Нерв покрова - Nerve of a covering

Построение нерва открытого хорошего покрытия, содержащего 3 набора в плоскости.

В топология, то нерв открытого покрова это конструкция абстрактный симплициальный комплекс из открытое покрытие из топологическое пространство Икс который захватывает многие интересные топологические свойства алгоритмическим или комбинаторным способом. Он был представлен Павел Александров^[1] и теперь имеет множество вариантов и обобщений, среди которых Чешский нерв крышки, которая, в свою очередь, обобщается гиперпокрытия.^[2]

Определение Александрова

Позволять Икс быть топологическим пространством. Позволять ${ displaystyle I}$ быть набор индексов. Позволять ${ displaystyle C}$ быть семьей, индексируемой ${ displaystyle I}$ из открытые подмножества из Икс: ${ Displaystyle C = lbrace U_ {i}: я in I rbrace}$. В нерв из ${ displaystyle C}$ является набором конечных подмножеств индекс-множества ${ displaystyle I}$. Он содержит все конечные подмножества ${ displaystyle J substeq I}$ такое, что пересечение U_я чьи подиндексы находятся в J не пусто:

N (C) := ${ displaystyle { bigg {} U_ {j}: J substeq I ~~~~ и ~~~~ bigcap _ {j in J} U_ {j} neq varnothing { bigg }} }$

N (C) может содержать синглтоны (элементы я в ${ displaystyle I}$такой, что U_я не пусто), пары (пары элементов i, j в ${ displaystyle I}$ такой, что U_я пересекает U_j), тройняшек и так далее. Если J принадлежит N(С), то любое его подмножество также принадлежит N (C). Следовательно N (C) является абстрактный симплициальный комплекс и его часто называют нервный комплекс из C.

Примеры

1. Пусть Икс быть окружностью S¹ и C = {U₁, U₂}, куда U₁ дуга, покрывающая верхнюю половину S¹ и U₂ представляет собой дугу, покрывающую ее нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы покрыть все S¹). потом N(C) = {{1}, {2}, {1,2}}, что является абстрактным 1-симплексом.

2. Пусть Икс быть окружностью S¹ и C = {U₁, U₂, U₃}, где каждый U_я дуга, покрывающая одну треть S¹, с некоторым перекрытием с соседними U_я. потом N(C) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}}. Обратите внимание, что {1,2,3} не входит в N (C), поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто.

Чешский нерв

Учитывая открытая крышка ${ Displaystyle C = {U_ {i}: я in I }}$ топологического пространства ${ displaystyle X}$, или, в более общем смысле, обложку на сайте, мы можем рассматривать попарно продукты из волокна ${ Displaystyle U_ {ij} = U_ {i} times _ {X} U_ {j}}$, которые в случае топологического пространства являются в точности пересечениями ${ displaystyle U_ {i} cap U_ {j}}$. Совокупность всех таких пересечений можно назвать ${ displaystyle C times _ {X} C}$ и тройные пересечения как ${ displaystyle C times _ {X} C times _ {X} C}$.

Рассматривая естественные карты ${ displaystyle U_ {ij} to U_ {i}}$ и ${ displaystyle U_ {i} to U_ {ii}}$, мы можем построить симплициальный объект ${ displaystyle S (C) _ { bullet}}$ определяется ${ Displaystyle S (C) _ {п} = C times _ {X} cdots times _ {X} C}$, n-кратное волокнистое изделие. Это Чех нерв. ^[3]

Взяв связные компоненты, мы получаем симплициальный набор, которые мы можем реализовать топологически: ${ displaystyle | S ( pi _ {0} (C)) |}$.

Теоремы о нервах

В общем случае комплекс N (C) не обязательно отражать топологию Икс точно. Например, мы можем покрыть любые п-сфера с двумя стягиваемыми наборами U₁ и U₂ которые имеют непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае, N(C) - абстрактный 1-симплекс, похожий на линию, но не на сферу.

Однако в некоторых случаях N (C) действительно отражает топологию Икс. Например, если круг покрыт тремя открытыми дугами, попарно пересекающимися, как в примере 2 выше, то N (C) является 2-симплексом (без внутренней части) и гомотопический эквивалент к исходному кругу.

^[4]

А теорема о нерве (или же нервная лемма) - теорема, дающая достаточные условия на C гарантируя, что N (C) в некотором смысле отражает топологию Икс.

Основная теорема о нерве Leray говорит, что, если любое пересечение множеств в N (C) является стягиваемый (эквивалентно: для каждого конечного ${ displaystyle J subset I}$ набор ${ Displaystyle bigcap _ {я в J} U_ {я}}$ либо пусто, либо стягивается; эквивалентно: C это хорошая открытая крышка ), то N (C) является гомотопический эквивалент к Икс.^[5]

Другая теорема о нерве относится к чешскому нерву выше: если ${ displaystyle X}$ компактно и все пересечения множеств в C стягиваемы или пусты, то пробел ${ displaystyle | S ( pi _ {0} (C)) |}$ является гомотопический эквивалент к ${ displaystyle X}$.^[6]

Теорема о гомологическом нерве

Следующая теорема о нерве использует группы гомологии пересечений множеств в обложке.^[7] Для каждого конечного ${ displaystyle J subset I}$, обозначим ${ displaystyle H_ {J, j}: = { tilde {H}} _ {j} ( bigcap _ {i in J} U_ {i}) =}$ то j-го пониженная гомология группа ${ Displaystyle bigcap _ {я в J} U_ {я}}$.

Если ЧАС_{Дж, Дж} это тривиальная группа для всех J в k-скелет N (C) и для всех j в {0, ..., k-dim (J)}, то N (C) "гомологически эквивалентно" Икс в следующем смысле:

• ${ displaystyle { tilde {H}} _ {j} (N (C)) cong { tilde {H}} _ {j} (X)}$ для всех j в {0, ..., k};
• если ${ Displaystyle { тильда {H}} _ {к + 1} (N (C)) not cong 0}$ тогда ${ displaystyle { tilde {H}} _ {k + 1} (X) not cong 0}$ .

Смотрите также

• Гиперпокрытие

Рекомендации