Пространство Сегала – Баргмана. - Segal–Bargmann space

В математика, то Пространство Сегала – Баргмана. (за Ирвинг Сигал и Валентин Баргманн ), также известный как Пространство Баргмана или же Пространство Баргмана – Фока, это пространство голоморфные функции F в п комплексные переменные, удовлетворяющие условию квадратичной интегрируемости:

{ displaystyle | F | ^ {2}: = pi ^ {- n} int _ { mathbb {C} ^ {n}} | F (z) | ^ {2} exp (- | z | ^ {2}) , dz < infty,}

где здесь дз обозначает 2п-мерная мера Лебега на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ Это Гильбертово пространство относительно связанного внутреннего продукта:

{ displaystyle langle F mid G rangle = pi ^ {- n} int _ { mathbb {C} ^ {n}} { overline {F (z)}} G (z) exp ( - | z | ^ {2}) , dz.}

Пространство было введено в литературу по математической физике отдельно Баргманном и Сигалом в начале 1960-х годов; видеть Баргманн (1961) и Сигал (1963). Основную информацию о материалах этого раздела можно найти в Фолланд (1989) и Холл (2000) . Сигал с самого начала работал с бесконечномерным сеттингом; видеть Баэз, Сегал и Чжоу (1992) и раздел 10 Холл (2000) для получения дополнительной информации по этому аспекту предмета.

Характеристики

Основным свойством этого пространства является то, что поточечная оценка непрерывна, что означает, что для каждого ${ displaystyle a in mathbb {C} ^ {n},}$ есть постоянный C такой, что

{ Displaystyle | F (а) | <С | F |.}

Тогда из Теорема Рисса о представлении что существует уникальный F_а в пространстве Сигала – Баргмана такое, что

{ displaystyle F (a) = langle F_ {a} mid F rangle.}

Функция F_а может быть вычислен явно как

{ displaystyle F_ {a} (z) = exp ({ overline {a}} cdot z)}

где явно

{ displaystyle { overline {a}} cdot z = sum _ {j = 1} ^ {n} { overline {a_ {j}}} z_ {j}.}

Функция F_а называется когерентное состояние (применяемый в математической физике ) с параметром а, а функция

{ Displaystyle каппа (а, г): = { overline {F_ {а} (г)}}}

известен как воспроизводящее ядро для пространства Сигала – Баргмана. Обратите внимание, что

{ displaystyle F (a) = langle F_ {a} mid F rangle = pi ^ {- n} int _ { mathbb {C} ^ {n}} kappa (a, z) F ( z) exp (- | z | ^ {2}) , dz,}

означает, что интеграция с воспроизводящим ядром просто возвращает (т.е. воспроизводит) функцию Fпри условии, конечно, что F является элементом пространства (и, в частности, голоморфен).

Обратите внимание, что

{ Displaystyle | F_ {a} | ^ {2} = langle F_ {a} mid F_ {a} rangle = F_ {a} (a) = exp (| a | ^ {2}) .}

Это следует из Неравенство Коши – Шварца что элементы пространства Сигала – Баргмана удовлетворяют поточечным оценкам

{ Displaystyle | F (a) | leq | F_ {a} | | F | = exp (| a | ^ {2} / 2) | F |.}

Квантовая механическая интерпретация

Единичный вектор в пространстве Сигала – Баргмана можно интерпретировать как волновую функцию для квантовой частицы, движущейся в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ С этой точки зрения ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ играет роль классического фазового пространства, тогда как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ это конфигурационное пространство. Ограничение, что F быть голоморфным существенно для этой интерпретации; если F если бы функция была произвольной интегрируемой с квадратом, ее можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства, что противоречило бы принципу неопределенности. Однако поскольку F требуется, чтобы он был голоморфным, он удовлетворяет поточечным оценкам, описанным выше, что обеспечивает предел того, насколько концентрированным F может находиться в любой области фазового пространства.

Учитывая единичный вектор F в пространстве Сигала – Баргмана величина

{ displaystyle pi ^ {- n} | F (z) | ^ {2} exp (- | z | ^ {2})}

может быть интерпретирован как своего рода плотность вероятности фазового пространства для частицы. Поскольку указанная величина явно неотрицательна, она не может совпадать с Функция Вигнера частицы, которая обычно имеет отрицательные значения. Фактически указанная плотность совпадает с Функция Хусими частицы, которая получается из функции Вигнера путем смазывания гауссианом. Эта связь будет уточнена ниже, после того как мы введем преобразование Сигала – Баргмана.

Канонические коммутационные соотношения

Можно ввести операторы аннигиляции ${ displaystyle a_ {j}}$ и операторы создания ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}}$ на пространстве Сигала – Баргмана, полагая

{ displaystyle a_ {j} = partial / partial z_ {j}}

и

{ displaystyle a_ {j} ^ {*} = z_ {j}}

Эти операторы удовлетворяют тем же соотношениям, что и обычные операторы создания и уничтожения, а именно: ${ displaystyle a_ {j}}$ и ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}}$ ездить между собой и

{ displaystyle left [a_ {j}, a_ {k} ^ {*} right] = delta _ {j, k}}

Кроме того, примыкающий к ${ displaystyle a_ {j}}$ относительно скалярного произведения Сегала – Баргмана равно ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}.}$ (Об этом свидетельствуют обозначения, но совсем не очевидно из формул для ${ displaystyle a_ {j}}$ и ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}}$ !) Действительно, Баргманну пришлось ввести конкретную форму скалярного произведения в пространстве Сигала – Баргмана именно так, чтобы операторы рождения и уничтожения были сопряжены друг с другом.

Теперь мы можем построить самосопряженные операторы «позиции» и «импульса». А_j и B_j по формулам:

{ Displaystyle A_ {j} = (a_ {j} + a_ {j} ^ {*}) / 2}

{ Displaystyle B_ {j} = (a_ {j} -a_ {j} ^ {*}) / (2i)}

Эти операторы удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям. Можно показать, что А_j и B_j удовлетворяют экспоненциальным коммутационным соотношениям (т. е. Вейлевские отношения ) и что они действуют неприводимо на пространстве Сигала – Баргмана; см. раздел 14.4 Холл (2013).

Преобразование Сигала – Баргманна

Поскольку операторы $А j$ и $B j$ из предыдущего раздела удовлетворяют соотношениям Вейля и действуют неприводимо на пространстве Сигала – Баргмана, Теорема Стоуна – фон Неймана применяется. Таким образом, существует унитарное отображение $B$ с позиции гильбертова пространства ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ в пространство Сигала – Баргмана, которое сплетает эти операторы с обычными операторами положения и импульса.

Карта $B$ может быть вычислен явно как модифицированный двойной Преобразование Вейерштрасса,

{ Displaystyle (Bf) (z) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} exp [- (z cdot z-2 { sqrt {2}} z cdot x + x cdot х) / 2] f (x) , dx,}

куда dx это п-мерная мера Лебега на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ и где $z$ в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ См. Баргманн (1961) и Раздел 14.4 Холла (2013). Можно также описать $(Bf)(z)$ как внутренний продукт $ж$ с соответствующим образом нормализованным когерентное состояние с параметром $z$ , где теперь мы выражаем когерентные состояния в позиционном представлении, а не в пространстве Сигала – Баргмана.

Теперь мы можем уточнить связь между пространством Сигала – Баргмана и функцией Хусими частицы. Если $ж$ является единичным вектором в ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}),}$ тогда мы можем сформировать плотность вероятности на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ в качестве

{ displaystyle pi ^ {- n} | (Bf) (z) | ^ {2} exp (- | z | ^ {2}) ~.}

Утверждается, что указанная выше плотность является Функция Хусими из $ж$ , который можно получить из Функция Вигнера из $ж$ путем свертки с двойным гауссианом ( Преобразование Вейерштрасса ). Этот факт легко проверяется с помощью формулы для $Bf$ вместе со стандартной формулой для Функция Хусими в терминах когерентных состояний.

С $B$ унитарен, его эрмитово сопряженный элемент - обратный. Напоминая, что мера по ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ является ${ displaystyle e ^ {- | z | ^ {2}} , dz}$ , получаем одну формулу обращения для $B$ в качестве

{ Displaystyle е (х) = int _ { mathbb {C} ^ {n}} exp [- ({ overline {z}} cdot { overline {z}} - 2 { sqrt {2) }} { overline {z}} cdot x + x cdot x) / 2] (Bf) (z) e ^ {- | z | ^ {2}} , dz.}

Однако поскольку $Bf$ - голоморфная функция, может быть много интегралов, содержащих $Bf$ которые дают такое же значение. (Подумайте об интегральной формуле Коши.) Таким образом, может быть много различных формул обращения для преобразования Сигала – Баргмана $B$ .

Еще одна полезная формула обращения:^[1]

{ Displaystyle е (х) = С ехр (- | х | ^ {2} / 2) int _ { mathbb {R} ^ {n}} (Bf) (x + iy) exp (- | у | ^ {2} / 2) , dy,}

куда

{ Displaystyle C = pi ^ {- n / 4} (2 pi) ^ {- n / 2}.}

Эту формулу инверсии можно понимать как утверждение, что "волновая функция" положения $ж$ может быть получена из фазовой "волновой функции" $Bf$ путем интегрирования импульсных переменных. Это должно быть контрастировано с функцией Вигнера, где положение плотность вероятности получается из фазового пространства (квази)плотность вероятности путем интегрирования импульсных переменных.

Обобщения

Существуют различные обобщения пространства и преобразования Сегала – Баргмана. В одном из них^[2]^[3] роль конфигурационного пространства ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ играет групповое многообразие компактной группы Ли, такой как SU (N). Роль фазового пространства ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ затем играет комплексирование компактной группы Ли, такой как ${ displaystyle operatorname {SL} (N, mathbb {C})}$ в случае SU (N). Различные гауссианы, появляющиеся в обычном пространстве и преобразовании Сигала – Баргмана, заменяются на нагревать ядра. Это обобщенное преобразование Сегала – Баргмана можно применить, например, к вращательным степеням свободы твердого тела, где конфигурационное пространство представляет собой компактные группы Ли SO (3).

Это обобщенное преобразование Сегала – Баргмана приводит к системе когерентные состояния, известный как когерентные состояния теплового ядра. Они широко использовались в литературе по петля квантовой гравитации.

Смотрите также

Источники

Баргманн, В. (1961), «О гильбертовом пространстве аналитических функций и соответствующем интегральном преобразовании», Сообщения по чистой и прикладной математике, 14 (3): 187, Дои:10.1002 / cpa.3160140303, HDL:10338.dmlcz / 143587
Сегал, И. (1963), "Математические проблемы релятивистской физики", в Kac, M. (ed.), Труды летнего семинара, Боулдер, Колорадо, 1960, Vol. II, Лекции по прикладной математике, Американское математическое общество, гл. VI, LCCN 62-21480
Фолланд, Г. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве, Princeton University Press, ISBN 978-0691085289
Баэз, Дж.; Segal, I.E .; Чжоу, З. (1992), Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля, Издательство Принстонского университета, ISBN 978-0691605128
Холл, Б. С. (2000), «Голоморфные методы анализа и математической физики», в Pérez-Esteva, S .; Виллегас-Блас, К. (ред.), Первая летняя школа по анализу и математической физике: квантование, преобразование Сегала-Баргмана и полуклассический анализ, Современная математика, 260, AMS, стр. 1–59, ISBN 978-0-8218-2115-2
Холл, Б. С. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer Verlag, Дои:10.1007/978-1-4614-7116-5, ISBN 978-1-4614-7115-8

[1] ДО Н.Э. Холл, «Диапазон тепловоза», в г. Повсеместное тепловое ядропод редакцией Джея Йоргенсена и Линн Х. Уоллинг, AMS 2006, стр. 203–231

[2] ДО Н.Э. Зал, "Преобразование «когерентного состояния» Сигала – Баргмана для компактных групп Ли ", Журнал функционального анализа 122 (1994), 103–151

[3] ДО Н.Э. Зал, "Обратное преобразование Сегала – Баргмана для компактных групп Ли ", Журнал функционального анализа 143 (1997), 98–116

[1]

[2]

[3]

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Гильбертовы пространства
Базовые концепты	Примыкающий Внутренний продукт и L-полувнутренний продукт Гильбертово пространство и Предгильбертово пространство
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Представительство Рисса
Другие результаты	Личность Парсеваля Поляризационная идентичность
Карты	Компактный оператор в гильбертовом пространстве Плотно очерченный Эрмитова форма Гильберта-Шмидта Нормальный Самосопряженный Полуторалинейная форма Класс трассировки Унитарный
Примеры	C^п(K) с K компактный и п<∞ Сегал – Баргманн F