Гиперпокрытие - Hypercovering

В математика, и в частности теория гомотопии, а гиперпокрытие (или гиперпокрытие) - это симплициальный объект это обобщает Чех нерв чехла. Для чешского нерва открытой крышки ${ displaystyle { mathcal {U}} to X}$, можно показать, что если пространство ${ displaystyle X}$ компактно, и если каждое пересечение открытых множеств в покрытии стягиваемо, то можно сжать эти множества и получить симплициальное множество, слабо эквивалентное ${ displaystyle X}$ естественным образом. Для эталонной топологии и других сайтов эти условия не выполняются. Идея гиперпокрытия состоит в том, чтобы работать не только с ${ displaystyle n}$-кратные пересечения множеств заданного открытого покрытия ${ displaystyle { mathcal {U}}}$, чтобы допускать попарные пересечения множеств в ${ Displaystyle { mathcal {U}} = { mathcal {U}} _ {0}}$ быть прикрытым открытой крышкой ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}}$, и пусть тройные пересечения этого покрытия покрываются еще одним открытым покрытием ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {2}}$и так далее, итеративно. Гиперпокрытия играют центральную роль в этальной гомотопии и других областях, где теория гомотопии применяется к алгебраическая геометрия, Такие как теория мотивационной гомотопии.

Формальное определение

Исходное определение, данное для этальные когомологии к Жан-Луи Вердье в SGA4, Разоблачить V, разд. 7, пп. 7.4.1 для вычисления когомологий пучков в произвольных топологиях Гротендика. Для эталонного сайта определение следующее:

Позволять ${ displaystyle X}$ быть схема и рассмотрим категорию схем эталь над ${ displaystyle X}$. А гиперпокрытие симплициальный объект ${ displaystyle U _ { bullet}}$ этой категории такая, что ${ displaystyle U_ {0} to X}$ является этальной обложкой и такой, что ${ displaystyle U_ {n + 1} to ( operatorname {cosk} _ {n} operatorname {sk} _ {n} U _ { bullet}) _ {n + 1}}$ этальная обложка для каждого ${ Displaystyle п geq 0}$.

Характеристики

Теорема Вердье о гиперпокрытии утверждает, что когомологии абелевых пучков этального пучка могут быть вычислены как копредел когомологий коцепей по всем гиперпокрытиям.

Для локальной нётеровой схемы ${ displaystyle X}$, категория ${ displaystyle HR (X)}$ гиперпокрытий по модулю симплициальной гомотопии является кофильтрующей и, таким образом, дает про-объект в гомотопической категории симплициальных множеств. Геометрическая реализация этого - Гомотопический тип Артина-Мазура. Обобщение Э. Фридлендера, использующее бисимплициальные гиперпокрытия симплициальных схем, называется этальным топологическим типом.

Рекомендации

• Артин, Майкл; Мазур, Барри (1969). Etale гомотопия. Springer.
• Фридлендер, Эрик (1982). Этальная гомотопия симплициальных схем. Анналы математических исследований, ПУП.
• Конспект лекций Г. Куик »Эталонная гомотопия, лекция 2."
• Гиперпокрытие в nLab