Полное кольцо пересечения - Complete intersection ring

В коммутативная алгебра, а полное кольцо пересечения это коммутативное кольцо подобны координатным кольцам многообразий, полные пересечения. Неформально их можно рассматривать примерно как местные кольца который можно определить с помощью «минимально возможного» количества отношений.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсальные контактные кольца ⊃ Кольца Коэна – Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ полные кольца пересечения ⊃ регулярные местные кольца

Определение

Локальное полное кольцо пересечений - это Нётерян местное кольцо чей завершение является частным от обычное местное кольцо идеалом, порожденным регулярная последовательность. Пополнение - это небольшая техническая сложность, вызванная тем, что не все локальные кольца являются частными от обычных. Для колец, которые являются факторами регулярных локальных колец, покрывающих большинство локальных колец, встречающихся в алгебраической геометрии, нет необходимости делать дополнения в определении.

Существует альтернативное внутреннее определение, которое не зависит от вложения кольца в регулярное локальное кольцо. Если р является нётеровым локальным кольцом с максимальным идеалом м, то размерность м/м² называется размер встраивания Emb dim (р) из р. Определить градуированную алгебру ЧАС(р) как гомологии Кошульский комплекс относительно минимальной системы образующих м/м²; с точностью до изоморфизма это зависит только от р а не от выбора генераторов м. Размер ЧАС₁(р) обозначается ε₁ и называется первое отклонение из р; он исчезает тогда и только тогда, когда р регулярно. Нётерское локальное кольцо называется полное кольцо пересечения если его размер встраивания является суммой размера и первого отклонения:

emb dim (р) = тусклый (р) + ε₁(р).

Существует также рекурсивная характеристика локальных полных колец пересечений, которая может использоваться в качестве определения следующим образом. Предположим, что р является полным локальным нётеровым кольцом. Если р имеет размерность больше 0 и Икс является элементом максимального идеала, не являющимся делителем нуля, то р является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда р/(Икс) является. (Если максимальный идеал целиком состоит из делителей нуля, то р не является полным кольцом пересечений.) Если р имеет размерность 0, то Вибе (1969) показал, что оно является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда Подходит идеально его максимального идеала отлична от нуля.

Примеры

• Обычные местные кольца являются полными кольцами пересечений, но обратное неверно: кольцо ${ Displaystyle к [х] / (х ^ {2})}$ 0-мерное полное кольцо пересечений, которое не является регулярным.
• Локальные кольца полного пересечения - это Кольца Горенштейна, но обратное неверно: кольцо ${ Displaystyle к [x, y, z] / (x ^ {2}, y ^ {2}, xz, yz, z ^ {2} -xy)}$ 0-мерное кольцо Горенштейна, не являющееся полным кольцом пересечений.
• Пример локально полного кольца пересечений, которое не является полным кольцом пересечений, дается формулой ${ Displaystyle к [х, у] / (у-х ^ {2}, х ^ {3})}$который имеет длину 3, поскольку он изоморфен как ${ displaystyle k}$ векторное пространство в ${ Displaystyle к oplus k cdot x oplus k cdot x ^ {2}}$.^[1]

Рекомендации

• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна – Маколея, Кембриджские исследования по высшей математике, 39, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-41068-7, МИСТЕР  1251956
• Тейт, Джон (1957), «Гомологии нётеровых колец и локальных колец», Иллинойсский журнал математики, 1: 14–27, ISSN  0019-2082, МИСТЕР  0086072
• Вибе, Хартмут (1969), "Über homologische Invarianten lokaler Ringe", Mathematische Annalen, 179: 257–274, Дои:10.1007 / BF01350771, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  0255531