Почти все - Almost all

В математика, период, термин "почти все"означает" почти все, кроме незначительной суммы ". Точнее, если это набор, "почти все элементы "означает" все элементы но те, кто в незначительный подмножество из ". Значение слова" незначительный "зависит от математического контекста; например, оно может означать конечный, счетный, или же ноль.[сек 1]

В отличие, "почти нет"означает" незначительное количество ", то есть" почти нет элементов «означает» незначительное количество элементов ".

Значения в разных областях математики

Преобладающее значение

Дальнейшая информация: Конечное множество

В математике термин «почти все» иногда используется для обозначения «все (элементы бесконечный набор ) но конечно много".[1][2][3] Это употребление встречается и в философии.[4] Точно так же «почти все» может означать «все (элементы бесчисленное множество ) но счетно много".[сек 2]

Примеры:

Значение в теории меры

Дальнейшая информация: Почти всюду
В Функция Кантора как функция, почти всюду имеющая нулевую производную

Говоря о реалы, иногда "почти все" может означать "все реальные, кроме нулевой набор ".[7][8][сек 3] Аналогично, если S это некоторый набор действительных чисел, "почти все числа в S"может означать" все числа в S но те, что в нулевом наборе ".[9] В реальная линия можно рассматривать как одномерный Евклидово пространство. В более общем случае п-мерное пространство (где п является положительным целым числом), эти определения могут быть обобщенный на «все точки, кроме тех, которые находятся в нулевом наборе»[сек 4] или "все точки в S но те, которые находятся в нулевом наборе "(на этот раз, S - множество точек в пространстве).[10] В более общем смысле «почти все» иногда используется в смысле «почти всюду " в теория меры,[11][12][сек 5] или в близком смысле слова "почти наверняка " в теория вероятности.[12][сек 6]

Примеры:

Значение в теории чисел

Дальнейшая информация: Асимптотически почти наверняка

В теория чисел, «почти все положительные целые числа» могут означать «положительные целые числа в наборе, естественная плотность равно 1 ". То есть, если А является набором натуральных чисел, и если пропорция натуральных чисел в А ниже п (из всех положительных целых чисел ниже п) как правило 1 как п стремится к бесконечности, то почти все положительные целые числа лежат в А.[17][18][сек 8]

В общем, пусть S быть бесконечным набором положительных целых чисел, например набором четных положительных чисел или набором простые числа, если А это подмножество S, а если доля элементов S ниже п которые находятся в А (из всех элементов S ниже п) стремится к 1 при п стремится к бесконечности, то можно сказать, что почти все элементы S находятся в А.

Примеры:

  • Естественная плотность кофинитные множества положительных целых чисел равно 1, поэтому каждое из них содержит почти все положительные целые числа.
  • Почти все положительные целые числа составной.[сек 8][доказательство 1]
  • Почти все четные положительные числа можно выразить как сумму двух простых чисел.[5]:489
  • Почти все простые числа изолированные. Более того, для любого натурального числа грамм, почти все простые числа имеют основные промежутки более чем грамм как слева, так и справа; то есть нет других простых чисел между п − грамм и п + грамм.[19]

Значение в теории графов

В теория графов, если А является набором (конечных маркированный ) графики, можно сказать, что он содержит почти все графы, если доля графов с п вершины, которые находятся в А стремится к 1 как п стремится к бесконечности.[20] Однако иногда легче работать с вероятностями,[21] поэтому определение переформулируется следующим образом. Доля графиков с п вершины, которые находятся в А равна вероятности того, что случайный граф с п вершины (выбираются равномерное распределение ) в А, и выбор графа таким образом имеет тот же результат, что и создание графа путем подбрасывания монеты для каждой пары вершин, чтобы решить, соединять ли их.[22] Поэтому, как и в предыдущем определении, множество А содержит почти все графы, если вероятность того, что граф, сформированный подбрасыванием монеты, с п вершины находятся в А стремится к 1 как п стремится к бесконечности.[21][23] Иногда последнее определение модифицируют так, что граф выбирается случайным образом в некоторых другой путь, где не все графики с п вершины имеют одинаковую вероятность,[22] и эти модифицированные определения не всегда эквивалентны основному.

Использование термина «почти все» в теории графов нестандартно; период, термин "асимптотически почти наверняка "чаще всего используется для этой концепции.[21]

Пример:

Значение в топологии

В топология[25] и особенно теория динамических систем[26][27][28] (включая приложения по экономике),[29] "почти все" топологическое пространство точки могут означать "все точки пространства, кроме тех, которые находятся в скудный набор ". Некоторые используют более ограниченное определение, когда подмножество содержит почти все точки пространства, только если оно содержит некоторые открыто плотный набор.[27][30][31]

Пример:

Значение в алгебре

В абстрактная алгебра и математическая логика, если U является ультрафильтр на съемочной площадке Икс, "почти все элементы Икс"иногда означает" элементы некоторых элемент из U".[32][33][34][35] Для любого раздел из Икс на два непересекающиеся множества, один из них обязательно будет содержать почти все элементы Икс. Можно подумать об элементах фильтр на Икс как содержащие почти все элементы Икс, даже если это не ультрафильтр.[35]

Доказательства

  1. ^ Согласно теорема о простых числах, количество простых чисел меньше или равно п асимптотически равно п/ ln (п). Следовательно, доля простых чисел примерно равна ln (п)/п, который стремится к 0 при п как правило бесконечность, поэтому доля составных чисел меньше или равна п стремится к 1 как п как правило бесконечность.[18]

Смотрите также

Рекомендации

Основные источники

  1. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (3 декабря 1996 г.). Целочисленные многочлены. Математические обзоры и монографии. 48. Американское математическое общество. п. xix. ISBN  978-0-8218-0388-2. ISSN  0076-5376.
  2. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (7 декабря 2010 г.) [Впервые опубликовано в 2000 г.]. «Глава 4: Что нового в целочисленных полиномах на подмножестве?». В Хазевинкель, Михиэль (ред.). Ненётерова теория коммутативных колец. Математика и ее приложения. 520. Springer. п. 85. Дои:10.1007/978-1-4757-3180-4. ISBN  978-1-4419-4835-9.
  3. ^ Халмос, Пол Р. (1962). Алгебраическая логика. Нью-Йорк: издательство Chelsea Publishing Company. п.114.
  4. ^ Гарденфорс, Питер (22 августа 2005 г.). Динамика мысли. Синтезированная библиотека. 300. Springer. С. 190–191. ISBN  978-1-4020-3398-8.
  5. ^ а б Курант, Ричард; Роббинс, Герберт; Стюарт, Ян (18 июля 1996 г.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Oxford University Press. ISBN  978-0-19-510519-3.
  6. ^ Мовшовиц-Хадар, Ница; Шрики, Атара (2018-10-08). Логика в стране чудес: введение в логику через чтение приключений Алисы в стране чудес - Руководство для учителя. World Scientific. п. 38. ISBN  978-981-320-864-3. Это также можно выразить следующим образом: «Почти все простые числа нечетные».
  7. ^ а б Кореваар, Иаков (1 января 1968 г.). Математические методы: линейная алгебра / нормированные пространства / распределения / интегрирование. 1. Нью-Йорк: Академическая пресса. С. 359–360. ISBN  978-1-4832-2813-6.
  8. ^ Натансон, Исидор П. (Июнь 1961 г.). Теория функций действительной переменной. 1. Перевод Борана, Лео Ф. (отредактированная ред.). Нью-Йорк: Издательство Frederick Ungar Publishing. п. 90. ISBN  978-0-8044-7020-9.
  9. ^ Сохраб, Хушанг Х. (15 ноября 2014 г.). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер. п. 307. Дои:10.1007/978-1-4939-1841-6. ISBN  978-1-4939-1841-6.
  10. ^ Хельмберг, Гилберт (декабрь 1969). Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве. Серия Северная Голландия по прикладной математике и механике. 6 (1-е изд.). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии. п. 320. ISBN  978-0-7204-2356-3.
  11. ^ Веструп, Эрик М. (18 сентября 2003 г.). Теория мер и интеграции. Серия Уайли по вероятности и статистике. Соединенные Штаты: Wiley-Interscience. п. 182. ISBN  978-0-471-24977-1.
  12. ^ а б Биллингсли, Патрик (1 мая 1995 г.). Вероятность и мера (PDF). Серия Уайли по вероятности и статистике (3-е изд.). Соединенные Штаты: Wiley-Interscience. п. 60. ISBN  978-0-471-00710-4. Архивировано из оригинал (PDF) 23 мая 2018 г.
  13. ^ Нивен, Иван (1 июня 1956 г.). Иррациональные числа. Математические монографии Каруса. 11. Рэуэй: Математическая ассоциация Америки. С. 2–5. ISBN  978-0-88385-011-4.
  14. ^ Бейкер, Алан (1984). Краткое введение в теорию чисел. Издательство Кембриджского университета. п.53. ISBN  978-0-521-24383-4.
  15. ^ Гранвиль, Эндрю; Рудник, Зеев (7 января 2007 г.). Равное распределение в теории чисел, введение. Серия "Наука НАТО" II. 237. Springer. п. 11. ISBN  978-1-4020-5404-4.
  16. ^ Берк, Фрэнк (3 ноября 1997 г.). Мера Лебега и интегрирование: введение. Серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. Соединенные Штаты: Wiley-Interscience. п. 260. ISBN  978-0-471-17978-8.
  17. ^ Харди, Г. Х. (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций по предметам, подсказанным его жизнью и работой. Издательство Кембриджского университета. п. 50.
  18. ^ а б Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (Декабрь 1960 г.). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Oxford University Press. С. 8–9. ISBN  978-0-19-853310-8.
  19. ^ Прачар, Карл (1957). Primzahlverteilung. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 91. Берлин: Springer. п. 164. Цитируется в Гроссвальд, Эмиль (1 января 1984 г.). Темы из теории чисел (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер. п. 30. ISBN  978-0-8176-3044-7.
  20. ^ а б Бабай, Ласло (25 декабря 1995 г.). «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция». В Грэм, Рональд; Грётшель, Мартин; Ловас, Ласло (ред.). Справочник по комбинаторике. 2. Нидерланды: Издательская компания Северной Голландии. п. 1462. ISBN  978-0-444-82351-9.
  21. ^ а б c Спенсер, Джоэл (9 августа 2001 г.). Странная логика случайных графов. Алгоритмы и комбинаторика. 22. Springer. С. 3–4. ISBN  978-3-540-41654-8.
  22. ^ а б Боллобаш, Бела (8 октября 2001 г.). Случайные графы. Кембриджские исследования в области высшей математики. 73 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 34–36. ISBN  978-0-521-79722-1.
  23. ^ Грэдель, Эрик; Колайтис, Phokion G .; Либкин Леонид; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Ю.; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (11 июня 2007 г.). Теория конечных моделей и ее приложения. Тексты по теоретической информатике (An EATCS Серии). Springer. п. 298. ISBN  978-3-540-00428-8.
  24. ^ Бакли, Фред; Харари, Фрэнк (21 января 1990 г.). Расстояние в графиках. Эддисон-Уэсли. п. 109. ISBN  978-0-201-09591-3.
  25. ^ Окстоби, Джон С. (1980). Мера и категория. Тексты для выпускников по математике. 2 (2-е изд.). Соединенные Штаты: Springer. С. 59, 68. ISBN  978-0-387-90508-2. Хотя Oxtoby не дает четкого определения этого термина, Бабай позаимствовал это у Мера и категория в своей главе «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция» Грэхема, Grötschel и Ловас с Справочник по комбинаторике (том 2), а Броер и Такенс отметьте в своей книге Динамические системы и хаос который Мера и категория сравнивает это значение слова «почти все» с теоретико-мерным в вещественной прямой (хотя в книге Окстоби также обсуждаются скудные множества в общих топологических пространствах).
  26. ^ Baratchart, Лоран (1987). "Последние и новые результаты в Rational L2 Приближение ». В Занавес, Рут Ф. (ред.). Моделирование, снижение устойчивости и чувствительности в системах управления. НАТО серии ASI F. 34. Springer. п. 123. Дои:10.1007/978-3-642-87516-8. ISBN  978-3-642-87516-8.
  27. ^ а б Броер, Хенк; Такенс, Флорис (28 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос. Прикладные математические науки. 172. Springer. п. 245. Дои:10.1007/978-1-4419-6870-8. ISBN  978-1-4419-6870-8.
  28. ^ Шарковский, А. Н .; Коляда, С. Ф .; Сивак, А.Г .; Федоренко, В. В. (30 апреля 1997 г.). Динамика одномерных карт.. Математика и ее приложения. 407. Springer. п. 33. Дои:10.1007/978-94-015-8897-3. ISBN  978-94-015-8897-3.
  29. ^ Юань, Джордж Сянь-Чжи (9 февраля 1999 г.). Теория ККМ и приложения в нелинейном анализе. Чистая и прикладная математика; Серия монографий и учебников. Марсель Деккер. п. 21. ISBN  978-0-8247-0031-7.
  30. ^ Альбертини, Франческа; Зонтаг, Эдуардо Д. (1 сентября 1991 г.). «Транзитивность и прямая доступность нелинейных систем с дискретным временем». В Боннаре Бернар; Невеста, Бернард; Готье, Жан-Поль; Купка, Иван (ред.). Анализ управляемых динамических систем. Прогресс в теории систем и управления. 8. Биркхойзер. п. 29. Дои:10.1007/978-1-4612-3214-8. ISBN  978-1-4612-3214-8.
  31. ^ Де ла Фуэнте, Анхель (28 января 2000 г.). Математические модели и методы для экономистов. Издательство Кембриджского университета. п. 217. ISBN  978-0-521-58529-3.
  32. ^ Комьят, Петер; Тотик, Вильмос (2 мая 2006 г.). Проблемы и теоремы классической теории множеств. Проблемные книги по математике. Соединенные Штаты: Springer. п. 75. ISBN  978-0387-30293-5.
  33. ^ Зальцманн, Гельмут; Грундхёфер, Тео; Hähl, Hermann; Лёвен, Райнер (24 сентября 2007 г.). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. 112. Издательство Кембриджского университета. п.155. ISBN  978-0-521-86516-6.
  34. ^ Схоутенс, Ханс (2 августа 2010 г.). Использование ультрапроизведений в коммутативной алгебре. Конспект лекций по математике. 1999. Springer. п. 8. Дои:10.1007/978-3-642-13368-8. ISBN  978-3-642-13367-1.
  35. ^ а б Раутенберг, Вольфганг (17 декабря 2009 г.). Краткое содержание математической логики. Universitext (3-е изд.). Springer. С. 210–212. Дои:10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN  978-1-4419-1221-3.

Вторичные источники

  1. ^ «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - почти». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-11.
  2. ^ Шварцман, Стивен (1 мая 1994 г.). The Words of Mathematics: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке. Спектральная серия. Математическая ассоциация Америки. п.22. ISBN  978-0-88385-511-9.
  3. ^ Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (7 июня 2009 г.). Краткий Оксфордский математический словарь. Оксфордские ссылки в мягкой обложке (4-е изд.). Oxford University Press. п. 38. ISBN  978-0-19-923594-0.
  4. ^ Джеймс, Роберт С. (31 июля 1992 г.). Математический словарь (5-е изд.). Чепмен и Холл. п. 269. ISBN  978-0-412-99031-1.
  5. ^ Битюцков, Вадим И. (30 ноября 1987 г.). "Почти всюду". В Хазевинкель, Михиэль (ред.). Энциклопедия математики. 1. Kluwer Academic Publishers. п. 153. Дои:10.1007/978-94-015-1239-8. ISBN  978-94-015-1239-8.
  6. ^ Ито, Киёси, изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический математический словарь. 2 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press. п. 1267. ISBN  978-0-262-09026-1.
  7. ^ "Почти все действительные числа трансцендентны - ProofWiki". proofwiki.org. Получено 2019-11-11.
  8. ^ а б Вайсштейн, Эрик В. "Почти все". MathWorld. Смотрите также Вайсштейн, Эрик В. (25 ноября 1988 г.). CRC Краткая энциклопедия математики (1-е изд.). CRC Press. п. 41. ISBN  978-0-8493-9640-3.
  9. ^ Ито, Киёси, изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический математический словарь. 1 (2-е изд.). Кингспорт: MIT Press. п. 67. ISBN  978-0-262-09026-1.