Аксиомы Хузиты – Хатори - Huzita–Hatori axioms

В Аксиомы Хузиты – Джастина или же Аксиомы Хузиты – Хатори представляют собой набор правил, связанных с математические принципы складывания бумаги с описанием операций, которые можно производить при складывании листа бумаги. В аксиомы Предположим, что операции выполняются на плоскости (т.е. на идеальном листе бумаги) и что все складки линейны. Это не минимальный набор аксиом, а скорее полный набор возможных одиночных складок.

Первые семь аксиом были впервые открыты французским папкой и математиком. Жак Жюстен в 1986 г.^[1] Аксиомы с 1 по 6 были заново открыты Японский -Итальянский математик Хумиаки Хузита и сообщили на Первая международная конференция по оригами в образовании и терапии в 1991 году. Аксиомы 1–5 были заново открыты Окли и Кливлендом в 1995 году. Аксиома 7 была заново открыта Коширо Хатори в 2001 году; Роберт Дж. Лэнг также нашел аксиому 7.

Семь аксиом

Первые 6 аксиом известны как аксиомы Хузиты. Аксиому 7 открыл Коширо Хатори. Жак Жюстен и Роберт Дж. Лэнг также нашел аксиому 7. Аксиомы следующие:

1. Учитывая две разные точки п₁ и п₂, через них обоих проходит уникальная складка.
2. Учитывая две разные точки п₁ и п₂, есть уникальная складка, которая помещает п₁ на п₂.
3. Учитывая две строки л₁ и л₂, есть складка, которая помещает л₁ на л₂.
4. Учитывая точку п₁ и линия л₁существует уникальная складка, перпендикулярная л₁ что проходит через точку п₁.
5. Учитывая два очка п₁ и п₂ и линия л₁, есть складка, которая помещает п₁ на л₁ и проходит через п₂.
6. Учитывая два очка п₁ и п₂ и две строки л₁ и л₂, есть складка, которая помещает п₁ на л₁ и п₂ на л₂.
7. Учитывая один балл п и две строки л₁ и л₂, есть складка, которая помещает п на л₁ и перпендикулярно л₂.

Аксиома 5 может иметь 0, 1 или 2 решения, а аксиома 6 может иметь 0, 1, 2 или 3 решения. Таким образом, получаемая в результате геометрия оригами сильнее, чем геометрия компас и линейка, где максимальное количество решений аксиомы равно 2. Таким образом, геометрия компаса и линейки решает уравнения второй степени, а геометрия оригами, или оригами, может решать уравнения третьей степени и решать такие задачи, как трисекция угла и удвоение куба. Конструкция сгиба, гарантированная Аксиомой 6, требует "скольжения" бумаги или Neusis, что недопустимо в классических конструкциях циркуля и линейки. Использование neusis вместе с циркулем и линейкой позволяет сделать трисекцию произвольного угла.

Подробности

Аксиома 1

Учитывая два очка п₁ и п₂, через них обоих проходит уникальная складка.

В параметрической форме уравнение для линии, проходящей через две точки, имеет следующий вид:

${ Displaystyle F (s) = p_ {1} + s (p_ {2} -p_ {1}).}$

Аксиома 2

Учитывая два очка п₁ и п₂, есть уникальная складка, которая помещает п₁ на п₂.

Это эквивалентно нахождению серединного перпендикуляра отрезка прямой п₁п₂. Это можно сделать в четыре этапа:

• Использовать Аксиома 1 найти линию через п₁ и п₂, данный ${ Displaystyle P (s) = p_ {1} + s (p_ {2} -p_ {1})}$
• Найди середина из п_{середина} из п(s)
• Найдите вектор v^{преступник} перпендикулярно п(s)
• В параметрическое уравнение складки тогда:

${ displaystyle F (s) = p _ { mathrm {mid}} + s cdot mathbf {v} ^ { mathrm {perp}}.}$

Аксиома 3

Учитывая две строки л₁ и л₂, есть складка, которая помещает л₁ на л₂.

Это эквивалентно нахождению биссектрисы угла между л₁ и л₂. Позволять п₁ и п₂ быть любыми двумя точками на л₁, и разреши q₁ и q₂ быть любыми двумя точками на л₂. Кроме того, пусть ты и v быть единичными векторами направления л₁ и л₂, соответственно; то есть:

${ displaystyle mathbf {u} = (p_ {2} -p_ {1}) / left | (p_ {2} -p_ {1}) right |}$

${ displaystyle mathbf {v} = (q_ {2} -q_ {1}) / left | (q_ {2} -q_ {1}) right |.}$

Если две прямые не параллельны, их точка пересечения:

${ displaystyle p _ { mathrm {int}} = p_ {1} + s _ { mathrm {int}} cdot mathbf {u}}$

куда

${ displaystyle s_ {int} = - { frac { mathbf {v} ^ { perp} cdot (p_ {1} -q_ {1})} { mathbf {v} ^ { perp} cdot mathbf {u}}}.}$

Тогда направление одной из биссектрис будет:

${ displaystyle mathbf {w} = { frac { left | mathbf {u} right | mathbf {v} + left | mathbf {v} right | mathbf {u}} { left | mathbf {u} right | + left | mathbf {v} right |}}.}$

А параметрическое уравнение складки:

${ Displaystyle F (s) = p _ { mathrm {int}} + s cdot mathbf {w}.}$

Также существует вторая биссектриса, перпендикулярная первой и проходящая через п_int. Складывание по этой второй биссектрисе также приведет к желаемому результату размещения л₁ на л₂. Выполнение той или иной из этих складок может оказаться невозможным в зависимости от расположения точки пересечения.

Если две прямые параллельны, у них нет точки пересечения. Сгиб должен быть посередине между л₁ и л₂ и параллельно им.

Аксиома 4

Учитывая точку п₁ и линия л₁существует уникальная складка, перпендикулярная л₁ что проходит через точку п₁.

Это эквивалентно нахождению перпендикуляра к л₁ что проходит через п₁. Если мы найдем какой-нибудь вектор v что перпендикулярно линии л₁, то параметрическое уравнение складки:

${ Displaystyle F (s) = p_ {1} + s cdot mathbf {v}.}$

Аксиома 5

Учитывая два очка п₁ и п₂ и линия л₁, есть складка, которая помещает п₁ на л₁ и проходит через п₂.

Эта аксиома эквивалентна нахождению точки пересечения прямой с окружностью, поэтому у нее может быть 0, 1 или 2 решения. Линия определяется л₁, а центр круга находится в п₂, а радиус равен расстоянию от п₂ к п₁. Если линия не пересекает круг, решений нет. Если прямая касается круга, есть одно решение, а если прямая пересекает круг в двух местах, есть два решения.

Если мы знаем две точки на линии, (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂), то линию можно параметрически выразить как:

${ displaystyle x = x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1})}$

${ displaystyle y = y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1}).}$

Пусть окружность определяется ее центром в точке п₂=(Икс_c, у_c), с радиусом ${ displaystyle r = left | p_ {1} -p_ {2} right |}$. Тогда круг можно выразить как:

${ displaystyle (x-x_ {c}) ^ {2} + (y-y_ {c}) ^ {2} = r ^ {2}.}$

Для определения точек пересечения прямой с окружностью подставляем Икс и у компоненты уравнения для прямой в уравнение для круга, что дает:

${ displaystyle (x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1}) - x_ {c}) ^ {2} + (y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1}) -y_ {c}) ^ {2} = r ^ {2}.}$

Или упрощенно:

${ displaystyle as ^ {2} + bs + c = 0}$

куда:

${ displaystyle a = (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}$

${ displaystyle b = 2 (x_ {2} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {c}) + 2 (y_ {2} -y_ {1}) (y_ {1} -y_ {c })}$

${ displaystyle c = x_ {c} ^ {2} + y_ {c} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} -2 (x_ {c} x_ {1 } + y_ {c} y_ {1}) - r ^ {2}.}$

Затем мы просто решаем квадратное уравнение:

${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Если дискриминант б² − 4ac <0, решений нет. Круг не пересекает линию и не касается ее. Если дискриминант равен 0, то существует единственное решение, в котором прямая касается окружности. И если дискриминант больше 0, есть два решения, представляющие две точки пересечения. Назовем решения d₁ и d₂, если они есть. У нас есть 0, 1 или 2 отрезка:

${ displaystyle m_ {1} = { overline {p_ {1} d_ {1}}}}$

${ displaystyle m_ {2} = { overline {p_ {1} d_ {2}}}.}$

Складка F₁(s) перпендикулярно м₁ через его середину будет размещен п₁ на линии в месте d₁. Аналогично складка F₂(s) перпендикулярно м₂ через его середину будет размещен п₁ на линии в месте d₂. Применение Axiom 2 легко справляется с этим. Таким образом, параметрические уравнения складок:

${ displaystyle { begin {align} F_ {1} (s) & = p_ {1} + { frac {1} {2}} (d_ {1} -p_ {1}) + s (d_ {1 } -p_ {1}) ^ { perp} [8pt] F_ {2} (s) & = p_ {1} + { frac {1} {2}} (d_ {2} -p_ {1 }) + s (d_ {2} -p_ {1}) ^ { perp}. end {align}}}$

Аксиома 6

Учитывая два очка п₁ и п₂ и две строки л₁ и л₂, есть складка, которая помещает п₁ на л₁ и п₂ на л₂.

Эта аксиома эквивалентна нахождению прямой, одновременно касательной к двум параболам, и может считаться эквивалентным решению уравнения третьей степени, так как обычно существует три решения. Две параболы фокусируются на п₁ и п₂соответственно с директрисами, определяемыми л₁ и л₂, соответственно.

Эта складка называется складкой Белоха после Маргарита П. Белох, который в 1936 году показал с его помощью, что оригами можно использовать для решения общих кубических уравнений.^[2]

Аксиома 7

Учитывая один балл п и две строки л₁ и л₂, есть складка, которая помещает п на л₁ и перпендикулярно л₂.

Эта аксиома была первоначально открыта Жаком Жюстином в 1989 году, но была упущена из виду и была вновь открыта Коширо Тори в 2002 году.^[3] Роберт Дж. Лэнг доказал, что этот список аксиом завершает аксиомы оригами.^[4]

Конструктивность

Подмножества аксиом можно использовать для построения различных наборов чисел. Первые три могут использоваться с тремя заданными точками не на линии, чтобы делать то, что Альперин называет талианскими конструкциями.^[5]

Первые четыре аксиомы с двумя заданными точками определяют систему слабее, чем конструкции компаса и линейки: каждая форма, которую можно сложить с помощью этих аксиом, может быть построена с помощью циркуля и линейки, но некоторые объекты могут быть созданы с помощью циркуля и линейки, которые не могут быть сложены с помощью этих аксиом.^[6] Числа, которые могут быть построены, называются числами оригами или пифагора, если расстояние между двумя заданными точками равно 1, то все конструируемые точки имеют форму ${ Displaystyle ( альфа, бета)}$ куда ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ - числа Пифагора. Числа Пифагора задаются наименьшим полем, содержащим рациональные числа и ${ displaystyle { sqrt {1+ alpha ^ {2}}}}$ в любое время ${ displaystyle alpha}$ такое число.

Добавление пятой аксиомы дает Евклидовы числа, то есть точки, которые можно построить компас и линейка.

Добавление Neusis аксиома 6, все конструкции циркуля-линейки и многое другое могут быть выполнены. В частности, конструктивный правильные многоугольники с этими аксиомами - это многоугольники с ${ displaystyle 2 ^ {a} 3 ^ {b} rho geq 3}$ стороны, где ${ displaystyle rho}$ является продуктом различных Простые числа Пьерпона. Конструкции циркуля-линейки допускают только те, у которых есть ${ displaystyle 2 ^ {a} phi geq 3}$ стороны, где ${ displaystyle phi}$ является продуктом различных Простые числа Ферма. (Простые числа Ферма - это подмножество простых чисел Пьерпона.)

Седьмая аксиома не позволяет строить дальнейшие аксиомы. Семь аксиом не представляют собой минимальный набор аксиом, а дают все возможные конструкции единого типа.

Восьмая аксиома

В 2017 году Лусеро утверждал, что существует восьмая аксиома, которую можно сформулировать так: вдоль заданной линии есть складка. л₁.^[7] Новая аксиома была найдена после перечисления всех возможных инцидентов между конструктивными точками и прямыми на плоскости.^[8] Хотя он не создает новую линию, он, тем не менее, необходим при фактическом сгибании бумаги, когда требуется сложить слой бумаги по линии, отмеченной на слое непосредственно под ним.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Геометрические конструкции оригами Томас Халл
• Математическая теория конструкций оригами и чисел Роджер С. Альперин
• Ланг, Роберт Дж. (2003). «Оригами и геометрические конструкции» (PDF). Роберт Дж. Лэнг. Получено 2007-04-12. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)