Группа узлов - Knot group

В математика, а морской узел является встраивание из круг в 3-х мерный Евклидово пространство. В группа узлов узла K определяется как фундаментальная группа из узел дополнения из K в р³,

${ displaystyle pi _ {1} ( mathbb {R} ^ {3} setminus K).}$

Другие соглашения считают узлы вложенными в 3-сферу, и в этом случае группа узлов является фундаментальной группой своего дополнения в ${ Displaystyle S ^ {3}}$.

Характеристики

Два эквивалентных узла имеют изоморфный группы узлов, поэтому группа узлов является инвариант узла и может использоваться для различения определенных пар неэквивалентных узлов. Это потому, что эквивалентность двух узлов является самогомеоморфизмом ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ который изотопен тождеству и отправляет первый узел на второй. Такой гомеоморфизм ограничивается на гомеоморфизм дополнений узлов, и этот ограниченный гомеоморфизм индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. Пример ниже).

В абелианизация группы узлов всегда изоморфна бесконечной циклическая группа Z; это следует потому, что абелианизация согласуется с первым группа гомологии, который легко вычислить.

Группа узлов (или фундаментальная группа ориентированного зацепления в целом) может быть вычислена в Презентация Wirtinger по относительно простому алгоритму.

Примеры

• В развязанный имеет группу узлов, изоморфную Z.
• В трилистник имеет группу узлов, изоморфную группа кос B₃. Эта группа имеет презентация

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {2} = y ^ {3} rangle}$ или же ${ displaystyle langle a, b mid aba = bab rangle.}$

• А (п,q)-торический узел имеет узловую группу с презентацией

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {p} = y ^ {q} rangle.}$

• В узел восьмерки имеет узловую группу с презентацией

${ displaystyle langle x, y mid yxy ^ {- 1} xy = xyx ^ {- 1} yx rangle}$

• В квадратный узел и бабушка узел имеют изоморфные группы узлов, но эти два узла не эквивалентны.

Смотрите также

• Группа ссылок

дальнейшее чтение

• Хазевинкель, Михиэль, изд. (2001), "Группы узлов и ссылок ", Энциклопедия математики, Спрингер, ISBN  978-1556080104