Отношение мотков - Skein relation

Отношения мотков математический инструмент, используемый для изучения узлы. Центральный вопрос в математическая теория узлов есть ли два схемы узлов представляют собой тот же узел. Один из способов ответить на вопрос - использовать узловые многочлены, которые инварианты узла. Если две диаграммы имеют разные многочлены, они представляют собой разные узлы. В целом разговаривать не держит.

Отношения скейна часто используются, чтобы дать простое определение полиномов узлов. Отношение мотков задает линейную связь между значениями полинома узла в наборе из трех ссылки которые отличаются друг от друга только в небольшом регионе. Для некоторых полиномов узлов, таких как Конвей, Александр, и Полиномы Джонса, соответствующих мотковых соотношений достаточно для вычисления полинома рекурсивно. Для других, таких как Полином HOMFLYPT, нужны более сложные алгоритмы.

Определение

Для отношения мотков требуются три схемы связей, которые идентичны, за исключением одного пересечения. На трех диаграммах должны быть показаны три возможности, которые могут возникнуть для двух сегментов линии на этом пересечении, одна из линий может пройти под, та же строка могла быть над или две линии могут вообще не пересекаться. Диаграммы связей должны быть рассмотрены, потому что одно изменение мотка может изменить диаграмму с представления узла на узел, представляющий связь, и наоборот. В зависимости от рассматриваемого полинома узла связи (или клубки), появляющиеся в отношении мотков, могут быть ориентированными или неориентированными.

Три диаграммы обозначены следующим образом. Поверните схему с тремя звеньями так, чтобы оба направления на рассматриваемом перекрестке были примерно на север. На одной диаграмме северо-запад будет на северо-восток, он помечен L₋. Другой будет с северо-востока на северо-запад, это L₊. На оставшейся диаграмме этот перекресток отсутствует и обозначен L₀.

(Маркировка не зависит от направления, поскольку она остается неизменной, если все направления меняются местами. Таким образом, этим методом однозначно определяются полиномы на неориентированных узлах. Однако направления на ссылки являются важной деталью, которую следует сохранять при рекурсии через полиномиальные вычисления.)

Также разумно мыслить в генеративном смысле, беря существующую диаграмму связей и «исправляя» ее, чтобы сделать две другие - при условии, что исправления применяются с совместимыми направлениями.

Чтобы рекурсивно определить полином узла (зацепления), функция F фиксировано, и для любой тройки диаграмм и их многочленов, помеченных как выше,

${ displaystyle F { Big (} L _ {-}, L_ {0}, L _ {+} { Big)} = 0}$

или более педантично

${ Displaystyle F { Big (} L _ {-} (x), L_ {0} (x), L _ {+} (x), x { Big)} = 0}$ для всех ${ displaystyle x}$

(Нахождение F который производит многочлены, независимые от последовательностей пересечений, используемых в рекурсии, является нетривиальным упражнением.)

Более формально отношение мотков можно рассматривать как определение ядро из факторная карта от планарная алгебра из путаница. Такое отображение соответствует полиному узла, если все замкнутые диаграммы приведены к некоторому (полиномиальному) кратному изображению пустой диаграммы.

Пример

Где-то в начале 1960-х годов Конвей показал, как вычислить многочлен Александера с использованием соотношений мотков. Как есть рекурсивный, он не так прямолинеен, как оригинал Александра матрица метод; с другой стороны, часть работы, проделанной для одного узла, применима и к другим. В частности, сеть диаграмм одинакова для всех многочленов, относящихся к мотку.

Пусть функция п от схем связи до Серия Laurent в ${ displaystyle { sqrt {x}}}$ так это ${ displaystyle P ({ rm {unknot}}) = 1}$ и тройка диаграмм скейн-отношений ${ displaystyle (L _ {-}, L_ {0}, L _ {+})}$ удовлетворяет уравнению

${ Displaystyle P (L _ {-}) = (x ^ {- 1/2} -x ^ {1/2}) P (L_ {0}) + P (L _ {+})}$

потом п отображает узел в один из его многочленов Александера.

В этом примере мы вычисляем многочлен Александера от узел с лапчаткой (), чередующийся узел с пятью перекрестками на минимальной диаграмме. На каждом этапе мы показываем взаимосвязь, включающую более сложную связь и две более простые диаграммы. Обратите внимание, что более сложная ссылка находится справа на каждом шаге ниже, кроме последнего. Для удобства пусть А = Икс^−1/2−x^1/2.

Для начала мы создадим две новые диаграммы, исправив одно из пересечений лапчатки (выделено желтым), чтобы

п() = А × п() + п()

Первая диаграмма на самом деле представляет собой трилистник; вторая диаграмма - это два развязанных узла с четырьмя пересечениями. Патчим последний

п() = А × п() + п()

дает снова трилистник и два развязанных два переходы ( Ссылка Хопфа [1] ). Патчание трилистника

п() = А × п() + п()

дает развязку и, опять же, ссылку Хопфа. Исправление ссылки Хопфа

п() = А × п() + п()

дает ссылку с 0 переходами (unlink) и развязкой. Разрыв связи требует некоторой хитрости:

п() = А × п() + п()

Расчеты

Теперь у нас есть достаточно отношений, чтобы вычислить полиномы всех звеньев, с которыми мы столкнулись, и мы можем использовать приведенные выше уравнения в обратном порядке, чтобы работать до самого узла с лапчаткой. Расчет описан в таблице ниже, где ? обозначает неизвестную величину, которую мы решаем в каждом соотношении:

имя узла	диаграммы	п (диаграмма)
		уравнение мотка	?	п в полном объеме
развязанный		определяется как 1		х → 1
разорвать связь		1 = А? +1	0	х → 0
Ссылка Хопфа		0 = А1 +?	-А	х → х1/2-Икс−1/2
трилистник		1 = А (-А) +?	1 + А2	х → х−1-1 + х
4 переходное звено		-А = А (1 + А2)+?	-А (2 + А2)	х → -x−3/2+ х−1/2-Икс1/2+ х3/2
лапчатка		1 + А2= А (-А (2 + А2))+?	1 + 3А2+ А4	х → х−2-Икс−1+ 1-х + х2

Таким образом, многочлен Александера для лапчатки равен P (x) = x⁻² -Икс⁻¹ +1 -x + x².

Источники

• Американское математическое общество, Узлы и их многочлены, Столбец характеристик.
• Вайсштейн, Эрик В. "Отношения мотков". MathWorld.
• Мортон, Хью Р .; Лукач, Саша Г. (2003), "Многочлен ХОМФЛИ декорированной ссылки Хопфа", Журнал теории узлов и ее разветвлений, 12: 395–416, arXiv:math.GT/0108011, Дои:10.1142 / s0218216503002536.