Незначительный набор - Negligible set

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Незначительный набор»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а незначительный набор это набор, который достаточно мал, чтобы его можно было игнорировать для некоторых целей. конечные множества можно проигнорировать при изучении предел последовательности, и нулевые наборы можно проигнорировать при изучении интеграл из измеримая функция.

Незначительные наборы определяют несколько полезных концепций, которые могут применяться в различных ситуациях, например, истина. почти всюду. Для того, чтобы они работали, обычно необходимо только, чтобы незначительные наборы образовывали идеальный; то есть, что пустой набор быть незначительным, союз из двух незначительных наборов пренебрежимо малы, и любой подмножество пренебрежимо малой совокупности пренебрежимо малой. Для некоторых целей нам также нужно, чтобы этот идеал был сигма-идеал, так что счетный союзы незначительных множеств также незначительны. я и J оба идеала подмножества того же самого набор Икс, то можно говорить о I-незначительный и J-незначительный подмножества.

Противоположность незначительного набора - это родовое свойство, имеющий различные формы.

Примеры

Позволять Икс быть набором N из натуральные числа, и пусть подмножество N быть незначительным если это конечный Тогда пренебрежимо малые множества образуют идеал. Эту идею можно применить к любому бесконечный набор; но если применить его к конечному набору, каждое подмножество будет незначительным, что не является очень полезным понятием.

Или пусть Икс быть бесчисленное множество, и пусть подмножество Икс быть незначительным, если это счетный Тогда ничтожные множества образуют сигма-идеал.

Позволять Икс быть измеримое пространство оснащен мера м, и пусть подмножество Икс быть незначительным, если это м-значение NULL Тогда пренебрежимо малые множества образуют сигма-идеал. Икс могут быть восстановлены таким образом, поместив подходящую меру на Икс, хотя мера может быть довольно патологической.

Позволять Икс быть набором р из действительные числа, и пусть подмножество А из р пренебрежимо малым, если для каждого ε> 0^[1] существует конечный или счетный набор я₁, я₂,… Интервалов (возможно, перекрывающихся), удовлетворяющих:

${ displaystyle A subset bigcup _ {k} I_ {k}}$

и

${ displaystyle sum _ {k} | I_ {k} | < epsilon.}$

Это частный случай предыдущего примера с использованием Мера Лебега, но описаны элементарно.

Позволять Икс быть топологическое пространство, и пусть подмножество будет незначительным, если оно первая категория, то есть если это счетное объединение нигде не плотные множества (где множество нигде не плотное, если оно не плотный в любой открытый набор Тогда пренебрежимо малые множества образуют сигма-идеал.Икс это Пространство Бэра если интерьер каждого такого ничтожного множества пусто.

Позволять Икс быть направленный набор, и пусть подмножество Икс быть незначительным, если у него есть верхняя граница Тогда пренебрежимо малые множества образуют идеал. Первый пример является частным случаем этого, использующим обычное упорядочение N.

В грубая структура, контролируемые множества пренебрежимо малы.

Производные концепции

Позволять Икс быть набор, и разреши я быть идеалом ничтожного подмножества из Икс.Если п предложение об элементах Икс, тогда п правда почти всюду если множество точек, где п правда это дополнять незначительного множества. п может не всегда быть правдой, но это ложь настолько редко, что это можно игнорировать для наших целей.

Если ж и грамм являются функциями от Икс в то же место Y, тогда ж и грамм находятся эквивалент если они почти везде одинаковы. Чтобы сделать вводный абзац точным, пусть Икс быть N, и пусть пренебрежимо малые множества будут конечными множествами. ж и грамм являются последовательностями. Y это топологическое пространство, тогда ж и грамм имеют один и тот же предел или оба не имеют его. (Когда вы обобщаете это на направленные наборы, вы получаете тот же результат, но для сети.) Или пусть Икс - пространство меры, а пренебрежимо малые множества - нулевые. Y это реальная линия р, то либо ж и грамм имеют один и тот же интеграл, или ни один из них не определен.

Смотрите также

• Незначительная функция
• Родовое имущество

Рекомендации