Единичный интервал - Unit interval

Единичный интервал как подмножество из реальная линия

В математика, то единичный интервал это закрытый интервал $[0,1]$ , это набор из всех действительные числа которые больше или равны 0 и меньше или равны 1. Часто обозначается $я$ (Заглавная буква я). В дополнение к его роли в реальный анализ, единичный интервал используется для изучения теория гомотопии в области топология.

В литературе термин «единичный интервал» иногда применяется к другим формам, которые может принимать интервал от 0 до 1: $(0,1]$ , $[0,1)$ , и $(0,1)$ . Однако обозначение $я$ чаще всего зарезервировано для закрытого интервала $[0,1]$ .

Свойства

Единичный интервал - это полное метрическое пространство, гомеоморфный к расширенная строка действительных чисел. Как топологическое пространство, это компактный, сжимаемый, путь подключен и локально путь подключен. В Куб Гильберта получается топологическим произведением счетного числа копий единичного интервала.

В математический анализ, единичным интервалом является одномерный аналитический многообразие граница которого состоит из двух точек 0 и 1. Его стандартная ориентация изменяется от 0 до 1.

Единичный интервал - это полностью заказанный набор и полная решетка (каждое подмножество единичного интервала имеет супремум и инфимум ).

Мощность

В размер или мощность набора - это количество содержащихся в нем элементов.

Единичный интервал - это подмножество из действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . Однако он имеет такой же размер, как и весь набор: мощность континуума. Поскольку действительные числа могут использоваться для обозначения точек вдоль бесконечно длинная линия, это означает, что a отрезок длины 1, который является частью этой линии, имеет такое же количество точек, что и вся линия. Более того, он имеет такое же количество точек, как квадрат площадь 1, как куб из объем 1, и даже как неограниченный п-размерный Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ (увидеть Кривая заполнения пространства ).

Количество элементов (действительных чисел или точек) во всех вышеупомянутых наборах равно бесчисленный, так как оно строго превышает количество натуральные числа.

Обобщения

Интервал [−1,1] длиной два, разделенный положительными и отрицательными единицами, встречается часто, например, в ассортимент из тригонометрические функции синус и косинус и гиперболическая функция танх. Этот интервал можно использовать для домен из обратные функции. Например, когда θ ограничено до [−π / 2, π / 2], тогда sin (θ) находится в этом интервале и арксинус определен там.

Иногда термин «единичный интервал» используется для обозначения объектов, которые играют роль в различных разделах математики, аналогичную роли, которую [0,1] играет в теории гомотопий. Например, в теории колчаны, единичным интервалом (аналогом) является граф, множество вершин которого равно {0,1} и который содержит единственное ребро е чей источник равен 0, а цель - 1. Затем можно определить понятие гомотопия между колчаном гомоморфизмы аналогично понятию гомотопии между непрерывный карты.

Нечеткая логика

В логика, единичный интервал [0,1] можно интерпретировать как обобщение Логический домен {0,1}, и в этом случае, вместо того, чтобы принимать только значения 0 или 1, можно принять любое значение между 0 и 1 включительно. Алгебраически отрицание (НЕ) заменяется на ${ displaystyle 1-x}$ ; соединение (И) заменяется умножением ( ${ displaystyle xy}$ ); и дизъюнкция (ИЛИ) определяется, согласно Законы де Моргана, так как ${ Displaystyle 1- (1-х) (1-у)}$ .

Интерпретируя эти значения как логические ценности истины дает многозначная логика, что составляет основу нечеткая логика и вероятностная логика. В этих интерпретациях ценность интерпретируется как «степень» истинности - насколько истинно предложение или вероятность того, что предложение истинно.

Смотрите также

Обозначение интервалов
Единица измерения квадрат, куб, круг, гипербола и сфера
Единичный импульс
Единичный вектор
Единичный угол

использованная литература

Роберт Дж. Бартл, 1964 год, Элементы реального анализа, Джон Уайли и сыновья.