Оценка (алгебра) - Valuation (algebra)

В алгебра (в частности в алгебраическая геометрия или же алгебраическая теория чисел ), а оценка это функция на поле который обеспечивает меру размера или множественности элементов поля. Это обобщает на коммутативная алгебра понятие размера, присущее рассмотрению степени столб или же множественность из нуль в комплексном анализе, степень делимости числа на простое число в теории чисел и геометрическая концепция контакт между двумя алгебраический или же аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле с оценкой называется ценное поле.

Определение

Начинают со следующих объектов:

а поле $K$ и это мультипликативная группа K^×,
ан абелевский полностью упорядоченная группа $(Γ, +, \geq)$ .

Заказ и групповой закон на $Γ$ распространяются на множество $Γ \cup {\infty$ }^[а] по правилам

$\infty \geq α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$\infty + α = α + \infty = \infty$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Затем оценка $K$ есть ли карта

v : K \to Γ \cup {\infty}

которое удовлетворяет следующим свойствам для всех а, б в K:

$v (а) = \infty$ если и только если $а = 0$ ,
$v (ab) = v (а) + v (б)$ ,
$v (а + б) \geq мин (v (а), v (б))$ , с равенством, если v(а) ≠ v(б).

Оценка v является банальный если v(а) = 0 для всех а в K^×, иначе это нетривиальный.

Второе свойство утверждает, что любая оценка является групповой гомоморфизм. Третье свойство - это версия неравенство треугольника на метрические пространства адаптированный к произвольной Γ (см. Мультипликативная запись ниже). Для оценок, используемых в геометрический приложений, первое свойство означает, что любой непустой зародыш аналитического многообразия около точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок проведения термин ведущего порядка.^[b] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющейся порядком большего члена,^[c] если два условия не имеют одинаковый порядок, в этом случае они могут быть отменены, и в этом случае сумма может иметь меньший порядок.

Для многих приложений $Γ$ является аддитивной подгруппой действительных чисел ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ^[d] в этом случае ∞ можно интерпретировать как + ∞ в расширенные действительные числа; Обратите внимание, что ${ Displaystyle мин (а, + infty) = мин (+ infty, а) = а}$ для любого реального числа а, и, таким образом, + ∞ является единицей при бинарной операции минимума. Действительные числа (расширенные на + ∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо, называется мин тропическое полукольцо,^[e] и оценка v является почти гомоморфизмом полуколец из K к тропическому полукольцу, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе.

Мультипликативная запись и абсолютные значения

Мы могли бы определить^[1] та же концепция, пишущая группу в мультипликативная запись в качестве $(Γ, \cdot, \geq)$ : вместо ∞ присоединим формальный символ О на Γ с расширением порядка и группового закона по правилам

$О \leq α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$О \cdot α = α \cdot О = О$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Затем оценка K любая карта

v : K \to Γ \cup {О}

удовлетворяющие следующим свойствам для всех а, б ∈ K:

$v (а) = О$ если и только если $а = 0$ ,
$v (ab) = v (а) \cdot v (б)$ ,
$v (а + б) \leq макс (v (а), v (б))$ , с равенством, если v(а) ≠ v(б).

(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)

Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последним условием является ультраметрический неравенство, более сильная форма неравенство треугольника $v (а + б) \leq v (а) + v (б)$ , и v является абсолютная величина. В этом случае можно перейти к аддитивной записи с группой значений ${ displaystyle Gamma _ {+} subset ( mathbb {R}, +)}$ принимая v₊(а) = −log v(а).

Каждая оценка на K определяет соответствующий линейный Предварительный заказ: а ≼ б ⇔ v(а) ≤ v(б). И наоборот, если '≼' удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку v(а) = {б: б ≼ а ∧ а ≼ б}, с умножением и упорядочиванием на основе K и ≼.

Терминология

В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной нотации. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовым абсолютным значением», или «ультраметрическим абсолютным значением»;
наша «абсолютная ценность» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «абсолютной величиной Архимеда».

Связанные объекты

На основе данной оценки определены несколько объектов. $v : K \to Γ \cup {\infty}$ ;

то группа значений или же оценочная группа $Γ v$ = v(K^×), подгруппа $Γ$ (хотя v обычно сюръективен, так что $Γ v$ = $Γ$ );
то оценочное кольцо р_v это набор а ∈ $K$ с v(а) ≥ 0,
то главный идеал м_v это набор а ∈ K с v(а)> 0 (на самом деле это максимальный идеал из р_v),
то остаток поле k_v = р_v/м_v,
то место из $K$ связано с v, класс v при эквивалентности, определенной ниже.

Основные свойства

Эквивалентность оценок

Две оценки v₁ и v₂ из $K$ с оценочной группой Γ₁ и Γ₂соответственно, называются эквивалент если есть порядок, сохраняющий групповой изоморфизм $φ : Γ 1 \to Γ 2$ такой, что v₂(а) = φ (v₁(а)) для всех а в K^×. Это отношение эквивалентности.

Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же оценочное кольцо.

An класс эквивалентности оценок поля называется место. Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональное число ${ displaystyle mathbb {Q}:}$ это в точности классы эквивалентности оценок для п-адический завершение из ${ displaystyle mathbb {Q}.}$

Расширение оценок

Позволять v быть оценкой $K$ и разреши L быть расширение поля из $K$ . An расширение v (к L) - оценка ш из L так что ограничение из ш к $K$ является v. Множество всех таких расширений изучается в теория разветвления оценок.

Позволять L/K быть конечное расширение и разреши ш быть продолжением v к L. В индекс из Γ_v в Γ_ш, e (ш/v) = [Γ_ш : Γ_v], называется пониженный индекс ветвления из ш над v. Он удовлетворяет e (ш/v) ≤ [L : K] ( степень расширения L/K). В относительная степень из ш над v определяется как ж(ш/v) = [р_ш/м_ш : р_v/м_v] (степень расширения полей вычетов). Это также меньше или равно степени L/K. Когда L/K является отделяемый, то индекс ветвления из ш над v определяется как e (ш/v)п^я, куда п^я это неотделимая степень расширения р_ш/м_ш над р_v/м_v.

Заполните поля значений

Когда упорядоченная абелева группа $Γ$ аддитивная группа целые числа, ассоциированная оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, вызывает метрика на поле $K$ . Если $K$ является полный относительно этой метрики, то она называется полнозначное поле. Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершение, как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.

В общем, оценка вызывает единообразная структура на $K$ , и $K$ называется полнозначным полем, если оно полный как единое пространство. Существует связанное свойство, известное как сферическая полнота: эквивалентно полноте, если ${ Displaystyle Gamma = mathbb {Z},}$ но в целом сильнее.

Примеры

p-адическая оценка

Самый простой пример - это $п$ -адическая оценка v_п связано с простым целым числом п, от рациональных чисел ${ Displaystyle К = mathbb {Q},}$ с оценочным кольцом ${ Displaystyle R = mathbb {Z}.}$ Группа оценки - это аддитивные целые числа ${ Displaystyle Gamma = mathbb {Z}.}$ Для целого числа ${ Displaystyle а в R = mathbb {Z},}$ оценка v_п(а) измеряет делимость а властями п:

{ displaystyle v_ {p} (a) = max {e in mathbb {Z} mid p ^ {e} { text {divides}} a };}

и на долю, v_п(а/б) = v_п(а) − v_п(б).

Запись этого мультипликативно дает $п$ -адическое абсолютное значение, которая традиционно имеет в качестве основы ${ displaystyle 1 / p = p ^ {- 1}}$ , так ${ displaystyle | a | _ {p}: = p ^ {- v_ {p} (a)}}$ .

В завершение из ${ displaystyle mathbb {Q}}$ относительно v_п это поле ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ из p-адические числа.

Порядок исчезновения

Пусть K = F(x) рациональные функции на аффинной прямой Икс = F¹, и возьмите точку а ∈ X. Для полинома ${ Displaystyle е (х) = a_ {k} (x {-} a) ^ {k} + a_ {k + 1} (x {-} a) ^ {k + 1} + cdots + a_ {n } (х {-} а) ^ {п}}$ с ${ displaystyle a_ {k} neq 0}$ , определять v_а(ж) = k, порядок обращения в нуль при Икс = а; и v_а(ж /грамм) = v_а(ж) − v_а(грамм). Тогда оценочное кольцо р состоит из рациональных функций без полюса в Икс = а, а завершение - это формальная серия Laurent звенеть F((Икс−а)). Это можно обобщить на область Серия Puiseux K{{т}} (дробные степени), Поле Леви-Чивита (его пополнение по Коши), а поле Серия Hahn, причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель степени т появляясь в сериале.

$π$ -адическая оценка

Обобщая предыдущие примеры, пусть $р$ быть главная идеальная область, $K$ быть его поле дробей, и $π$ быть неприводимый элемент из $р$ . Поскольку каждая область главных идеалов является уникальная область факторизации, каждый ненулевой элемент а из $р$ можно записать (по существу) однозначно как

{ displaystyle a = pi ^ {e_ {a}} p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} cdots p_ {n} ^ {e_ {n}}}

где е 's - неотрицательные целые числа, а п_я являются неприводимыми элементами $р$ это не соратники из $π$ . В частности, целое число е_а однозначно определяется а.

В π-адическая оценка K тогда дается

${ Displaystyle v _ { pi} (0) = infty}$
${ displaystyle v _ { pi} (a / b) = e_ {a} -e_ {b}, { text {for}} a, b in R, a, b neq 0.}$

Если π '- другой неприводимый элемент $р$ такие, что (π ') = (π) (т.е. они порождают один и тот же идеал в р), то π-адическое нормирование и π'-адическое нормирование равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать п-адическая оценка, где п = (π).

п-адическая оценка домена Дедекинда

Предыдущий пример можно обобщить на Дедекиндовские домены. Позволять $р$ быть дедекиндовым доменом, $K$ его поле дробей, и пусть п ненулевой простой идеал $р$ . Затем локализация из $р$ в п, обозначенный р_п, является областью главных идеалов, поле дробей которой равно $K$ . Конструкция предыдущего раздела применима к первичному идеалу PR_п из р_п дает $п$ -адическая оценка $K$ .

Геометрическое понятие контакта

Оценки могут быть определены для области функций в пространстве размерности больше единицы. Напомним, что оценка в порядке убывания v_а(ж) на ${ Displaystyle R = mathbb {C} [x]}$ измеряет кратность точки Икс = а в нулевом наборе ж; можно рассматривать это как порядок контакт (или местный номер перекрестка ) графа у = ж(Икс) с Икс-ось у = 0 около точки (а, 0). Если вместо Икс-оси одна фиксирует другую неприводимую плоскую кривую час(Икс,у) = 0 и точка (а,б) аналогичным образом можно определить оценку v_час на ${ Displaystyle R = mathbb {C} [х, y]}$ так что v_час(ж) - это порядок контакта (число пересечений) между фиксированной кривой и ж(Икс,у) = 0 около (а,б). Эта оценка естественным образом распространяется на рациональные функции. ${ displaystyle f / g in K = mathbb {C} (x, y).}$

Фактически, эта конструкция является частным случаем π-адического нормирования на PID, определенном выше. А именно рассмотрим местное кольцо ${ Displaystyle R = mathbb {C} [x, y] _ {(h)} = {{ tfrac {f} {g}} in mathbb {C} (x, y) mid h { text {не делит}} g }}$ , кольцо рациональных функций, определенных на некотором открытом подмножестве кривой час = 0. Это PID; на самом деле кольцо дискретной оценки чьи единственные идеалы - это силы ${ displaystyle (h) ^ {k}}$ . Тогда вышеуказанная оценка v_час π-адическое нормирование, соответствующее неприводимому элементу π = час ∈ р.

Пример: рассмотрим кривую ${ displaystyle V_ {h}}$ определяется ${ displaystyle h (x, y) = x ^ {3} -xy-y = 0}$ , а именно граф ${ displaystyle textstyle y = { frac {x ^ {3}} {1-x}} = sum _ {n = 3} ^ { infty} x ^ {n},}$ недалеко от происхождения ${ Displaystyle (а, Ь) = (0,0)}$ . Эта кривая может быть параметризована ${ Displaystyle т в mathbb {C}}$ в качестве:

{ displaystyle (x, y) = left (t, { frac {t ^ {3}} {1-t}} right) = left (t, sum _ {n = 3} ^ { infty} t ^ {n} right),}

со специальной точкой (0,0), соответствующей т = 0. Теперь определим ${ displaystyle v_ {h}: mathbb {C} [x, y] to mathbb {Z}}$ как порядок формального степенного ряда в $т$ получено ограничение любого ненулевого многочлена ${ displaystyle f in mathbb {C} [x, y]}$ к кривой $V час$ :

{ displaystyle v_ {h} (f) = mathrm {ord} _ {t} (f | _ {V_ {h}}) = mathrm {ord} _ {t} left (f (t, sum _ {n = 3} ^ { infty} t ^ {n}) right), quad { text {for}} f in mathbb {C} [x, y].}

Это распространяется на область рациональных функций. ${ Displaystyle mathbb {C} (х, у)}$ к ${ displaystyle v_ {h} (f / g) = v_ {h} (f) -v_ {h} (g)}$ , вместе с ${ displaystyle v_ {h} (0) = infty}$ .

Некоторые номера перекрестков:

{ displaystyle { begin {align} v_ {h} (x) & = mathrm {ord} _ {t} (t) = 1 v_ {h} (x ^ {6} -y ^ {2} ) & = mathrm {ord} _ {t} left (t ^ {6} -t ^ {6} -2t ^ {7} -3t ^ {8} - cdots right) = mathrm {ord} _ {t} left (-2t ^ {7} -3t ^ {8} - cdots right) = 7 v_ {h} left ({ frac {x ^ {6} -y ^ {2 }} {x}} right) & = mathrm {ord} _ {t} left (-2t ^ {7} -3t ^ {8} - cdots right) - mathrm {ord} _ {t } (t) = 7-1 = 6 конец {выровнено}}}

Векторные пространства над полями оценки

Предположим, что $Γ$ ∪ {0} - множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретный если его диапазон (оценочная группа) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что Икс это векторное пространство над K и это А и B являются подмножествами Икс. Тогда мы говорим, что А поглощает B если существует α ∈ K такой, что λ ∈ K и | λ | ≥ | α | подразумевает, что B ⊆ λ A. А называется радиальный или же поглощающий если А поглощает каждое конечное подмножество Икс. Радиальные подмножества Икс инвариантны относительно конечного пересечения. Также, А называется кружил если λ в K и | λ | ≥ | α | подразумевает λ A ⊆ A. Множество обведенных подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. В обведен корпус из А является пересечением всех обведенных кружком подмножеств Икс содержащий А.

Предположим, что Икс и Y - векторные пространства над недискретным оценочным полем K, позволять A ⊆ X, B ⊆ Y, и разреши е: X → Y - линейная карта. Если B обведен кружком или радиален, то так ${ displaystyle f ^ {- 1} (В)}$ . Если А обведен кружком f (А) но если А радиально, то f (А) будет радиальным при дополнительном условии, что ж сюръективно.

Смотрите также

Примечания

^ Символ ∞ обозначает элемент, не входящий в $Γ$ , без другого значения. Его свойства просто определяются заданными аксиомы.
^ С учетом минимального соглашения здесь оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядка первого члена порядка, но с соглашением о максимуме его можно интерпретировать как порядок.
^ Опять же, поменял местами, поскольку использовал минимальное соглашение.
^ Каждый Архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел при сложении, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедово упорядоченное поле.
^ В тропическом полукольце рассматриваются минимум и сложение действительных чисел. тропическое дополнение и тропическое размножение; это операции полукольца.

внешняя ссылка

Данилов, В. (2001) [1994], «Оценка», Энциклопедия математики, EMS Press
Дискретная оценка в PlanetMath.org.
Оценка в PlanetMath.org.
Вайсштейн, Эрик В. «Оценка». MathWorld.

[1] Символ ∞ обозначает элемент, не входящий в $Γ$ , без другого значения. Его свойства просто определяются заданными аксиомы.

[2] С учетом минимального соглашения здесь оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядка первого члена порядка, но с соглашением о максимуме его можно интерпретировать как порядок.

[3] Опять же, поменял местами, поскольку использовал минимальное соглашение.

[4] Каждый Архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел при сложении, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедово упорядоченное поле.

[5] В тропическом полукольце рассматриваются минимум и сложение действительных чисел. тропическое дополнение и тропическое размножение; это операции полукольца.

[6] Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра, стр.48

[а]

[b]

[c]

[d]

[e]

[1]