Flexagon - Flexagon - Wikipedia

Шестиугольник, изображенный с одной и той же гранью в двух конфигурациях.
Шестиугольник, изображенный с одной и той же гранью в двух конфигурациях.

В геометрия, флексагоны находятся плоский модели, обычно построенные путем складывания полосок бумаги, которые можно согнутый или сложены определенным образом, чтобы обнажить лица помимо двух, которые изначально были на спине и спереди.

Флексагоны обычно квадратные или прямоугольные (тетрафлексагоны) или же шестиугольник (гексафлексагоны). К имени можно добавить префикс, чтобы указать количество граней, которые может отображать модель, включая две грани (заднюю и переднюю), которые видны до изгиба. Например, шестиугольник с шестью гранями называется гексагексафлексагон.

В теории гексафлексагона (то есть в отношении флексагонов с шестью сторонами) флексагоны обычно определяются в терминах похлопывания.[1][2]

Два флексагона эквивалентны, если один может быть преобразован в другой с помощью серии защемлений и вращений. Эквивалентность Flexagon - это отношение эквивалентности.[1]

История

Открытие и введение

Открытие первого флексагона, тригексафлексагона, приписывают британскому математику. Артур Х. Стоун, в то время как студент Университет Принстона в Соединенных Штатах в 1939 году. Его новая американская бумага не помещалась в его английский переплет, поэтому он отрезал концы бумаги и начал складывать их в разные формы.[3] Один из них образовал тригексафлексагон. Коллеги Стоуна Брайант Такерман, Ричард Фейнман, и Джон Тьюки заинтересовался этой идеей и сформировал Princeton Flexagon Committee. Такерман разработал топологический метод, называемый траверсом Такермана, для выявления всех граней флексагона.[4]

Флексагоны были представлены широкой публике Мартин Гарднер в номере журнала за декабрь 1956 г. Scientific American в статье, столь хорошо принятой, что она запустила Гарднер Рубрика «Математические игры» который затем работал в этом журнале в течение следующих двадцати пяти лет.[3][5] В 1974 году фокусник Дуг Хеннинг включил гексафлексагон «Построй свой собственный» с оригинальной записью его бродвейского шоу Волшебное шоу.

Попытка коммерческого развития

В 1955 году Рассел Роджерс и Леонард Д'Андреа из Хоумстед Парк, Пенсильвания подали заявку на патент, и в 1959 году им был предоставлен патент США № 2883195 на гексагексафлексагон под названием «Сменные развлекательные устройства и тому подобное».

В их патенте предполагалось возможное применение устройства «в качестве игрушки, устройства отображения рекламы или учебного геометрического устройства».[6] Несколько таких новинок было выпущено Типография Herbick & Held, полиграфическая компания в г. Питтсбург где работал Роджерс, но устройство, продаваемое как «Hexmo», не прижилось.

Разновидности

Тетрафлексагоны

Схема складывания тритетрафлексагона
Тритетрафлексагон можно сложить из полосы бумаги, как показано на рисунке.

Тритетрафлексагон - это простейший тетрафлексагон (флексагон с квадрат стороны). «Три» в названии означает, что у него три грани, две из которых видны в любой момент времени, если флексагон прижат ровно. Конструкция тритетрафлексагона аналогична механизму, используемому в традиционных Лестница Якоба детская игрушка, в Магия Рубика и в волшебный кошелек трюк или Химбер бумажник.

Стороны тритетрафлексагона
У этой фигуры видны две грани, построенные из квадратов, отмеченных значком Апесок Bс. Лицо Cs скрыт внутри флексагона.

Более сложный циклический гексатетрафлексагон не требует склеивания. Циклический гексатетрафлексагон не имеет «тупиков», но человек, который его делает, может складывать его до тех пор, пока не достигнет исходного положения. Если стороны окрашиваются в процессе, состояния можно увидеть более четко.

Гексафлексагоны

Гексафлексагоны бывают самых разнообразных, различающихся количеством граней, которые можно получить, сгибая собранную фигуру. (Обратите внимание, что слово гексафлексагоны (без префиксов) иногда может относиться к обычному гексагексафлексагону с шестью сторонами вместо других чисел.)

Тригексафлексагон

Этот шаблон trihexaflexagon показывает 3 цвета из 9 треугольников, напечатанных на одной стороне и сложенных для раскрашивания с обеих сторон. Два желтых треугольника на концах будут скотчем. Красные и синие дуги выглядят как полные круги на внутренней стороне одной или другой стороны в сложенном виде.

Гексафлексагон с тремя гранями - самый простой из шестиугольников в изготовлении и управлении, он состоит из единой полосы бумаги, разделенной на девять равносторонних треугольников. (Некоторые выкройки содержат десять треугольников, два из которых склеиваются при окончательной сборке.)

Для сборки полоса загибается каждый третий треугольник, соединяясь обратно сама с собой после трех переворотов в манере международного символ утилизации. Это делает Лента Мебиуса единственный край которого образует трилистник.

Гексагексафлексагон

У этого шестиугольника шесть граней. Он состоит из девятнадцати треугольников, сложенных из полоски бумаги.

Полоска бумаги, разделенная на треугольники, которые можно сложить в шестиугольник.

На фотографиях 1-6 ниже показана конструкция шестиугольника, сделанного из картонных треугольников, на основе из полоски ткани. Он был оформлен в шести цветах; оранжевый, синий и красный на рисунке 1 соответствуют 1, 2 и 3 на диаграмме выше. Противоположная сторона, цифра 2, украшена пурпурным, серым и желтым цветами. Обратите внимание на разные узоры, используемые для цветов с двух сторон. На рис. 3 показан первый сгиб, а на рис. 4 - результат первых девяти сгибов, которые образуют спираль. На рисунках 5-6 показано окончательное загибание спирали в шестиугольник; на 5 две красные грани были скрыты складкой долины, а на 6 две красные грани на нижней стороне были скрыты горной складкой. После рисунка 6 последний свободный треугольник загибается и прикрепляется к другому концу исходной полосы так, чтобы одна сторона была синей, а другая - оранжевой.

Серия фотографий, демонстрирующих построение и «изгиб» шестиугольника.

На фотографиях 7 и 8 показан процесс выворачивания шестиугольника, чтобы показать ранее скрытые красные треугольники. Дальнейшими манипуляциями можно выставить все шесть цветов. Лица 1, 2 и 3 найти легче, а лица 4, 5 и 6 найти труднее. Простой способ показать все шесть граней - использовать траверс Такермана. Он назван в честь Брайанта Такермана, одного из первых исследователей свойств гексафлексагонов. Траверс Такермана включает в себя повторяющееся изгибание, зажимая один угол и каждый раз изгибаясь точно в одном и том же углу. Если угол не открывается, перейдите в соседний угол и продолжайте сгибать. Эта процедура подводит вас к циклу из 12 лиц. Однако во время этой процедуры 1, 2 и 3 появляются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6. Цикл протекает следующим образом:

1-3-6-1-3-2-4-3-2-1-5-2

А потом снова вернемся к 1.

Каждый цвет / лицо также можно экспонировать более чем одним способом. На рисунке 6, например, каждый синий треугольник имеет в центре его угол, украшенный клином, но также возможно, например, сделать так, чтобы треугольники, украшенные Y, приходили в центр. Существует 18 таких возможных конфигураций треугольников разного цвета, и их можно увидеть, согнув гексагексафлексагон всеми возможными способами в теории, но только 15 могут быть согнуты обычным гексагексафлексагоном. 3 дополнительные конфигурации невозможны из-за расположения плиток 4, 5 и 6 на задней крышке. (Углы в 60 градусов в ромбах, образованных соседними 4, 5 или 6 плитками, появятся только по бокам и никогда не появятся в центре, потому что потребуется разрезать полоску, что топологически запрещено.)

Гексагексафлексагоны можно построить из сеток различной формы из восемнадцати равносторонних треугольников. Один гексагексафлексагон, состоящий из неровной бумажной полосы, почти идентичен показанному выше, за исключением того, что все 18 конфигураций могут быть изогнуты в этой версии.

Другие гексафлексагоны

В то время как наиболее часто встречающиеся гексафлексагоны имеют три или шесть граней, существуют вариации с любым количеством граней. Прямые полосы образуют гексафлексагоны с числом граней, кратным трем. Другие числа получены из непрямых полос, которые представляют собой просто прямые полосы с некоторыми загнутыми стыками, исключая некоторые грани. Многие полосы можно складывать по-разному, получая разные гексафлексагоны с разными картами складывания.

Флексагоны высшего порядка

Правый восьмиугольник и правый додекафлексагон

В этих недавно обнаруженных флексагонах каждая квадратная или равносторонняя треугольная грань обычного флексагона дополнительно разделена на два прямоугольных треугольника, что обеспечивает дополнительные режимы изгиба.[7] Разделение квадратных граней тетрафлексагонов на прямоугольные равнобедренные треугольники дает октафлексагоны,[8] а разделение треугольных граней шестиугольников на 30-60-90 прямоугольных треугольников дает додекафлексагоны.[9]

Пентафлексагон и правый декафлексагон

В плоском состоянии пентафлексагон очень похож на Chrysler логотип: обычный пятиугольник разделены из центра на пять равнобедренные треугольники, с углами 72-54-54. Из-за своей пятисторонней симметрии пятиугольник нельзя сложить пополам. Однако сложная серия изгибов приводит к его преобразованию от отображения первой и второй сторон спереди и сзади к отображению его ранее скрытых сторон третьей и четвертой.[10]

Дальнейшее деление 72-54-54 треугольников пятиугольника на 36-54-90 прямоугольных треугольников дает один вариант 10-стороннего декафлексагона.[11]

Обобщенный равнобедренный n-флексагон

Пентафлексагон - один из бесконечной последовательности флексагонов, основанный на делении правильного п-угольник в п равнобедренные треугольники. Другие флексагоны включают гептафлексагон,[12] равнобедренный октафлексагон,[13] эннеафлексагон,[14] и другие.

Непланарный пятиугольник и неплоский гептафлексагон

Гарольд В. Макинтош также описывает «неплоские» флексагоны (т. Е. Те, которые нельзя согнуть, поэтому они лежат плоско); сложенные из пятиугольники называется пентафлексагоны,[15] и из семиугольники называется гептафлексагоны.[16] Их следует отличать от «обычных» пентафлексагонов и гептафлексагонов, описанных выше, которые состоят из равнобедренные треугольники, И они может лежать плашмя.

В популярной культуре

Флексагоны также являются популярной книжной структурой, используемой книга художника создатели, такие как Джули Чен (Жизненный цикл) и Эдвард Х. Хатчинс (Альбом и Voces de México). Инструкции по изготовлению тетра-тетрафлексагонов и кросс-флексагонов включены в Изготовление книг ручной работы: более 100 переплетов, структур и форм пользователя Alisa Golden.[17]

Гексафлексагон высокого порядка использовался как элемент графика в Пирс Энтони роман 0X, в котором изгиб был аналогичен путешествию между альтернативными вселенными.[18]

YouTube Пользователь Ви Харт сняли видеоролики о гексафлексагонах и, вероятно, сделали их более популярными.[19]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Oakley, C.O .; Виснер, Р. Дж. (Март 1957 г.). «Флексагоны». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 64 (3): 143–154. Дои:10.2307/2310544. JSTOR  2310544.
  2. ^ Андерсон, Томас; Маклин, Т. Брюс; Паджухеш, Хомейра; Смит, Чейзен (январь 2010 г.). «Комбинаторика всех правильных флексагонов». Европейский журнал комбинаторики. 31 (1): 72–80. Дои:10.1016 / j.ejc.2009.01.005.
  3. ^ а б Гарднер, Мартин (декабрь 1956 г.). «Флексагоны». Scientific American. Vol. 195 нет. 6. С. 162–168. Дои:10.1038 / Scientificamerican1256-162. OCLC  4657622161.
  4. ^ Гарднер, Мартин (1988). Гексафлексагоны и другие математические отклонения: первая книга головоломок и игр от Scientific American. Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-28254-6.
  5. ^ Малкахи, Колм (21 октября 2014 г.). "10 лучших статей Мартина Гарднера в Scientific American". Scientific American.
  6. ^ Роджерс, Рассел Э .; Андреа, Леонард Д. Л. (21 апреля 1959 г.). «Сменные развлекательные устройства и т.п.» (PDF). Freepatentsonline.com. Патент США 2883195. Получено 13 января, 2011.
  7. ^ Шварц, Энн (2005). "Flexagon Discovery: 12-угольник, меняющий форму". Eighthsquare.com. Получено 26 октября, 2012.
  8. ^ Шерман, Скотт (2007). «Октафлексагон». Loki3.com. Получено 26 октября, 2012.
  9. ^ Шерман, Скотт (2007). «Додекафлексагон». Loki3.com. Получено 26 октября, 2012.
  10. ^ Шерман, Скотт (2007). «Пентафлексагон». Loki3.com. Получено 26 октября, 2012.
  11. ^ Шерман, Скотт (2007). «Декафлексагон». Loki3.com. Получено 26 октября, 2012.
  12. ^ Шерман, Скотт (2007). «Гептафлексагон». Loki3.com. Получено 26 октября, 2012.
  13. ^ Шерман, Скотт (2007). "Октафлексагон: Равнобедренный октафлексагон". Loki3.com. Получено 26 октября, 2012.
  14. ^ Шерман, Скотт (2007). "Эннеафлексагон: Равнобедренный Эннеафлексагон". Loki3.com. Получено 26 октября, 2012.
  15. ^ Макинтош, Гарольд В. (24 августа 2000 г.). «Пятиугольные флексагоны». Cinvestav.mx. Автономный университет Пуэблы. Получено 26 октября, 2012.
  16. ^ Макинтош, Гарольд В. (11 марта 2000 г.). «Шестиугольные флексагоны». Cinvestav.mx. Автономный университет Пуэблы. Получено 26 октября, 2012.
  17. ^ Золотой, Алиса Дж. (2011). Изготовление книг ручной работы: более 100 переплетов, структур и форм. Ремесла Жаворонка. стр.130, 132–133. ISBN  978-1-60059-587-5.
  18. ^ Коллингс, Майкл Р. (1984). Пирс Энтони. Руководство для читателей Стармонта №20. Borgo Press. С. 47–48. ISBN  0-89370-058-4.
  19. ^ Лэмб, Эвелин. "Flexagon, но не забытый: празднование дня рождения Мартина Гарднера". Сеть блогов Scientific American. Получено 12 мая, 2020.

Библиография

  • Митчелл, Дэвид (2000). Магия флексагонов - бумажные диковинки, которые можно вырезать и сделать. Тарквин. ISBN  1-899618-28-7.
  • Пок, Лес (2009). Серьезное развлечение с Flexagons, компендиумом и руководством. Springer. ISBN  978-90-481-2502-9.
  • Пок, Лес (2006). Флексагоны наизнанку. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-81970-9.
  • Мартин Гарднер написал отличное введение в гексафлексагоны в декабре 1956 г. Математические игры столбец в Scientific American. Он также появляется в:

внешняя ссылка

Флексагоны:

Тетрафлексагоны:

Гексафлексагоны: