Теоретико-множественная топология - Set-theoretic topology

Пространство целые числа имеет мощность ${displaystyle aleph _ {0}}$, в то время как действительные числа имеет мощность ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$. Топологии обоих пространств имеют мощность ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$. Это примеры кардинальных функций, тема теоретико-множественной топологии.

В математика, теоретико-множественная топология это предмет, который объединяет теория множеств и общая топология. Он фокусируется на топологических вопросах, которые независимый из Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC).

Объекты, изучаемые в теоретико-множественной топологии

Пространства Даукера

в математический поле общая топология, а Пространство Даукера это топологическое пространство то есть Т₄ но нет счетно паракомпактный.

Даукер предположил, что пространств Даукера не существует, и эта гипотеза не была разрешена до тех пор, пока М.Е. Рудин построил один^[1] в 1971 году. Контрпример Рудина - очень большое пространство ( мощность ${displaystyle aleph _ {omega} ^ {aleph _ {0}}}$) и обычно не хорошо воспитанный. Золтан Балог дал первый ZFC строительство^[2] малой (мощности континуум ) пример, который был больше хорошо воспитанный чем у Рудина. С помощью Теория ПКФ, М. Койман и С. Шелах построен^[3] подпространство пространства Даукера Рудина мощности ${displaystyle aleph _ {omega +1}}$ это тоже Даукер.

Нормальные пространства Мура

Известная проблема - это нормальный космический вопрос Мура, вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Кардинальные функции

Кардинальные функции широко используются в топология как инструмент для описания различных топологические свойства.^[4][5] Ниже приведены некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии нет конечных кардинальных чисел»,^[6] предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; это требует модификации некоторых определений, приведенных ниже, например добавляя "${displaystyle ;; +; алеф _ {0}}$"в правую часть определений и т. д.)

• Пожалуй, самые простые кардинальные инварианты топологического пространства Икс - его мощность и мощность топологии, обозначаемые соответственно через |Икс | и о(Икс).
• В масса w (Икс ) топологического пространства Икс наименьшая возможная мощность основание за Икс. Когда w (Икс ) ${displaystyle leq aleph _ {0}}$ космос Икс как говорят второй счетный.
  • В ${displaystyle pi}$-масса пространства Икс наименьшая мощность ${displaystyle pi}$-база для Икс.
• В персонаж топологического пространства Икс в какой-то момент Икс наименьшая мощность местная база за Икс. В персонаж пространства Икс является ${displaystyle chi (X) = sup; {chi (x, X): xin X}.}$ Когда ${displaystyle chi (X) leq aleph _ {0}}$ космос Икс как говорят первый счетный.
• В плотность d (Икс ) пространства Икс - наименьшая мощность плотного подмножества Икс. Когда ${displaystyle {m {{d} (X) leq aleph _ {0}}}}$ космос Икс как говорят отделяемый.
• В Число Линделёфа L (Икс ) пространства Икс наименьшая бесконечная мощность такая, что каждое открытая крышка имеет подпокрытие мощности не более L (Икс ). Когда ${displaystyle {м {{L} (X) = алеф _ {0}}}}$ космос Икс считается Пространство Линделёфа.
• В клеточность пространства Икс является ${displaystyle {m {c}} (X) = sup {| {mathcal {U}} |: {mathcal {U}}}$ это семья взаимно непересекающийся непустой открыто подмножества ${displaystyle X}}$.
  • В Наследственная клеточность (иногда распространять) - точная верхняя грань клеточностей его подмножеств: ${displaystyle s (X) = {m {hc}} (X) = sup {{m {c}} (Y): Ysubseteq X}}$ или же ${displaystyle s (X) = sup {| Y |: Ysubseteq X}$ с подпространство топология дискретный ${displaystyle}}$.
• В герметичность т(Икс, Икс) топологического пространства Икс в какой-то момент ${displaystyle xin X}$ это наименьшее кардинальное число ${displaystyle alpha}$ так что всякий раз, когда ${displaystyle xin {m {cl}} _ {X} (Y)}$ для некоторого подмножества Y из Икс, существует подмножество Z из Y, с |Z | ≤ ${displaystyle alpha}$, так что ${displaystyle xin {m {cl}} _ {X} (Z)}$. Символично, ${displaystyle t (x, X) = sup {ig {} min {| Z |: Zsubseteq Y клин xin {m {cl}} _ {X} (Z)}: Ysubseteq X клин xin {m {cl}} _ {X} (Y) {ig}}.}$ В теснота пространства Икс является ${displaystyle t (X) = sup {t (x, X): xin X}}$. Когда t (X) = ${displaystyle aleph _ {0}}$ космос Икс как говорят счетно генерируемый или же счетно туго.
  • В повышенная герметичность пространства Икс, ${displaystyle t ^ {+} (X)}$ самый маленький обычный кардинал ${displaystyle alpha}$ такой, что для любого ${displaystyle Ysubseteq X}$, ${displaystyle xin {m {cl}} _ {X} (Y)}$ есть подмножество Z из Y с мощностью меньше чем ${displaystyle alpha}$, так что ${displaystyle xin {m {cl}} _ {X} (Z)}$.

Аксиома мартина

Для любого кардинала k, определим утверждение, обозначенное MA (k):

Для любого частичный заказ п удовлетворение условие счетной цепи (далее ccc) и любая семья D плотных множеств в п такой, что | D | ≤ k, Существует фильтр F на п такой, что F ∩ d не-пустой для каждого d в D.

Поскольку это теорема ZFC, MA (c) не выполняется, аксиома Мартина формулируется следующим образом:

Аксиома Мартина (MA): Для каждого k < c, Массачусетс (k) имеет место.

В этом случае (для применения ccc) антицепь является подмножеством А из п так что любые два различных члена А несовместимы (два элемента называются совместимыми, если существует общий элемент ниже обоих в частичном порядке). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревья.

MA (${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$) ложно: [0, 1] является компактный Пространство Хаусдорфа, который отделяемый и так ccc. Нет изолированные точки, поэтому точки в нем нигде не плотные, но это объединение ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$ много очков.

Эквивалентная формулировка: если Икс компактный хаусдорф топологическое пространство который удовлетворяет ccc, тогда Икс это не союз k или меньше нигде не плотный подмножества.

У аксиомы Мартина есть ряд других интересных комбинаторный, аналитический и топологический последствия:

• Союз k или меньше нулевые наборы в безатомной σ-конечной Мера Бореля на Польское пространство нулевой. В частности, объединение k или меньше подмножеств р из Мера Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
• Компактное хаусдорфово пространство Икс с | X | < 2^k является последовательно компактный, т.е. каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
• Нет непринципиального ультрафильтр на N имеет базу мощности < k.
• Равнозначно для любого Икс в βNN имеем χ (Икс) ≥ k, где χ - персонаж из Икс, поэтому χ (βN) ≥ k.
• MA (${displaystyle aleph _ {1}}$) означает, что произведение топологических пространств ccc есть ccc (это, в свою очередь, означает, что нет Линии Суслина ).
• MA + ¬CH означает, что существует Группа Уайтхеда это не бесплатно; Шела использовал это, чтобы показать, что Проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.

Принуждение

Принуждение это техника, изобретенная Пол Коэн для доказательства последовательность и независимость полученные результаты. Впервые он был использован в 1963 году, чтобы доказать независимость аксиома выбора и гипотеза континуума из Теория множеств Цермело – Френкеля. Принуждение было значительно переработано и упрощено в 1960-х годах и оказалось чрезвычайно мощным методом как в теории множеств, так и в областях математическая логика Такие как теория рекурсии.

Интуитивно понятно, что принуждение заключается в расширении теоретического набора вселенная V в большую вселенную V*. Например, в этой большой вселенной может появиться много новых подмножества из ω = {0,1,2,…}, которых не было в старой вселенной, и тем самым нарушают гипотеза континуума. Хотя это невозможно на первый взгляд, это всего лишь еще одна версия Парадокс Кантора о бесконечности. В принципе, можно было бы рассмотреть

${displaystyle V ^ {*} = V imes {0,1} ,,}$

идентифицировать ${displaystyle xin V}$с ${displaystyle (x, 0)}$, а затем ввести расширенное отношение членства, включающее «новые» множества формы ${displaystyle (x, 1)}$. Принуждение - это более сложная версия этой идеи, сводящая расширение к существованию одного нового набора и позволяющая точно контролировать свойства расширенной вселенной.

См. Основные статьи о таких приложениях, как случайные числа.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кеннет Кунен; Джерри Э. Воган (ред.). Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия. ISBN  0-444-86580-2.