным, а с левыми модулями мы принимаем первый аргумент линейным.

Комплексные векторные пространства

Предположение: В этом разделе полуторалинейные формы антилинейный (соотв. линейный ) в их первом (соответственно втором) аргументе.

Через комплексное векторное пространство $V$ карта $φ : V \times V \to C$ является полуторалинейным, если

{ displaystyle { begin {align} & varphi (x + y, z + w) = varphi (x, z) + varphi (x, w) + varphi (y, z) + varphi (y , w) & varphi (ax, by) = { overline {a}} b , varphi (x, y) end {align}}}

для всех $Икс, у, z, ш$ в $V$ и все $а, б$ в $C$ . $а$ является комплексным сопряжением $а$ .

Сложную полуторалинейную форму также можно рассматривать как сложную билинейная карта

{ displaystyle { overline {V}} times V to mathbf {C}}

куда $V$ это комплексно сопряженное векторное пространство к $V$ . Посредством универсальная собственность из тензорные произведения они находятся во взаимно однозначном соответствии со сложными линейными отображениями

{ displaystyle { overline {V}} otimes V to mathbf {C}.}

Для фиксированного $z$ в $V$ карта $ш \mapsto φ (z, ш)$ это линейный функционал на $V$ (т.е. элемент двойное пространство $V *$ ). Точно так же карта $ш \mapsto φ (ш, z)$ это сопряженно-линейный функциональный на $V$ .

Учитывая любую сложную полуторалинейную форму $φ$ на $V$ мы можем определить вторую сложную полуторалинейную форму $ψ$ через сопряженный транспонировать:

{ displaystyle psi (w, z) = { overline { varphi (z, w)}}.}

В целом, $ψ$ и $φ$ будет иначе. Если они такие же, то $φ$ как говорят Эрмитский. Если они противоположны друг другу, то $φ$ как говорят косоэрмитский. Каждую полуторалинейную форму можно записать как сумму эрмитовой и косоэрмитовой форм.

Матричное представление

Если $V$ является конечномерным комплексным векторным пространством, то относительно любого основа ${е я}$ из $V$ , полуторалинейная форма представлена матрица $Φ$ , $ш$ вектор-столбец $ш$ , и $z$ вектор-столбец $z$ :

{ displaystyle varphi (w, z) = varphi left ( sum _ {i} w_ {i} e_ {i}, sum _ {j} z_ {j} e_ {j} right) = сумма _ {i} sum _ {j} { overline {w_ {i}}} z_ {j} varphi (e_ {i}, e_ {j}) = { overline { mathbf {w}}} ^ { mathrm {T}} mathbf { Phi} mathbf {z}.}

Компоненты $Φ$ даны $Φ ij = φ (е я, е j)$ .

Эрмитова форма

Период, термин Эрмитова форма может также относиться к другому понятию, чем описанное ниже: он может относиться к определенному дифференциальная форма на Эрмитово многообразие.

Комплекс Эрмитова форма (также называемый симметричная полуторалинейная форма), является полуторалинейной формой $час : V \times V \to C$ такой, что

{ displaystyle h (w, z) = { overline {h (z, w)}}.}

Стандартная эрмитова форма на $C п$ дается (опять же, используя "физическое" соглашение о линейности по второй и сопряженной линейности по первой переменной) выражением

{ displaystyle langle w, z rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

В более общем плане внутренний продукт по любому комплексу Гильбертово пространство является эрмитовой формой.

Знак минус вводится в эрмитовой форме ${ displaystyle ww ^ {*} - zz ^ {*}}$ определить группу СУ (1,1).

Векторное пространство с эрмитовой формой $(V, час)$ называется Эрмитское пространство.

Матричное представление комплексной эрмитовой формы есть Эрмитова матрица.

Сложная эрмитова форма, примененная к одному вектору

{ Displaystyle | г | _ {ч} = ч (г, г)}

всегда настоящий. Можно показать, что сложная полуторалинейная форма эрмитова. если только соответствующая квадратичная форма действительна для всех $z \in V$ .

Косоэрмитова форма

Комплекс косоэрмитова форма (также называемый антисимметричная полуторалинейная форма), представляет собой сложную полуторалинейную форму $s : V \times V \to C$ такой, что

{ displaystyle s (w, z) = - { overline {s (z, w)}}.}

Всякая сложная косоэрмитова форма может быть записана как $я$ раз эрмитова форма.

Матричное представление комплексной косоэрмитовой формы есть косоэрмитова матрица.

Сложная косоэрмитова форма, примененная к одному вектору

{ displaystyle | z | _ {s} = s (z, z)}

всегда чисто воображаемый.

Над делительным кольцом

Этот раздел применяется без изменений, если уплотнительное кольцо $K$ является коммутативный. Тогда также применима более конкретная терминология: тело - это поле, антиавтоморфизм также является автоморфизмом, а правый модуль - это векторное пространство. Следующее относится к левому модулю с подходящим переупорядочиванием выражений.

Определение

А $σ$ -есквилинейная форма по праву $K$ -модуль $M$ это биаддитивная карта $φ : M \times M \to K$ с ассоциированным антиавтоморфизм $σ$ из делительное кольцо $K$ такое, что для всех $Икс, у$ в $M$ и все $α, β$ в $K$ ,

{ displaystyle varphi (x alpha, y beta) = sigma ( alpha) , varphi (x, y) , beta.}

Ассоциированный антиавтоморфизм $σ$ для любой ненулевой полуторалинейной формы $φ$ однозначно определяется $φ$ .

Ортогональность

Учитывая полуторалинейную форму $φ$ над модулем $M$ и подпространство (подмодуль ) $W$ из $M$ , то ортогональное дополнение из $W$ относительно $φ$ является

{ Displaystyle W ^ { perp} = { mathbf {v} in M ​​ mid varphi ( mathbf {v}, mathbf {w}) = 0, forall mathbf {w} in W }.}

По аналогии, $Икс \in M$ является ортогональный к $у \in M$ относительно $φ$ , написано $Икс ⊥ φ у$ (или просто $Икс ⊥ у$ если $φ$ можно вывести из контекста), когда $φ (Икс, у) = 0$ . Этот связь не должно быть симметричный, т.е. $Икс ⊥ у$ не подразумевает $у ⊥ Икс$ (но см. § Рефлексивность ниже).

Рефлексивность

Полуторалинейная форма $φ$ является рефлексивный если для всех $Икс, у$ в $M$ ,

{ Displaystyle varphi (х, у) = 0}

подразумевает

{ displaystyle varphi (y, x) = 0.}

То есть полуторалинейная форма является рефлексивной именно тогда, когда производное отношение ортогональности симметрично.

Эрмитовы вариации

А $σ$ -есквилинейная форма $φ$ называется $(σ, ε)$ -Эрмитский если существует $ε$ в $K$ такое, что для всех $Икс, у$ в $M$ ,

{ displaystyle varphi (x, y) = sigma ( varphi (y, x)) , varepsilon.}

Если $ε = 1$ , форма называется $σ$ -Эрмитский, и если $ε = -1$ , это называется $σ$ -антиэрмитский. (Когда $σ$ подразумевается, соответственно просто Эрмитский или же антиэрмитский.)

Для ненулевого $(σ, ε)$ -Эрмитова форма, отсюда следует, что для всех $α$ в $K$ ,

{ Displaystyle сигма ( varepsilon) = varepsilon ^ {- 1}}

{ displaystyle sigma ( sigma ( alpha)) = varepsilon alpha varepsilon ^ {- 1}.}

Отсюда также следует, что $φ (Икс, Икс)$ это фиксированная точка карты $α \mapsto σ (α) ε$ . Неподвижные точки этого отображения из подгруппа из аддитивная группа из $K$ .

А $(σ, ε)$ -Эрмитова форма рефлексивна, и каждая рефлексивная $σ$ -есквилинейная форма $(σ, ε)$ -Эрмитский для некоторых $ε$ .^[2]^[3]^[4]^[5]

В частном случае, когда $σ$ это карта идентичности (т.е. $σ = id$ ), $K$ коммутативен, $φ$ является билинейной формой и $ε 2 = 1$ . Тогда для $ε = 1$ билинейная форма называется симметричный, и для $ε = -1$ называется кососимметричный.^[6]

Пример

Позволять $V$ - трехмерное векторное пространство над конечное поле $F = GF (q 2)$ , куда $q$ это основная сила. Относительно стандартного базиса мы можем написать $Икс = (Икс 1, Икс 2, Икс 3)$ и $у = (у 1, у 2, у 3)$ и определите карту $φ$ к:

{ displaystyle varphi (x, y) = x_ {1} y_ {1} {} ^ {q} + x_ {2} y_ {2} {} ^ {q} + x_ {3} y_ {3} { } ^ {q}.}

Карта $σ : т \mapsto т q$ является инволютивный автоморфизм $F$ . Карта $φ$ тогда $σ$ -есквилинейная форма. Матрица $M φ$ с этой формой связана единичная матрица. Это эрмитовская форма.

В проективной геометрии

Предположение: В этом разделе полуторалинейные формы антилинейный (соотв. линейный ) во втором (соответственно первом) аргументе.

В проективная геометрия $грамм$ , а перестановка $δ$ подпространств, инвертирующих включение, т.е.

S \subseteq Т \Rightarrow Т δ \subseteq S δ

для всех подпространств

S

,

Т

из

грамм

,

называется корреляция. Результат Биркгофа и фон Неймана (1936)^[7] показывает, что корреляции десарговский проективные геометрии соответствуют невырожденным полуторалинейным формам на нижележащем векторном пространстве.^[5] Полуторалинейная форма $φ$ является невырожденный если $φ (Икс, у) = 0$ для всех $у$ в $V$ (если и только если $Икс = 0$ .

Чтобы достичь полной общности этого утверждения, и поскольку каждая дезаргова проективная геометрия может быть скоординирована делительное кольцо, Райнхольд Баер расширил определение полуторалинейной формы на тело, которое требует замены векторных пространств на $р$ -модули.^[8] (В геометрической литературе они все еще называются левыми или правыми векторными пространствами над телами.)^[9]

Над произвольными кольцами

Специализация приведенного выше раздела на телесных полях была следствием применения к проективной геометрии, а не присуща природе полуторалинейных форм. Только незначительные модификации, необходимые для учета некоммутативности умножения, необходимы для обобщения произвольной полевой версии определения на произвольные кольца.

Позволять $р$ быть звенеть, $V$ ан $р$ -модуль и $σ$ ан антиавтоморфизм из $р$ .

Карта $φ : V \times V \to р$ является $σ$ -есквилинейный если

{ displaystyle varphi (x + y, z + w) = varphi (x, z) + varphi (x, w) + varphi (y, z) + varphi (y, w)}

{ displaystyle varphi (cx, dy) = c , varphi (x, y) , sigma (d)}

для всех $Икс, у, z, ш$ в $V$ и все $c, d$ в $р$ .

Элемент $Икс$ является ортогональный к другому элементу $у$ относительно полуторалинейной формы $φ$ (написано $Икс ⊥ у$ ) если $φ (Икс, у) = 0$ . Это отношение не обязательно должно быть симметричным, т.е. $Икс ⊥ у$ не подразумевает $у ⊥ Икс$ .

Полуторалинейная форма $φ : V \times V \to р$ является рефлексивный (или же ортосимметричный) если $φ (Икс, у) = 0$ подразумевает $φ (у, Икс) = 0$ для всех $Икс, у$ в $V$ .

Полуторалинейная форма $φ : V \times V \to р$ является Эрмитский если существует $σ$ такой, что^[10]^:325

{ Displaystyle varphi (х, y) = sigma ( varphi (y, x))}

для всех $Икс, у$ в $V$ . Эрмитова форма обязательно рефлексивна, и если она отлична от нуля, ассоциированный антиавтоморфизм $σ$ является инволюция (т.е. порядка 2).

Поскольку для антиавтоморфизма $σ$ у нас есть $σ (ул) = σ (т) σ (s)$ для всех $s, т$ в $р$ , если $σ = id$ , тогда $р$ должен быть коммутативным и $φ$ является билинейной формой. В частности, если в этом случае $р$ тело, то $р$ это поле и $V$ - векторное пространство билинейной формы.

Антиавтоморфизм $σ : р \to р$ также можно рассматривать как изоморфизм $р \to р op$ , куда $р op$ это противоположное кольцо из $р$ , который имеет тот же базовый набор и такое же сложение, но чья операция умножения ( $*$ ) определяется $а * б = ба$ , где продукт справа - это продукт в $р$ . Отсюда следует, что правая (левая) $р$ -модуль $V$ можно превратить в левую (правую) $р op$ -модуль, $V о$ .^[11] Таким образом, полуторалинейная форма $φ : V \times V \to р$ можно рассматривать как билинейную форму $φ' : V \times V о \to р$ .

Смотрите также

*-звенеть

Примечания

^ сноска 1 в Энтони Кнапп Основы алгебры (2007) стр. 255
^ «Комбинаторика», Труды Института перспективных исследований НАТО, проходившие в замке Нейенроде, Брекелен, Нидерланды, 8–20 июля 1974 г., Д. Рейдел: 456–457, 1975 – [1]
^ Полуторалинейная форма в МНВ
^ Симеон Бал (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения, Издательство Кембриджского университета, п. 28 – [2]
^ ^а ^б Дембовский 1968, п. 42
^ Когда $char K = 2$ , кососимметричная и симметричная билинейные формы совпадают, с тех пор $1 = -1$ . Во всех случаях чередующиеся билинейные формы являются подмножеством кососимметричных билинейных форм и не должны рассматриваться отдельно.
^ Birkhoff, G .; фон Нейман, Дж. (1936), "Логика квантовой механики", Анналы математики, 37: 823–843, Дои:10.2307/1968621
^ Баер, Рейнхольд (2005) [1952], Линейная алгебра и проективная геометрия, Дувр, ISBN 978-0-486-44565-6
^ Терминология Бэра дает третий способ обозначить эти идеи, поэтому его следует читать с осторожностью.
^ Фор, Клод-Ален; Фрёличер, Альфред (2000), Современная проективная геометрия, Kluwer Academic Publishers
^ Якобсон 2009, п. 164

внешняя ссылка

«Полулинейная форма», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] сноска 1 в Энтони Кнапп Основы алгебры (2007) стр. 255

[2] «Комбинаторика», Труды Института перспективных исследований НАТО, проходившие в замке Нейенроде, Брекелен, Нидерланды, 8–20 июля 1974 г., Д. Рейдел: 456–457, 1975 – [1]

[3] Полуторалинейная форма в МНВ

[4] Симеон Бал (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения, Издательство Кембриджского университета, п. 28 – [2]

[Demb42-5] а ^б Дембовский 1968, п. 42

[6] Когда $char K = 2$ , кососимметричная и симметричная билинейные формы совпадают, с тех пор $1 = -1$ . Во всех случаях чередующиеся билинейные формы являются подмножеством кососимметричных билинейных форм и не должны рассматриваться отдельно.

[7] Birkhoff, G .; фон Нейман, Дж. (1936), "Логика квантовой механики", Анналы математики, 37: 823–843, Дои:10.2307/1968621

[8] Баер, Рейнхольд (2005) [1952], Линейная алгебра и проективная геометрия, Дувр, ISBN 978-0-486-44565-6

[9] Терминология Бэра дает третий способ обозначить эти идеи, поэтому его следует читать с осторожностью.

[10] Фор, Клод-Ален; Фрёличер, Альфред (2000), Современная проективная геометрия, Kluwer Academic Publishers

[11] Якобсон 2009, п. 164

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Гильбертовы пространства
Базовые концепты	Примыкающий Внутренний продукт и L-полувнутренний продукт Гильбертово пространство и Предгильбертово пространство
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Представительство Рисса
Другие результаты	Личность Парсеваля Поляризационная идентичность
Карты	Компактный оператор в гильбертовом пространстве Плотно очерченный Эрмитова форма Гильберта-Шмидта Нормальный Самосопряженный Полуторалинейная форма Класс трассировки Унитарный
Примеры	C^п(K) с K компактный и п<∞ Сегал – Баргманн F