Двойной смежный класс - Double coset

В теория групп, поле математика, а двойной смежный представляет собой набор элементов группы, эквивалентных относительно симметрий, исходящих от двух подгрупп.^[1][2] Точнее, пусть грамм быть группа, и разреши ЧАС и K быть подгруппы. Позволять ЧАС действовать на грамм умножением слева, а K действует на грамм умножением справа. Для каждого Икс в грамм, то (ЧАС, K)-двойной смежный класс Икс это набор

${ displaystyle HxK = {hxk двоеточие h in H, k in K }.}$

Когда ЧАС = K, это называется ЧАС-двойной смежный класс Икс. Эквивалентно, HxK класс эквивалентности Икс при отношении эквивалентности

Икс ~ у тогда и только тогда, когда существуют час в ЧАС и k в K такой, что hxk = у.

Множество всех двойных смежных классов обозначается

${ Displaystyle H обратная косая черта G / K.}$

Характеристики

Предположим, что грамм группа с подгруппами ЧАС и K действуя левым и правым умножением соответственно. В (ЧАС, K)-двойные смежные классы грамм могут быть эквивалентно описаны как орбиты для группы продуктов ЧАС × K действующий на грамм к (час, k)⋅Икс = hxk⁻¹. Многие из основных свойств двойных смежных классов непосредственно вытекают из того факта, что они являются орбитами. Однако, поскольку грамм это группа и ЧАС и K являются подгруппами, действующими путем умножения, двойные классы смежности более структурированы, чем орбиты произвольных групповых действий, и у них есть дополнительные свойства, которые ложны для более общих действий.

• Два двойных смежных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо идентичны.
• грамм является несвязным объединением своих двойных смежных классов.
• Между двумя двойными пространствами смежных классов существует взаимно однозначное соответствие ЧАС \ грамм / K и K \ грамм / ЧАС дан путем определения HxK с Kx⁻¹ЧАС.
• Если ЧАС = {1}, тогда ЧАС \ грамм / K = грамм / K. Если K = {1}, тогда ЧАС \ грамм / K = ЧАС \ грамм.
• Двойной смежный класс HxK является объединением правых классов смежности ЧАС и левые смежные классы K, конкретно,

  ${ displaystyle { begin {align} HxK & = bigcup _ {k in K} Hxk = coprod _ {Hxk in H backslash HxK} Hxk, HxK & = bigcup _ {h in H} hxK = coprod _ {hxK in HxK / K} hxK. end {align}}}$

• Набор (ЧАС, K)-двойные классы смежности находятся в биекции с орбитами ЧАС \ (грамм / K), а также с орбитами (ЧАС \ грамм) / K под сопоставлениями ${ displaystyle HgK to H (gK)}$ и ${ displaystyle HgK to (Hg) K}$ соответственно.
• Если ЧАС нормально, то ЧАС \ грамм группа, и правильное действие K на факторы этой группы через правильное действие ЧАС \ HK. Следует, что ЧАС \ грамм / K = HK \ грамм. Аналогично, если K нормально, то ЧАС \ грамм / K = грамм / HK.
• Если ЧАС нормальная подгруппа грамм, то ЧАС-двойные классы смежности находятся во взаимно однозначном соответствии с левым (и правым) ЧАС-косеты.
• Учитывать HxK как союз K-орбита вправо ЧАС-косеты. Стабилизатор правый ЧАС-косет Hxk ∈ ЧАС \ HxK относительно правильного действия K является K ∩ (xk)⁻¹Hxk. Аналогично стабилизатор левого K-косет hxK ∈ HxK / K относительно левого действия ЧАС является ЧАС ∩ hxK(hx)⁻¹.
• Отсюда следует, что количество правых классов смежности ЧАС содержалась в HxK это индекс [K : K ∩ Икс⁻¹Hx] и количество левых смежных классов K содержалась в HxK это индекс [ЧАС : ЧАС ∩ xKx⁻¹]. Следовательно

  ${ displaystyle { begin {align} | HxK | & = [H: H cap xKx ^ {- 1}] | K | = | H | [K: K cap x ^ {- 1} Hx], left [G: H right] & = sum _ {HxK in H backslash G / K} [K: K cap x ^ {- 1} Hx], left [G: K right] & = sum _ {HxK in H backslash G / K} [H: H cap xKx ^ {- 1}]. end {выравнивается}}}$

• Если грамм, ЧАС, и K конечны, то также следует, что

  ${ displaystyle { begin {align} | HxK | & = { frac {| H || K |} {| H cap xKx ^ {- 1} |}} = { frac {| H || K | } {| K cap x ^ {- 1} Hx |}}, left [G: H right] & = sum _ {HxK in H backslash G / K} { frac {| K |} {| K cap x ^ {- 1} Hx |}}, left [G: K right] & = sum _ {HxK in H backslash G / K} { frac {| H |} {| H cap xKx ^ {- 1} |}}. End {align}}}$

• Исправить Икс ∈ грамм, и разреши (ЧАС × K)_Икс обозначают двойной стабилизатор {(час, k) : hxk = Икс}. Тогда двойной стабилизатор является подгруппой ЧАС × K.
• Потому что грамм группа, для каждого час ∈ ЧАС есть ровно один грамм ∈ грамм такой, что hxg = Икс, а именно грамм = Икс⁻¹час⁻¹Икс; тем не мение, грамм может не быть в K. Аналогично для каждого k ∈ K есть ровно один грамм′ ∈ грамм такой, что грамм′xk = Икс, но грамм′ может не быть в ЧАС. Поэтому двойной стабилизатор имеет описания

  ${ displaystyle (H times K) _ {x} = {(h, x ^ {- 1} h ^ {- 1} x) двоеточие h in H } cap H times K = { (xk ^ {- 1} x ^ {- 1}, k) двоеточие k in K } cap H times K.}$

• (Теорема орбиты стабилизатора ) Между HxK и (ЧАС × K) / (ЧАС × K)_Икс под которым hxk соответствует (час, k⁻¹)(ЧАС × K)_Икс. Отсюда следует, что если грамм, ЧАС, и K конечны, то

  ${ Displaystyle | HxK | = [ЧАС раз К: (Н раз К) _ {х}] = | Н раз К | / | (Н раз К) _ {х} |.}$

• (Лемма Коши – Фробениуса ) Позволять грамм^{(час, k)} обозначим элементы, фиксируемые действием (час, k). потом

  ${ displaystyle | H обратная косая черта G / K | = { frac {1} {| H || K |}} sum _ {(h, k) in H times K} | G ^ {(h, k)} |.}$

• В частности, если грамм, ЧАС, и K конечны, то количество двойных смежных классов равно среднему количеству точек, фиксируемых на пару элементов группы.

Есть эквивалентное описание двойных смежных классов в терминах одиночных классов. Позволять ЧАС и K оба действуют правым умножением на грамм. потом грамм действует умножением слева на произведение пространств смежных классов грамм / ЧАС × грамм / K. Орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с ЧАС \ грамм / K. Это соответствие идентифицирует (xH, yK) с двойным смежным классом Hx⁻¹yK. Вкратце, это потому, что каждый грамм-орбита допускает представителей вида (ЧАС, xK), а представитель Икс определяется только с точностью до умножения слева на элемент ЧАС. По аналогии, грамм действует правым умножением на ЧАС \ грамм × K \ грамм, и орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с двойными смежными классами ЧАС \ грамм / K. Концептуально это идентифицирует двойное смежное пространство ЧАС \ грамм / K с пространством относительных конфигураций ЧАС-косет и K-косет. Кроме того, эта конструкция обобщается на случай любого числа подгрупп. Данные подгруппы ЧАС₁, ..., ЧАС_п, пространство (ЧАС₁, ..., ЧАС_п)-множественные наборы это набор грамм-орбиты грамм / ЧАС₁ × ... × грамм / ЧАС_п.

Аналог Теорема Лагранжа для двойных смежных классов ложно. Это означает, что размер двойного смежного класса не обязательно делит порядок грамм. Например, пусть грамм = S₃ - симметрическая группа из трех букв, и пусть ЧАС и K - циклические подгруппы, порожденные транспозициями (1 2) и (1 3), соответственно. Если е обозначает тождественную перестановку, то

${ Displaystyle HeK = HK = {е, (12), (13), (132) }.}$

В нем четыре элемента, и четыре не делят шесть, порядок S₃. Также неверно, что разные двойные смежные классы имеют одинаковый размер. Продолжая тот же пример,

${ Displaystyle Н (23) К = {(23), (123) },}$

который имеет два элемента, а не четыре.

Однако предположим, что ЧАС это нормально. Как отмечалось ранее, в этом случае двойное смежное пространство равно правому смежному пространству HK \ грамм. Аналогично, если K нормально, то ЧАС \ грамм / K левое смежное пространство грамм / HK. Из стандартных результатов о левых и правых смежных пространствах вытекают следующие факты.

• |HxK| = |HK| для всех Икс ∈ грамм. То есть все двойные классы смежности имеют одинаковую мощность.
• Если грамм конечно, то |грамм| = |HK| ⋅ |ЧАС \ грамм / K|. Особенно, |HK| и |ЧАС \ грамм / K| разделять |грамм|.

Примеры

• Позволять грамм = S_п - симметрическая группа, рассматриваемая как перестановки множества {1, ..., п}. Рассмотрим подгруппу ЧАС = S_{п − 1} что стабилизирует п. потом S_{п − 1} \ S_п / S_{п − 1} состоит из двух двойных смежных классов. Один из них ЧАС = S_{п − 1}. Если γ это перестановка, которая не фиксирует п, то второй смежный класс представлен как S_{п − 1} γ S_{п − 1}.
• Позволять грамм быть группой GL_п(р), и разреши B - подгруппа верхнетреугольных матриц. Двойное смежное пространство B \ грамм / B это Разложение Брюа из грамм. У каждого двойного смежного класса есть представитель BwB, куда ш матрица перестановок. Например, если п = 2, тогда

  ${ displaystyle B backslash operatorname {GL} _ {2} ( mathbf {R}) / B = left {B { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} B, B { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} B right }.}$

Произведения в свободной абелевой группе на множестве двойных классов смежности

Предположим, что грамм это группа и это ЧАС, K, и L являются подгруппами. При определенных условиях конечности существует произведение на свободной абелевой группе, порожденное (ЧАС, K)- и (K, L)-двойные классы смежности со значениями в свободной абелевой группе, порожденной (ЧАС, L)-двойные классы. Это означает, что существует билинейная функция

${ displaystyle mathbf {Z} [H backslash G / K] times mathbf {Z} [K backslash G / L] to mathbf {Z} [H backslash G / L].}$

Предположим для простоты, что грамм конечно. Чтобы определить произведение, переинтерпретируйте эти свободные абелевы группы в терминах групповая алгебра из грамм следующее. Каждый элемент Z[ЧАС \ грамм / K] имеет форму

${ displaystyle sum _ {HxK in H backslash G / K} f_ {HxK} cdot [HxK],}$

куда { ж_HxK } представляет собой набор целых чисел, индексированных элементами ЧАС \ грамм / K. Этот элемент можно интерпретировать как Z-значная функция на ЧАС \ грамм / K, конкретно, HxK ↦ ж_HxK. Эту функцию можно оттянуть назад по проекции. грамм → ЧАС \ грамм / K который отправляет Икс к двойному классу HxK. Это приводит к функции Икс ↦ ж_HxK. По способу построения этой функции она остается инвариантной относительно ЧАС и правый инвариант относительно K. Соответствующий элемент групповой алгебры Z[грамм] является

${ Displaystyle сумма _ {х в G} е_ {HxK} cdot [х],}$

и этот элемент инвариантен относительно умножения слева на ЧАС и правильное умножение на K. Концептуально этот элемент получается заменой HxK элементами, которые он содержит, и конечностью грамм гарантирует, что сумма все еще конечна. И наоборот, каждый элемент Z[грамм] который остается инвариантным относительно ЧАС и правый инвариант относительно K это откат функции на Z[ЧАС \ грамм / K]. Параллельные утверждения верны для Z[K \ грамм / L] и Z[ЧАС \ грамм / L].

Когда элементы Z[ЧАС \ грамм / K], Z[K \ грамм / L], и Z[ЧАС \ грамм / L] интерпретируются как инвариантные элементы Z[грамм], то произведение, существование которого утверждалось выше, есть в точности умножение на Z[грамм]. В самом деле, легко проверить, что произведение левойЧАС-инвариантный элемент и право-L-инвариантный элемент продолжает оставаться влево-ЧАС-инвариантный и правый-L-инвариантный. Билинейность произведения немедленно следует из билинейности умножения на Z[грамм]. Отсюда также следует, что если M четвертая подгруппа грамм, то произведение (ЧАС, K)-, (K, L)-, и (L, M)-двойные классы смежности ассоциативны. Потому что продукт в Z[грамм] соответствует свертке функций на грамм, этот продукт иногда называют продуктом свертки.

Важный частный случай - это когда ЧАС = K = L. В этом случае произведение представляет собой билинейную функцию

${ displaystyle mathbf {Z} [H backslash G / H] times mathbf {Z} [H backslash G / H] to mathbf {Z} [H backslash G / H].}$

Этот продукт превращается Z[ЧАС \ грамм / ЧАС] в ассоциативное кольцо, единичным элементом которого является класс тривиального двойного смежного класса [ЧАС]. В общем случае это кольцо некоммутативно. Например, если ЧАС = {1}, то кольцо является групповой алгеброй Z[грамм], а групповая алгебра является коммутативным кольцом тогда и только тогда, когда основная группа абелева.

Если ЧАС нормально, так что ЧАС-двойные классы смежности такие же, как элементы фактор-группы грамм / ЧАС, то продукт на Z[ЧАС \ грамм / ЧАС] является произведением в групповой алгебре Z[грамм / ЧАС]. В частности, это обычная свертка функций на грамм / ЧАС. В этом случае кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда грамм / ЧАС абелева, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ЧАС содержит коммутаторная подгруппа из грамм.

Если ЧАС это ненормально, тогда Z[ЧАС \ грамм / ЧАС] может быть коммутативным, даже если грамм неабелева. Классический пример - произведение двух Операторы Гекке. Это произведение в алгебре Гекке, которое коммутативно, хотя группа грамм это модульная группа, который неабелева, и подгруппа является арифметическая подгруппа и, в частности, не содержит коммутаторной подгруппы. Коммутативность продукта свертки тесно связана с Пары Гельфанда.

Когда группа грамм является топологической группой, можно ослабить предположение, что число левых и правых смежных классов в каждом двойном классе конечно. Групповая алгебра Z[грамм] заменяется алгеброй таких функций, как L²(грамм) или же C^∞(грамм), а суммы заменяются интегралами. Изделие по-прежнему соответствует свертке. Например, это происходит для Алгебра Гекке локально компактной группы.

Приложения

Когда группа ${ displaystyle G}$ имеет переходное групповое действие на съемочной площадке ${ displaystyle S}$, вычисляя некоторые двойные разложения смежных классов ${ displaystyle G}$ раскрывает дополнительную информацию о структуре действия ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle S}$. В частности, если ${ displaystyle H}$ стабилизирующая подгруппа некоторого элемента ${ displaystyle s in S}$, тогда ${ displaystyle G}$ разлагается как ровно два двойных смежных класса по ${ displaystyle (H, H)}$ если и только если ${ displaystyle G}$ действует транзитивно на множестве различных пар ${ displaystyle S}$. Видеть 2-транзитивные группы для получения дополнительной информации об этом действии.

Двойные классы важны в связи с теория представлений, когда представление ЧАС используется для построения индуцированное представление из грамм, что тогда ограниченный к K. Соответствующая двойная структура смежного класса несет информацию о том, как разлагается полученное представление. В случае конечных групп это Теорема Макки о разложении.

Они также важны в функциональный анализ, где в некоторых важных случаях функции левоинвариантны и правоинвариантны по подгруппе K может сформировать коммутативное кольцо под свертка: видеть Пара Гельфанда.

В геометрии Форма Клиффорда – Клейна двойное смежное пространство Γ грамм/ЧАС, куда грамм это редуктивная группа Ли, ЧАС - замкнутая подгруппа и Γ дискретная подгруппа (из грамм), который действует правильно прерывисто на однородное пространство грамм/ЧАС.

В теория чисел, то Алгебра Гекке соответствующий подгруппа конгруэнции Γ из модульная группа натянута на элементы двойного смежного класса ${ displaystyle Gamma backslash mathrm {GL} _ {2} ^ {+} ( mathbb {Q}) / Gamma}$; структура алгебры получена в результате умножения двойных смежных классов, описанных выше. Особое значение имеют операторы Гекке ${ displaystyle T_ {m}}$ соответствующие двойным смежным классам ${ Displaystyle Gamma _ {0} (N) г Gamma _ {0} (N)}$ или же ${ Displaystyle Gamma _ {1} (N) г Gamma _ {1} (N)}$, куда ${ displaystyle g = left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & m end {smallmatrix}} right)}$ (они имеют разные свойства в зависимости от того, м и N взаимно просты или нет), а алмазные операторы ${ displaystyle langle d rangle}$ заданные двойными смежными классами ${ Displaystyle Gamma _ {1} (N) left ({ begin {smallmatrix} a & b c & d end {smallmatrix}} right) Gamma _ {1} (N)}$ куда ${ Displaystyle д в ( mathbb {Z} / N mathbb {Z}) ^ { times}}$ и мы требуем ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} a & b c & d end {smallmatrix}} right) in Gamma _ {0} (N)}$ (выбор а, б, c не влияет на ответ).

Рекомендации