Кольцо Коэна – Маколея - Cohen–Macaulay ring - Wikipedia

В математика, а Кольцо Коэна – Маколея это коммутативное кольцо с некоторыми из алгебро-геометрический свойства гладкий сорт, например местные равноразмерность. При мягких предположениях местное кольцо является Коэном – Маколеем в точности тогда, когда он является конечно порожденным свободным модулем над регулярным локальным подкольцом. Кольца Коэна – Маколея играют центральную роль в коммутативная алгебра: они образуют очень широкий класс, и тем не менее их хорошо понимают во многих отношениях.

Они названы в честь Фрэнсис Соуэрби Маколей (1916 ), доказавший теорема о несмешанности для колец многочленов, и для Ирвин Коэн (1946 ), доказавший теорему о несмешиваемости для колец формальных степенных рядов. Все кольца Коэна – Маколея обладают свойством несмешанности.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсальные контактные кольца ⊃ Кольца Коэна – Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ полные кольца пересечения ⊃ регулярные местные кольца

Определение

Для коммутативный Нётерян местное кольцо р, то глубина из р (максимальная длина регулярная последовательность в максимальный идеал из р) не более Измерение Крулля из р. Кольцо р называется Коэн – Маколей если его глубина равна его размеру.

В более общем смысле коммутативное кольцо называется Коэн – Маколей если это Нётер и все его локализации в главные идеалы Коэн – Маколей. В геометрическом выражении a схема называется Коэна – Маколея, если это местно нётерский и его локальное кольцо в каждой точке - Коэна – Маколея.

Примеры

Нётеровы кольца следующих типов - кольца Коэна – Маколея.

Любой обычное местное кольцо. Это приводит к различным примерам колец Коэна – Маколея, таким как целые числа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ , или кольцо многочленов ${ Displaystyle К [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ через поле K, или кольцо серии power ${ Displaystyle К [[x_ {1}, ldots, x_ {n}]]}$ . В геометрическом выражении каждые обычная схема, например, гладкое многообразие над полем - это Коэн – Маколей.
Любое 0-мерное кольцо (или, что то же самое, любое Артинианское кольцо ).
Любой одномерный уменьшенное кольцо, например любые одномерные домен.
Любой 2-х мерный нормальное кольцо.
Любой Кольцо Горенштейна. В частности, любые полное кольцо пересечения.
В кольцо инвариантов ${ Displaystyle R ^ {G}}$ когда р является алгеброй Коэна – Маколея над полем характеристика ноль и грамм является конечной группой (или, в более общем смысле, линейная алгебраическая группа компонент идентичности редуктивный ). Это Теорема Хохстера – Робертса.
Любое детерминантное кольцо. То есть пусть р - фактор регулярного локального кольца S идеалом я генерируется р × р несовершеннолетние некоторых п × q матрица элементов S. Если коразмерность (или высота ) из я равна "ожидаемой" коразмерности (п−р+1)(q−р+1), р называется детерминантное кольцо. В таком случае, р - Коэн-Маколей.^[1] Аналогично координатные кольца детерминантные разновидности Коэн-Маколей.

Еще несколько примеров:

Кольцо K[Икс]/(Икс²) имеет размерность 0 и, следовательно, является размерностью Коэна – Маколея, но она не редуцирована и, следовательно, не является регулярной.
Подкольцо K[т², т³] кольца многочленов K[т], или его локализация, или завершение в т= 0, является 1-мерной областью, которая является горенштейновой и, следовательно, Коэна – Маколея, но не является регулярной. Это кольцо также можно описать как координатное кольцо куспидальный кубическая кривая у² = Икс³ над K.
Подкольцо K[т³, т⁴, т⁵] кольца многочленов K[т], либо его локализация или доработка на т= 0, является одномерной областью Коэна – Маколея, но не Горенштейна.

Рациональные особенности над полем нулевой характеристики - Коэна – Маколея. Торические разновидности над любым полем - Коэна – Маколея.^[2] В программа минимальной модели широко используются сорта с klt (Лог-терминал Каваматы) особенности; в нулевой характеристике это рациональные особенности, а значит, Коэна – Маколея,^[3] Одним из успешных аналогов рациональных особенностей в положительной характеристике является понятие F-рациональные особенности; опять же, такие особенности - Коэна – Маколея.^[4]

Позволять Икс быть проективное разнообразие измерения п ≥ 1 над полем, и пусть L быть обильная линейка на Икс. Тогда секционное кольцо L

{ displaystyle R = bigoplus _ {j geq 0} H ^ {0} (X, L ^ {j})}

Коэна – Маколея тогда и только тогда, когда когомология группа ЧАС^я(Икс, L^j) равен нулю для всех 1 ≤ я ≤ п−1 и все целые числа j.^[5] Отсюда следует, например, что аффинный конус Spec р над абелева разновидность Икс Коэн – Маколей, когда Икс имеет размерность 1, но не когда Икс имеет размерность не менее 2 (потому что ЧАС¹(Икс, О) не равно нулю). Смотрите также Обобщенное кольцо Коэна – Маколея.

Схемы Коэна-Маколея

Мы говорим, что местный нётер схема ${ displaystyle X}$ является Коэном – Маколеем, если в каждой точке ${ displaystyle x in X}$ местное кольцо ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ Коэн-Маколей.

Кривые Коэна-Маколея

Кривые Коэна-Маколея являются частным случаем схем Коэна-Маколея, но полезны для компактификации пространств модулей кривых^[6] где граница гладкого геометрического пятна ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ является кривых Коэна-Маколея. Есть полезный критерий для определения того, являются ли кривые Коэна-Маколея. Схемы измерения ${ displaystyle leq 1}$ являются Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда они не имеют вложенных простых чисел.^[7] Сингулярности, присутствующие в кривых Коэна-Маколея, можно полностью классифицировать, рассматривая случай плоской кривой.^[8]

Не примеры

Используя этот критерий, есть простые примеры кривых, отличных от Коэна-Маколея, из построения кривых с вложенными точками. Например, схема

${ displaystyle X = { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2}, xy)}} right)}$

имеет разложение на простые идеалы ${ Displaystyle (х) cdot (х, у)}$ . Геометрически это ${ displaystyle y}$ -ось со встроенной точкой в начале координат, которую можно рассматривать как жирная точка. Дана гладкая проективная плоская кривая ${ Displaystyle C подмножество mathbb {P} ^ {2}}$ , кривую с вложенной точкой можно построить тем же способом: найти идеальную ${ displaystyle I_ {x}}$ точки в ${ displaystyle x in C}$ и умножить на идеал ${ displaystyle I_ {C}}$ из ${ displaystyle C}$ . потом

${ displaystyle X = { text {Proj}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y, z]} {I_ {C} cdot I_ {x}}} right)}$

кривая с вложенной точкой в ${ displaystyle x}$ .

Теория пересечения

Схемы Коэна-Маколея имеют особое отношение к теория пересечений. Именно пусть Икс быть гладким разнообразием^[9] и V, W замкнутые подсхемы чистой размерности. Позволять Z быть правильный компонент теоретико-схемного пересечения ${ displaystyle V times _ {X} W}$ , то есть неприводимая компонента ожидаемой размерности. Если местное кольцо А из ${ displaystyle V times _ {X} W}$ на общая точка из Z Коэн-Маколей, то кратность пересечения из V и W вдоль Z дается как длина А:^[10]

{ Displaystyle я (Z, В cdot W, X) = OperatorName {длина} (А)}

.

В общем, эта кратность дается как длина, по существу, характеризует кольцо Коэна – Маколея; видеть #Характеристики. Кратность - один критерий, с другой стороны, грубо характеризует регулярное локальное кольцо как локальное кольцо кратности один.

Пример

В качестве простого примера, если мы возьмем пересечение парабола с касательной к нему прямой, локальное кольцо в точке пересечения изоморфно

{ displaystyle { frac { mathbb {C} [x, y]} {(yx ^ {2})}} otimes _ { mathbb {C} [x, y]} { frac { mathbb { C} [x, y]} {(y)}} cong { frac { mathbb {C} [x]} {(x ^ {2})}}}

что является Коэном – Маколеем длины два, следовательно, кратность пересечения равна двум, как и ожидалось.

Чудо-плоскостность или критерий Хиронаки

Существует замечательная характеристика колец Коэна – Маколея, которую иногда называют чудо-плоскостность или же Критерий Хиронаки. Позволять р быть локальным кольцом, которое конечно порожденный как модуль над некоторым регулярным локальным кольцом А содержалась в р. Такое подкольцо существует для любой локализации р в главный идеал из конечно порожденная алгебра над полем, Лемма Нётер о нормализации; он также существует, когда р заполнено и содержит поле, или когда р это полный домен.^[11] потом р Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда это плоский как А-модуль; это также эквивалентно сказать, что р является свободный как А-модуль.^[12]

Геометрическая формулировка выглядит следующим образом. Позволять Икс быть связаны аффинная схема из конечный тип над полем K (например, аффинное разнообразие ). Позволять п быть размером Икс. По нормировке Нётер существует конечный морфизм ж из Икс аффинное пространство А^п над K. потом Икс является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда все слои ж иметь такую же степень.^[13] Поразительно, что это свойство не зависит от выбора ж.

Наконец, есть версия Miracle Flatness для градуированных колец. Позволять р быть конечно порожденным коммутативным градуированная алгебра над полем K,

{ displaystyle R = K oplus R_ {1} oplus R_ {2} oplus cdots.}

Всегда существует градуированное полиномиальное подкольцо А ⊂ р (с генераторами в разной степени) такие, что р конечно порожден как А-модуль. потом р является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда р бесплатно как оцененный А-модуль. Опять же, отсюда следует, что эта свобода не зависит от выбора полиномиального подкольца А.

Характеристики

Локальное нётерское кольцо называется Коэном-Маколеем тогда и только тогда, когда его пополнение - Коэн-Маколей.^[14]
Если р кольцо Коэна – Маколея, то кольцо многочленов р[Икс] и кольцо степенного ряда р[[Икс]] - это Коэн – Маколей.^[15]^[16]
Для неделитель нуля ты в максимальном идеале нётерова локального кольца р, р является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда р/(ты) - это Коэн – Маколей.^[17]
Фактор кольца Коэна – Маколея по любому идеальный является универсальная цепочка.^[18]
Если р является фактором кольца Коэна – Маколея, то геометрическое место { п ∈ Spec р | р_п is Cohen – Macaulay} - открытое подмножество Spec р.^[19]
Позволять (р, м, k) - нётерово локальное кольцо коразмерности вложения c, означающий, что c = тусклый_k(м/м²) - тусклый (р). С геометрической точки зрения это верно для локального кольца подсхемы коразмерности c по штатной схеме. За c=1, р Коэна – Маколея тогда и только тогда, когда это кольцо гиперповерхности. Существует также структурная теорема для колец Коэна – Маколея коразмерности 2: Теорема Гильберта – Берча: все они детерминантные кольца, определяемые р × р несовершеннолетние (р+1) × р матрица для некоторых р.
Для нётерского местного кольца (р, м) следующие эквивалентны:^[20]
1. р Коэн-Маколей.
2. Для каждого идеальный параметр Q (идеал, порожденный система параметров ),
  ${ Displaystyle OperatorName {длина} (R / Q) = е (Q)}$ : = Кратность Гильберта – Самуэля из Q.
3. По какому-то параметру идеальный Q, ${ Displaystyle OperatorName {длина} (R / Q) = е (Q)}$ .

(Видеть Обобщенное кольцо Коэна – Маколея а также Кольцо Buchsbaum для колец, обобщающих эту характеристику.)

Теорема о несмешанности

Идеальный я нётерского кольца А называется несмешанный в высоту, если высота я равна высоте каждого связанный премьер п из А/я. (Это сильнее, чем сказать, что А/я является равноразмерный; Смотри ниже.)

В теорема о несмешанности Говорят, держится за кольцо А если каждый идеал я генерируется количеством элементов, равным его высоте, не смешивается. Нётерово кольцо называется Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда для него выполняется теорема о несмешанности.^[21]

Теорема о несмешивании применяется, в частности, к нулевому идеалу (идеалу, порожденному нулевыми элементами), и, таким образом, она утверждает, что кольцо Коэна – Маколея является равноразмерное кольцо; фактически, в строгом смысле: нет встроенного компонента, и каждый компонент имеет одинаковую коразмерность.

Смотрите также: квази-несмешанное кольцо (кольцо, в котором теорема о несмешивании верна для интегральное замыкание идеала ).

Контрпримеры

Если K поле, то кольцо р = K[Икс,у]/(Икс²,ху) (координатное кольцо прямой с вложенной точкой) не является Коэном – Маколеем. Это следует, например, Чудо-плоскостность: р конечно над кольцом многочленов А = K[у] со степенью 1 по точкам аффинной прямой Spec А с у ≠ 0, но со степенью 2 над точкой у = 0 (поскольку K-векторное пространство K[Икс]/(Икс²) имеет размерность 2).
Если K поле, то кольцо K[Икс,у,z]/(ху,xz) (координатное кольцо объединения прямой и плоскости) редуцировано, но не равноразмерно, и, следовательно, не Коэна – Маколея. Факторизация по неделителю нуля Икс−z дает предыдущий пример.
Если K поле, то кольцо р = K[ш,Икс,у,z]/(wy,wz,ху,xz) (координатное кольцо объединения двух пересекающихся в точку плоскостей) редуцировано и равноразмерно, но не Коэна – Маколея. Чтобы доказать это, можно использовать Hartshorne с теорема связности: если р является локальным кольцом Коэна – Маколея размерности не меньше 2, то Spec р минус подключен его закрытая точка.^[22]

В Segre продукт из двух Кольца Коэна-Маколея не обязательно быть Коэном-Маколеем.^{[нужна цитата ]}

Двойственность Гротендика

Одно значение условия Коэна – Маколея можно увидеть в когерентная двойственность теория. Разновидность или схема Икс есть Коэн – Маколея, если «дуализирующий комплекс», который априори лежит в производная категория из снопы на Икс, представлена одним пучком. Более сильное свойство бытия Горенштейн означает, что этот пучок является линейный пакет. В частности, каждый обычный Схема Горенштейна. Таким образом, утверждения теорем двойственности, такие как Двойственность Серра или же Локальная двойственность Гротендика для схем Горенштейна или Коэна – Маколея сохраняют некоторую простоту того, что происходит для регулярных схем или гладких многообразий.

Примечания

^ Эйзенбуд (1995), теорема 18.18.
^ Фултон (1993), стр. 89.
^ Коллар и Мори (1998), теоремы 5.20 и 5.22.
^ Schwede & Tucker (2012), Приложение C.1.
^ Коллар (2013), (3.4).
^ Хонсен, Мортен. "Компактификация локально проективных кривых Коэна-Маколея" (PDF). В архиве (PDF) из оригинала на 5 марта 2020 г.
^ «Лемма 31.4.4 (0BXG) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-03-05.
^ Виганд, Роджер (декабрь 1991). «Кривые особенности конечного типа Коэна-Маколея». Arkiv för Matematik. 29 (1–2): 339–357. Дои:10.1007 / BF02384346. ISSN 0004-2080.
^ гладкость здесь как-то посторонняя и используется отчасти для понимания правильного компонента.
^ Фултон 1998, Предложение 8.2. (б)
^ Брунс и Герцог, теорема A.22.
^ Эйзенбуд (1995), следствие 18.17.
^ Эйзенбуд (1995), упражнение 18.17.
^ Мацумура (1989), теорема 17.5.
^ Мацумура (1989), теорема 17.7.
^ Мацумура (1989), теорема 23.5 .; NB: хотя ссылка на то, считается ли кольцо локальным или нет, нечеткая, для доказательства не требуется, чтобы кольцо было локальным.
^ Мацумура (1989), теорема 17.3. (Ii).
^ Мацумура (1989), теорема 17.9.
^ Мацумура (1989), упражнение 24.2.
^ Мацумура (1989), теорема 17.11.
^ Мацумура (1989), теорема 17.6.
^ Эйзенбуд (1995), теорема 18.12.

внешняя ссылка

[1] Эйзенбуд (1995), теорема 18.18.

[2] Фултон (1993), стр. 89.

[3] Коллар и Мори (1998), теоремы 5.20 и 5.22.

[4] Schwede & Tucker (2012), Приложение C.1.

[5] Коллар (2013), (3.4).

[6] Хонсен, Мортен. "Компактификация локально проективных кривых Коэна-Маколея" (PDF). В архиве (PDF) из оригинала на 5 марта 2020 г.

[7] «Лемма 31.4.4 (0BXG) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-03-05.

[8] Виганд, Роджер (декабрь 1991). «Кривые особенности конечного типа Коэна-Маколея». Arkiv för Matematik. 29 (1–2): 339–357. Дои:10.1007 / BF02384346. ISSN 0004-2080.

[9] гладкость здесь как-то посторонняя и используется отчасти для понимания правильного компонента.

[10] Фултон 1998, Предложение 8.2. (б)

[11] Брунс и Герцог, теорема A.22.

[12] Эйзенбуд (1995), следствие 18.17.

[13] Эйзенбуд (1995), упражнение 18.17.

[14] Мацумура (1989), теорема 17.5.

[15] Мацумура (1989), теорема 17.7.

[16] Мацумура (1989), теорема 23.5 .; NB: хотя ссылка на то, считается ли кольцо локальным или нет, нечеткая, для доказательства не требуется, чтобы кольцо было локальным.

[17] Мацумура (1989), теорема 17.3. (Ii).

[18] Мацумура (1989), теорема 17.9.

[19] Мацумура (1989), упражнение 24.2.

[20] Мацумура (1989), теорема 17.11.

[21] Мацумура (1989), теорема 17.6.

[22] Эйзенбуд (1995), теорема 18.12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]