Почти наверняка - Almost surely

В теория вероятности, мероприятие говорят, что случилось почти наверняка (иногда сокращенно в качестве.), если это произойдет с вероятностью 1 (или Мера Лебега 1).^[1]^[2] Другими словами, набор возможных исключений может быть непустым, но он имеет вероятность 0. Эта концепция по существу аналогична концепции "почти всюду " в теория меры.

В вероятностных экспериментах на конечном пространство образца, часто нет разницы между почти наверняка и конечно (поскольку вероятность 1 часто влечет за собой включение всех точки отбора проб ). Однако это различие становится важным, когда пространство образца является бесконечный набор,^[3] потому что бесконечное множество может иметь непустые подмножества с вероятностью 0.

Некоторые примеры использования этой концепции включают сильные и унифицированные версии закон больших чисел, и преемственность путей Броуновское движение.

Условия почти наверняка (переменный ток) и почти всегда (а.а.) также используются. Больше никогда описывает противоположность почти наверняка: событие, которое происходит с нулевой вероятностью, происходит Больше никогда.^[1]^[4]

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ быть вероятностное пространство. An мероприятие ${ displaystyle E in { mathcal {F}}}$ случается почти наверняка если ${ Displaystyle P (E) = 1}$ . Эквивалентно, ${ displaystyle E}$ происходит почти наверняка, если вероятность ${ displaystyle E}$ не происходит нуль: ${ displaystyle P (E ^ {C}) = 0}$ . В общем, любое событие ${ Displaystyle E substeq Omega}$ (не обязательно в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ ) почти наверняка произойдет, если ${ displaystyle E ^ {C}}$ содержится в нулевой набор: подмножество ${ displaystyle N}$ в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ такой, что ${ Displaystyle P (N) = 0}$ .^[5] Понятие почти уверенности зависит от вероятностной меры ${ displaystyle P}$ . Если необходимо подчеркнуть эту зависимость, принято говорить, что событие ${ displaystyle E}$ происходит п-почти наверняка или почти наверняка ${ Displaystyle влево (! P вправо)}$ .

Наглядные примеры

В общем, событие может произойти «почти наверняка», даже если рассматриваемое вероятностное пространство включает результаты, которые не принадлежат событию - как показывают следующие примеры.

Метание дротика

Представьте, что вы бросаете дротик в единичный квадрат (квадрат с площадью 1) так, чтобы дротик всегда попадал в точную точку квадрата таким образом, чтобы каждая точка в квадрате была поражена с одинаковой вероятностью. Поскольку квадрат имеет площадь 1, вероятность того, что дротик поразит любую конкретную подобласть квадрата, равна площади этой подобласти. Например, вероятность того, что дротик попадет в правую половину квадрата, составляет 0,5, поскольку правая половина имеет площадь 0,5.

Затем рассмотрим случай, когда дротик попадает точно в точку на диагоналях единичного квадрата. Так как площадь диагоналей квадрата равна 0, вероятность того, что дротик приземлится точно по диагонали, равна 0. То есть дротик будет Больше никогда приземлиться по диагонали (то есть почти наверняка не приземляется на диагонали), даже если набор точек на диагоналях не пуст, и точка на диагонали не менее возможна, чем любая другая точка.

Многократно подбрасывать монету

Рассмотрим случай, когда подбрасывается монета (возможно, смещенная), соответствующая вероятностному пространству ${ displaystyle ( {H, T }, 2 ^ { {H, T }}, P)}$ , где событие ${ displaystyle {H }}$ возникает, если перевернуть голову, и ${ displaystyle {T }}$ если перевернуть хвост. Предполагается, что для этой конкретной монеты вероятность перевернуть голову равна ${ Displaystyle P (H) = p in (0,1)}$ , из чего следует, что событие дополнения, то есть переворачивание хвоста, имеет вероятность ${ Displaystyle P (T) = 1-p}$ .

Теперь предположим, что был проведен эксперимент, в котором монета подбрасывалась неоднократно, и результаты ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2}, ldots}$ и предположение, что результат каждого подбрасывания не зависит от всех остальных (т.е. независимые и одинаково распределенные;i.i.d). Определите последовательность случайных величин на поле для подбрасывания монеты, ${ Displaystyle (X_ {я}) _ {я in mathbb {N}}}$ куда ${ Displaystyle X_ {я} ( omega) = omega _ {я}}$ . т.е. каждый ${ displaystyle X_ {i}}$ записывает результат ${ displaystyle i}$ й флип.

В этом случае любая бесконечная последовательность орла и решки - возможный результат эксперимента. Однако любая конкретная бесконечная последовательность орла и решки имеет вероятность 0 быть точным результатом (бесконечного) эксперимента. Это потому, что i.i.d. предположение предполагает, что вероятность перевернуть все ${ displaystyle n}$ сальто просто ${ Displaystyle P (X_ {i} = H, i = 1,2, dots, n) = left (P (X_ {1} = H) right) ^ {n} = p ^ {n} }$ . Сдача ${ Displaystyle п rightarrow infty}$ дает 0, так как ${ Displaystyle р в (0,1)}$ по предположению. Результат один и тот же независимо от того, насколько сильно мы склоняем монету в сторону орла, пока мы ограничиваем ${ displaystyle p}$ должно быть строго между 0 и 1. Фактически, тот же результат сохраняется даже в нестандартном анализе, где бесконечно малые вероятности недопустимы.^[6]

Более того, в событии "последовательность бросков" присутствует хотя бы один ${ displaystyle T}$ "также почти наверняка произойдет (то есть с вероятностью 1). Но если вместо бесконечного числа подбрасываний переворот прекращается через некоторое конечное время, скажем, 1 000 000 подбрасываний, то вероятность получения последовательности всех орлов ${ displaystyle p ^ {1,000,000}}$ , больше не будет 0, в то время как вероятность получить хотя бы одну решку, ${ displaystyle 1-p ^ {1,000,000}}$ , больше не будет 1 (т. е. событие больше не является почти гарантированным).

Асимптотически почти наверняка

В асимптотический анализ говорят, что свойство асимптотически почти наверняка (а.а.с.), если по последовательности множеств вероятность сходится к 1. Например, в теории чисел большое число асимптотически почти наверняка составной, посредством теорема о простых числах; И в теория случайных графов, заявление " ${ Displaystyle G (п, р_ {п})}$ является связаны " (куда ${ Displaystyle G (п, р)}$ обозначает графики на ${ displaystyle n}$ вершины с вероятностью ребра ${ displaystyle p}$ ) истинно п.п. когда для некоторых ${ displaystyle varepsilon> 0}$

{ displaystyle p_ {n}> { frac {(1+ varepsilon) ln n} {n}}.}

^[7]

В теория чисел, это называется "почти все ", как в" почти все числа составные ". Точно так же в теории графов это иногда называют" почти наверняка ".^[8]

Смотрите также

Почти всюду, соответствующее понятие в теории меры
Сходимость случайных величин, для "почти верной сходимости"
Правило Кромвеля, который гласит, что вероятность почти никогда не должна быть равна нулю или единице
Вырожденное распределение, для "почти наверняка постоянный"
Теорема о бесконечной обезьяне, теорема, использующая упомянутые выше термины
Список математического жаргона

Примечания

^ ^а ^б «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - почти». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-16.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Почти наверняка". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-11-16.
^ «Почти наверняка - Math Central». mathcentral.uregina.ca. Получено 2019-11-16.
^ Грэдель, Эрих; Колайтис, Phokion G .; Либкин Леонид; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Й .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения. Springer. п.232. ISBN 978-3-540-00428-8.
^ Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности. Springer. п.37. ISBN 978-3-540-438717.
^ Уильямсон, Тимоти (01.07.2007). "Насколько вероятна бесконечная последовательность голов?". Анализ. 67 (3): 173–180. Дои:10.1093 / анализ / 67.3.173. ISSN 0003-2638.
^ Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, прасад (Январь 2006 г.). «Резкий порог для случайных графов с монохроматическим треугольником в каждой раскраске краев». Мемуары Американского математического общества. Книжный магазин AMS. 179 (845): 3–4. Дои:10.1090 / memo / 0845. ISSN 0065-9266. S2CID 9143933.
^ Спенсер, Джоэл Х. (2001). «0. Два начальных примера». Странная логика случайных графов. Алгоритмы и комбинаторика. 22. Springer. п. 4. ISBN 978-3540416548.