Переписка Springer - Springer correspondence

В математике Представления Springer являются определенными представлениями Группа Вейля W связаны с классы унипотентной сопряженности из полупростой алгебраическая группа г. Есть еще один параметр, представление некоторой конечной группы А(ты) канонически определяется классом унипотентной сопряженности. Каждой паре (ты, φ), состоящий из унипотентного элемента ты из г и неприводимое представление φ из А(ты) можно связать либо неприводимое представление группы Вейля, либо 0. Ассоциацию

${displaystyle (u, phi) mapsto E_ {u, phi} quad uin U (G), phi in {widehat {A (u)}}, E_ {u, phi} в {widehat {W}}}$

зависит только от класса сопряженности ты и порождает соответствие между неприводимыми представлениями группы Вейля и парами (ты, φ) по модулю сопряжения, называемые Переписка Springer. Известно, что всякое неприводимое представление W встречается в корреспонденции ровно один раз, хотя φ может быть нетривиальным представлением. Переписка Спрингера была подробно описана во всех случаях Люстигом, Спальтенштейном и Шоджи. Соответствие, наряду с его обобщениями, принадлежащими Люстигу, играет ключевую роль в Классификация Люстига из неприводимые представления из конечные группы лиева типа.

строительство

Было разработано несколько подходов к переписке Спрингера. Т. А. Спрингер исходная конструкция (1976) продолжалась путем определения действия W на высшем l-адические когомологии группы алгебраическое многообразие B_ты из Борелевские подгруппы из г содержащий данный унипотентный элемент ты из полупростая алгебраическая группа г над конечным полем. Эта конструкция была обобщена Люстигом (1981), который также устранил некоторые технические предположения. Позже Спрингер дал другую конструкцию (1978), используя обычные когомологии с рациональными коэффициентами и комплексные алгебраические группы.

Каждан и Люстиг нашли топологическую конструкцию представлений Спрингера, используя Сорт Штейнберга и якобы обнаружил Полиномы Каждана – Люстига. в процессе. Обобщенное соответствие Спрингера изучалось Люстигом-Спальтенштейном (1985) и Люстигом в его работе по связки символов. Борхо и Макферсон (1983) дали еще одну конструкцию соответствия Спрингера.

пример

Для специальная линейная группа SL_п, классы унипотентной сопряженности параметризуются перегородки из п: если ты - унипотентный элемент, соответствующее разбиение задается размерами Иорданские блоки из ты. Все группы А(ты) тривиальны.

Группа Вейля W это симметричная группа S_п на п письма. Его неприводимые представления над полем нулевой характеристики также параметризуются разбиениями поля п. Соответствие Спрингера в этом случае является биекцией, а в стандартных параметризациях оно задается транспонированием разбиений (так что тривиальное представление группы Вейля соответствует регулярному унипотентному классу, а знаковое представление соответствует элементу идентичности г).

Приложения

Переписка Спрингера оказалась тесно связанной с классификацией примитивные идеалы в универсальная обертывающая алгебра сложного полупростого Алгебра Ли, и как общий принцип, и как технический инструмент. Многие важные результаты связаны с Энтони Джозеф. Геометрический подход был разработан Борхо, Брылински и Макферсон.

использованная литература

• Уолтер Борхо, Жан-Люк Брылински и Роберт Макферсон. Нильпотентные орбиты, примитивные идеалы и характеристические классы. Геометрическая перспектива в теории колец. Прогресс в математике, 78. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1989. ISBN  0-8176-3473-8
• В. Борхо и Р. Макферсон. Частичные резольвенты нильпотентных многообразий. Анализ и топология на особых пространствах, II, III (Luminy, 1981), 23–74, Astérisque, 101-102, Soc. Математика. Франция, Париж, 1983 год.
• Д. Каждан, Г. Люстиг Топологический подход к представлению Спрингера, Adv. Математика. 38 (1980) 222–228.
• Г. Люстиг. Многочлены Грина и особенности унипотентных классов. Adv. по математике. 42 (1981), 169–178.
• Г. Люстиг и Н. Спальтенштейн. Об обобщенном соответствии Спрингера для классических групп. Углубленные исследования чистой математики, т. 6 (1985), 289–316.
• Н. Спальтенштейн. Об обобщенном соответствии Спрингера для исключительных групп. Углубленные исследования чистой математики, т. 6 (1985), 317–338.
• Спрингер, Т. А. (1976), "Тригонометрические суммы, функции Грина конечных групп и представления групп Вейля", Изобретать. Математика., 36: 173–207, Bibcode:1976InMat..36..173S, Дои:10.1007 / BF01390009, Г-Н  0442103
• Спрингер, Т.А. Конструкция представлений групп Вейля. Изобретать. Математика. 44 (1978), нет. 3, 279–293. Г-Н0491988 Дои:10.1007 / BF01403165
• Спрингер, Т.А. Келькес приложения де ла когомологий пересечение. Séminaire Bourbaki, разоблачение 589, Astérisque 92–93 (1982).