Предел последовательности - Limit of a sequence

Последовательность, заданная периметрами регулярных п-сторонний полигоны которые ограничивают единичный круг имеет предел, равный периметру круга, т.е.

{ displaystyle 2 pi r}

. Соответствующая последовательность для вписанных многоугольников имеет такой же предел.

п	п грех (1 /п)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Как положительный целое число ${ displaystyle n}$ становится все больше и больше, значение ${ Displaystyle п CDOT грех влево ({ tfrac {1} {п}} вправо)}$ становится произвольно близким к ${ displaystyle 1}$ . Мы говорим, что «предел последовательности ${ Displaystyle п CDOT грех влево ({ tfrac {1} {п}} вправо)}$ равно ${ displaystyle 1}$ ."

В математика, то предел последовательности это значение, которое последовательность "стремиться к", и часто обозначается с помощью ${ displaystyle lim}$ символ (например, ${ Displaystyle lim _ {п к infty} а_ {п}}$ ).^[1]^[2] Если такой предел существует, последовательность называется сходящийся.^[3] Последовательность, которая не сходится, называется расходящийся.^[4] Предел последовательности называется фундаментальным понятием, на котором все математический анализ в конечном итоге отдыхает.^[2]

Лимиты могут быть определены в любом метрика или же топологическое пространство, но обычно впервые встречаются в действительные числа.

История

Греческий философ Зенон Элейский известен формулировкой парадоксы, связанные с ограничивающими процессами.

Левкипп, Демокрит, Антифон, Евдокс, и Архимед разработал метод истощения, который использует бесконечную последовательность приближений для определения площади или объема. Архимеду удалось подвести итог тому, что сейчас называется геометрическая серия.

Ньютон имел дело с сериями в своих работах по Анализ с бесконечным рядом (написано в 1669 г., распространено в рукописи, опубликовано в 1711 г.), Метод потоков и бесконечных рядов (написано в 1671 г., опубликовано в английском переводе в 1736 г., оригинал на латинском языке опубликован значительно позже) и Tractatus de Quadratura Curvarum (написано в 1693 г., опубликовано в 1704 г. как приложение к его Оптикс). В последней работе Ньютон рассматривает биномиальное разложение (Икс + о)^п, который он затем линеаризует брать предел в качестве о стремится к 0.

В 18 веке математики Такие как Эйлер удалось подвести некоторые расходящийся сериал с остановкой в нужный момент; их не очень волновало, существует ли предел, если его можно рассчитать. В конце века Лагранж в его Théorie des fonctions analytiques (1797) высказал мнение, что отсутствие строгости препятствует дальнейшему развитию математического анализа. Гаусс в своем этюде гипергеометрический ряд (1813) впервые строго исследовал, при каких условиях ряд сходится к пределу.

Современное определение предела (для любого ε существует индекс N так что ...) было дано Бернхард Больцано (Der binomische Lehrsatz, Прага 1816, мало замеченный в то время), и Карл Вейерштрасс в 1870-х гг.

Действительные числа

График сходящейся последовательности {а_п} отображается синим цветом. Здесь видно, что последовательность сходится к пределу 0 при п увеличивается.

в действительные числа, число ${ displaystyle L}$ это предел из последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ , если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к ${ displaystyle L}$ - и ни на какой другой номер.

Примеры

Если ${ displaystyle x_ {n} = c}$ для постоянного c, тогда ${ displaystyle x_ {n} to c}$ .^{[доказательство 1]}^[5]
Если ${ displaystyle x_ {n} = { frac {1} {n}}}$ , тогда ${ displaystyle x_ {n} to 0}$ .^{[доказательство 2]}^[5]
Если ${ displaystyle x_ {n} = 1 / n}$ когда ${ displaystyle n}$ четный, и ${ displaystyle x_ {n} = { frac {1} {n ^ {2}}}}$ когда ${ displaystyle n}$ странно, то ${ displaystyle x_ {n} to 0}$ . (Дело в том, что ${ displaystyle x_ {n + 1}> x_ {n}}$ в любое время ${ displaystyle n}$ нечетное не имеет значения.)
Для любого действительного числа можно легко построить последовательность, сходящуюся к этому числу, с помощью десятичных приближений. Например, последовательность ${ displaystyle 0.3,0.33,0.333,0.3333, ...}$ сходится к ${ displaystyle 1/3}$ . Обратите внимание, что десятичное представление ${ displaystyle 0.3333 ...}$ это предел предыдущей последовательности, определяемой

{ displaystyle 0.3333 ...: = lim _ {n to infty} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {3} {10 ^ {i}}}}

.

Нахождение предела последовательности не всегда очевидно. Два примера: ${ displaystyle lim _ {n to infty} left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n}}$ (предел которого равен номер е ) и Среднее арифметико-геометрическое. В теорема сжатия часто бывает полезно при установлении таких ограничений.

Формальное определение

Мы называем ${ displaystyle x}$ в предел из последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ если выполняется следующее условие:

Для каждого настоящий номер ${ displaystyle epsilon> 0}$ , существует натуральное число ${ displaystyle N}$ так что для каждого натурального числа ${ Displaystyle п geq N}$ , у нас есть ${ displaystyle | x_ {n} -x | < epsilon}$ .^[6]

Другими словами, для каждой меры близости ${ displaystyle epsilon}$ , члены последовательности в конечном итоге так близки к пределу. Последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ говорят сходиться к или же как правило Лимит ${ displaystyle x}$ , написано ${ displaystyle x_ {n} to x}$ или же ${ Displaystyle lim _ {п к infty} x_ {n} = x}$ .

Символически это:

${ Displaystyle forall varepsilon> 0 ( существует N in mathbb {N} ( forall n in mathbb {N} (п geq N подразумевает | x_ {n} -x | < varepsilon) )).}$

Если последовательность сходится к некоторому пределу, то это сходящийся; в противном случае это расходящийся. Последовательность, у которой есть ноль в качестве предела, иногда называют нулевая последовательность.

Иллюстрация

Пример предельно сходящейся последовательности ${ displaystyle a}$ .
Независимо от того, какой ${ displaystyle varepsilon> 0}$ у нас есть индекс ${ displaystyle N_ {0}}$ , так что последовательность впоследствии полностью лежит в эпсилон-трубке ${ Displaystyle (а- varepsilon, а + varepsilon)}$ .
Есть также для меньшего ${ displaystyle epsilon _ {1}> 0}$ индекс ${ displaystyle N_ {1}}$ , так что последовательность впоследствии окажется внутри эпсилон-трубки ${ displaystyle (a- varepsilon _ {1}, a + varepsilon _ {1})}$ .
Для каждого ${ displaystyle varepsilon> 0}$ за пределами эпсилон-трубки имеется лишь конечное число членов последовательности.

Характеристики

Пределы последовательностей хорошо себя ведут по отношению к обычным арифметические операции. Если ${ displaystyle a_ {n} to a}$ и ${ displaystyle b_ {n} to b}$ , тогда ${ displaystyle a_ {n} + b_ {n} to a + b}$ , ${ displaystyle a_ {n} cdot b_ {n} to ab}$ и, если ни то, ни другое б ни какой ${ displaystyle b_ {n}}$ равно нулю, ${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} to { frac {a} {b}}}$ .^[5]

Для любого непрерывная функция ж, если ${ displaystyle x_ {n} to x}$ тогда ${ Displaystyle f (x_ {n}) к f (x)}$ . Фактически, любые ценные функция ж непрерывен тогда и только тогда, когда он сохраняет пределы последовательностей (хотя это не обязательно верно при использовании более общих понятий непрерывности).

Некоторые другие важные свойства пределов реальных последовательностей включают следующее (при условии, что в каждом уравнении ниже, что пределы справа существуют).

Предел последовательности уникален.^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} (a_ {n} pm b_ {n}) = lim _ {n to infty} a_ {n} pm lim _ {n to infty} b_ {n}}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} ca_ {n} = c cdot lim _ {n to infty} a_ {n}}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} (a_ {n} cdot b_ {n}) = ( lim _ {n to infty} a_ {n}) cdot ( lim _ {n to infty} b_ {n})}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} left ({ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} right) = { frac { lim limits _ {n to infty} a_ {n}} { lim limits _ {n to infty} b_ {n}}}}$ при условии ${ displaystyle lim _ {n to infty} b_ {n} neq 0}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} ^ {p} = left [ lim _ {n to infty} a_ {n} right] ^ {p}}$
Если ${ displaystyle a_ {n} leq b_ {n}}$ для всех ${ displaystyle n}$ больше, чем некоторые ${ displaystyle N}$ , тогда ${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} leq lim _ {n to infty} b_ {n}}$ .
(Теорема сжатия ) Если ${ displaystyle a_ {n} leq c_ {n} leq b_ {n}}$ для всех ${ displaystyle n> N}$ , и ${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = lim _ {n to infty} b_ {n} = L}$ , тогда ${ displaystyle lim _ {n to infty} c_ {n} = L}$ .
Если последовательность ограниченный и монотонный, то он сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность сходится.
Если каждая подпоследовательность последовательности имеет свою собственную подпоследовательность, которая сходится к одной и той же точке, то исходная последовательность сходится к этой точке.

Эти свойства широко используются для доказательства пределов без необходимости прямого использования громоздкого формального определения. Например. как только будет доказано, что ${ Displaystyle 1 / п по 0}$ , становится легко показать, используя указанные выше свойства, что ${ displaystyle { frac {a} {b + { frac {c} {n}}}} to { frac {a} {b}}}$ (при условии, что ${ displaystyle b neq 0}$ ).

Бесконечные пределы

Последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ говорят стремятся к бесконечности, написано ${ displaystyle x_ {n} to infty}$ или же ${ Displaystyle lim _ {п к infty} x_ {n} = infty}$ , если для каждого K, существует N так что для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle x_ {n}> K}$ ; то есть члены последовательности в конечном итоге больше, чем любые фиксированные K.

По аналогии, ${ displaystyle x_ {n} to - infty}$ если для каждого K, существует N так что для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle x_ {n}$ . Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс или минус бесконечности, и последовательность ${ displaystyle x_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ дает один такой пример.

Метрические пространства

Определение

Точка ${ displaystyle x}$ из метрическое пространство ${ displaystyle (X, d)}$ это предел из последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ если для всех ${ displaystyle epsilon> 0}$ , существует ${ displaystyle N}$ так что для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle d (x_ {n}, x) < epsilon}$ . Это совпадает с определением, данным для действительных чисел, когда ${ Displaystyle X = mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle д (х, у) = | х-у |}$ .

Характеристики

Для любого непрерывная функция ж, если ${ displaystyle x_ {n} to x}$ тогда ${ Displaystyle f (x_ {n}) к f (x)}$ . Фактически, функция ж непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей.

Пределы последовательностей уникальны, когда они существуют, поскольку отдельные точки разделены некоторым положительным расстоянием, поэтому для ${ displaystyle epsilon}$ менее половины этого расстояния, члены последовательности не могут находиться на расстоянии ${ displaystyle epsilon}$ обеих точек.

Топологические пространства

Определение

Точка Икс топологического пространства (Икс, τ) является предел из последовательность (Икс_п) если для каждого район U из Икс, существует N так что для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle x_ {n} in U}$ .^[7] Это совпадает с определением, данным для метрических пространств, если (Икс, d) - метрическое пространство и ${ Displaystyle тау}$ топология, порожденная d.

Предел последовательности точек ${ displaystyle left (x_ {n}: n in mathbb {N} right) ;}$ в топологическом пространстве Т частный случай предел функции: the домен является ${ Displaystyle mathbb {N}}$ в пространстве ${ Displaystyle mathbb {N} чашка lbrace + infty rbrace}$ , с индуцированная топология из аффинно расширенная система действительных чисел, то классифицировать является Т, а аргумент функции п стремится к + ∞, что в этом пространстве является предельная точка из ${ Displaystyle mathbb {N}}$ .

Характеристики

Если Икс это Пространство Хаусдорфа, то пределы последовательностей уникальны там, где они существуют. Обратите внимание, что в общем случае это не обязательно; в частности, если две точки Икс и у находятся топологически неразличимый, то любая последовательность, сходящаяся к Икс должен сходиться к у наоборот.

Последовательности Коши

Сюжет последовательности Коши (Икс_п), показаны синим цветом, как Икс_п против п. Визуально мы видим, что последовательность, кажется, сходится к предельной точке, поскольку члены последовательности становятся ближе друг к другу, поскольку п увеличивается. в действительные числа каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу.

Последовательность Коши - это последовательность, члены которой в конечном итоге становятся произвольно близкими друг к другу после того, как было отброшено достаточно много начальных членов. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрические пространства, и, в частности, в реальный анализ. Одним из особенно важных результатов реального анализа является Критерий Коши сходимости последовательностей: последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши. Это остается верным и в других полные метрические пространства.

Определение в гиперреальных числах

Определение предела с помощью гиперреальные числа формализует интуицию, что для «очень большого» значения индекса соответствующий термин «очень близок» к пределу. Точнее реальная последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ как правило L если для каждого бесконечного сверхъестественный ЧАС, период, термин Икс_ЧАС бесконечно близок к L (т.е. разница Икс_ЧАС − L является бесконечно малый ). Эквивалентно, L это стандартная часть из Икс_ЧАС

{ Displaystyle L = { rm {st}} (x_ {H}). ,}

Таким образом, предел можно определить по формуле

{ displaystyle lim _ {n to infty} x_ {n} = { rm {st}} (x_ {H}),}

где предел существует тогда и только тогда, когда правая часть не зависит от выбора бесконечного ЧАС.

Смотрите также

Предел функции - Укажите, к каким функциям сходятся в топологии
Предельная точка - Точка Икс в топологическом пространстве, все окрестности которого содержат точку в данном подмножестве, отличную от Икс.
Ограничьте высшее и ограничьте низшее
Режимы схождения
Предел сети - А сеть является топологическим обобщением последовательности.
Теоретико-множественный предел
Правило смены
Последующий лимит

Примечания

^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-18.
^ ^а ^б Курант (1961), стр. 29.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Конвергентная последовательность». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.
^ Курант (1961), стр. 39.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час "Пределы последовательностей | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2020-08-18.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Предел». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.
^ Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их применение (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.

Доказательства

^ Доказательство: выберите ${ Displaystyle N = 1}$ . Для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -c | = 0 < epsilon}$
^ Доказательство: выберите ${ Displaystyle N = left lfloor { frac {1} { epsilon}} right rfloor}$ + 1 ( функция пола ). Для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -0 | leq x_ {N} = { frac {1} { lfloor 1 / epsilon rfloor +1}} < epsilon}$ .

внешняя ссылка

[1] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-18.

[Courant_(1961),_p._29-2] а ^б Курант (1961), стр. 29.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Конвергентная последовательность». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.

[4] Курант (1961), стр. 39.

[:0-6] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час "Пределы последовательностей | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2020-08-18.

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Предел». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-18.

[9] Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их применение (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.

[5] Доказательство: выберите ${ Displaystyle N = 1}$ . Для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -c | = 0 < epsilon}$

[7] Доказательство: выберите ${ Displaystyle N = left lfloor { frac {1} { epsilon}} right rfloor}$ + 1 ( функция пола ). Для каждого ${ Displaystyle п geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -0 | leq x_ {N} = { frac {1} { lfloor 1 / epsilon rfloor +1}} < epsilon}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[доказательство 1]

[5]

[доказательство 2]

[6]

[7]

Предел последовательности - Limit of a sequence

Содержание

История

Действительные числа

Примеры

Формальное определение

Иллюстрация

Характеристики

Бесконечные пределы

Метрические пространства

Определение

Характеристики

Топологические пространства

Определение

Характеристики

Последовательности Коши

Определение в гиперреальных числах

Смотрите также

Примечания

Доказательства

Рекомендации

внешняя ссылка