Дискретное пространство - Discrete space

В топология, а дискретное пространство это особенно простой пример топологическое пространство или аналогичную структуру, в которой точки образуют прерывная последовательность, то есть они изолированные друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология - это лучший топология, которая может быть задана на множестве, т. е. определяет все подмножества как открытые множества. В частности, каждый одиночка - открытое множество в дискретной топологии.

Определения

Учитывая набор Икс:

то дискретная топология на Икс определяется, позволяя каждому подмножество из Икс быть открыто (а значит, и закрыто ), и Икс это дискретное топологическое пространство если он снабжен своей дискретной топологией;
то дискретный единообразие на Икс определяется, позволяя каждому суперсет диагонали {(Икс,Икс) : Икс в Икс} в Икс × Икс быть свита, и Икс это дискретное однородное пространство если он снабжен дискретной однородностью.
то дискретный метрика ${ displaystyle rho}$ на Икс определяется

{ displaystyle rho (x, y) = left {{ begin {matrix} 1 & { mbox {if}} x neq y, 0 & { mbox {if}} x = y конец {матрица}} right.}

для любого

{ displaystyle x, y in X}

. В таком случае

{ displaystyle (X, rho)}

называется дискретное метрическое пространство или пространство изолированные точки.

а набор S является дискретный в метрическое пространство ${ displaystyle (X, d)}$ , для ${ Displaystyle S substeq X}$ , если для каждого ${ displaystyle x in S}$ , есть некоторые ${ displaystyle delta> 0}$ (в зависимости от ${ displaystyle x}$ ) такие, что ${ displaystyle d (x, y)> delta}$ для всех ${ Displaystyle у в S setminus {х }}$ ; такой набор состоит из изолированные точки. Множество S является равномерно дискретный в метрическое пространство ${ displaystyle (X, d)}$ , для ${ Displaystyle S substeq X}$ , если существует ε > 0 такое, что для любых двух различных ${ displaystyle x, y in S}$ , ${ Displaystyle д (х, у)}$ > ε.

Метрическое пространство ${ displaystyle (E, d)}$ как говорят равномерно дискретный если существует «радиус упаковки» ${ displaystyle r> 0}$ такое, что для любого ${ displaystyle x, y in E}$ , есть либо ${ displaystyle x = y}$ или ${ displaystyle d (x, y)> r}$ .^[1] Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, при этом метрика не является равномерно дискретной: например, обычная метрика на множестве {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} действительных чисел.

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно равномерно дискретно

Пусть X = {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}, рассмотрим это множество, используя обычную метрику для действительных чисел. Тогда X - дискретное пространство, поскольку для каждой точки 1/2^п, мы можем окружить его интервалом (1/2^п - ɛ, 1/2^п + ɛ), где ɛ = 1/2 (1/2^п - 1/2^{п + 1}) = 1/2^{п + 2}. Перекресток (1/2^п - ɛ, 1/2^п + ɛ) ∩ {1/2^п} - это просто синглтон {1/2^п}. Поскольку пересечение двух открытых множеств открыто, а одиночные множества открыты, отсюда следует, что X - дискретное пространство.

Однако X не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует r> 0 такое, что d (x, y)> r всякий раз, когда x ≠ y. Достаточно показать, что в X есть по крайней мере две точки x и y, которые ближе друг к другу, чем r. Поскольку расстояние между соседними точками 1/2^п и 1/2^{п + 1} 1/2^{п + 1}, нам нужно найти n, удовлетворяющее этому неравенству:

${ Displaystyle 1/2 ^ {п + 1} <г}$

${ displaystyle 1$

${ Displaystyle 1 / г <2 ^ {п + 1}}$

${ Displaystyle журнал _ {2} (1 / г) <п + 1}$

${ Displaystyle - журнал _ {2} (г) <п + 1}$

${ Displaystyle -1- журнал _ {2} (г) <п}$

Поскольку всегда существует n больше любого заданного действительного числа, отсюда следует, что всегда будут по крайней мере две точки в X, которые ближе друг к другу, чем любое положительное r, поэтому X не является равномерно дискретным ...

Свойства

Основная однородность дискретного метрического пространства - это дискретная однородность, а основная топология дискретного однородного пространства - дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретное равномерное или метрическое пространство может быть дискретным; пример - метрическое пространство Икс := {1/п : п = 1,2,3, ...} (с метрикой, унаследованной от реальная линия и определяется как d (Икс,у) = |Икс − у|). Это не дискретная метрика; кроме того, это место не полный и, следовательно, не дискретно как однородное пространство, но тем не менее дискретно как топологическое пространство. Мы говорим, что Икс является топологически дискретный но нет равномерно дискретный или метрически дискретный.

Дополнительно:

В топологическая размерность дискретного пространства равно 0.
Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда его синглтоны открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда они не содержат очки накопления.
Синглтоны образуют основа для дискретной топологии.
Единое пространство Икс дискретна тогда и только тогда, когда диагональ {(Икс,Икс) : Икс в Икс} является свита.
Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждому из аксиомы разделения; в частности, каждое дискретное пространство Хаусдорф, то есть разделенные.
Дискретное пространство компактный если и только если это конечный.
Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полный.
Комбинируя два вышеупомянутых факта, каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограниченный тогда и только тогда, когда это конечно.
Каждое дискретное метрическое пространство ограниченный.
Каждое дискретное пространство исчисляемый первым; это более того счетный если и только если это счетный.
Каждое дискретное пространство полностью отключен.
Каждое непустое дискретное пространство вторая категория.
Любые два дискретных пространства с одинаковым мощность находятся гомеоморфный.
Всякое дискретное пространство метризуемо (по дискретной метрике).
Конечное пространство метризуемо, только если оно дискретно.
Если Икс является топологическим пространством и Y - множество с дискретной топологией, то Икс равномерно покрыт Икс × Y (карта проекции - желаемое покрытие)
В топология подпространства на целые числа как подпространство реальная линия - дискретная топология.
Дискретное пространство отделимо тогда и только тогда, когда оно счетно.
Любое топологическое подпространство $ℝ$ (с обычным Евклидова топология ), который является дискретным, обязательно счетный.^[2]

Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство является непрерывный, и любая функция из дискретного однородного пространства в другое однородное пространство есть равномерно непрерывный. То есть дискретное пространство Икс является свободный на съемочной площадке Икс в категория топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, в котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.

С метрическими пространствами дело обстоит сложнее, потому что существует несколько категорий метрических пространств, в зависимости от того, что выбрано для морфизмы. Конечно, дискретное метрическое пространство свободно, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или все непрерывные отображения, но это не говорит ничего интересного о метрике. структура, только единая или топологическая структура. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы до Липшицева непрерывная карты или в короткие карты; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченные метрические пространства и липшицевы отображения, и он свободен в категории метрических пространств, ограниченных единицей, и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является липшицевым, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное 1, является короткой.

В другом направлении функция ж из топологического пространства Y в дискретное пространство Икс непрерывна тогда и только тогда, когда она локально постоянный в том смысле, что каждая точка в Y имеет окрестности на котором ж постоянно.

Использует

Дискретная структура часто используется как «структура по умолчанию» в наборе, не несущем никакой другой естественной топологии, единообразия или метрики; дискретные структуры часто могут использоваться как «крайние» примеры для проверки определенных предположений. Например, любой группа можно рассматривать как топологическая группа придав ему дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. Действительно, аналитики могут называть обычные, нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, как "дискретные группы ". В некоторых случаях это может быть полезно, например, в сочетании с Понтрягинская двойственность. 0-мерный многообразие (или дифференцируемое или аналитическое многообразие) есть не что иное, как дискретное топологическое пространство. Поэтому мы можем рассматривать любую дискретную группу как 0-мерную Группа Ли.

А товар из счетно бесконечный копии дискретного пространства натуральные числа является гомеоморфный в пространство иррациональные числа, с гомеоморфизмом, задаваемым непрерывная дробь расширение. Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства {0,1} гомеоморфен Кантор набор; и на самом деле равномерно гомеоморфный к множеству Кантора, если использовать однородность продукта на продукт. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичная запись номеров. (Увидеть Канторовское пространство.)

в основы математики, изучение компактность свойств произведений {0,1} является центральным в топологическом подходе к принцип ультрафильтрации, что является слабой формой выбор.

Недискретные пространства

В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемый недискретная топология), который имеет наименьшее возможное количество открытых множеств (только пустой набор и само пространство). Если дискретная топология является начальной или свободной, недискретная топология является окончательной или cofree: каждая функция от топологическое пространство к недискретное пространство непрерывно и т. д.

Смотрите также

использованная литература

^ Плезантс, Питер А. (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы для резки и проектирования с заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах. Серия монографий CRM. 13. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018.
^ Вилански 2008, п. 35.

Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1978). Контрпримеры в топологии (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90312-7. Г-Н 0507446. Zbl 0386.54001.
Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.CS1 maint: дата и год (ссылка на сайт)

[1] Плезантс, Питер А. (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы для резки и проектирования с заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах. Серия монографий CRM. 13. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018.

[FOOTNOTEWilansky200835-2] Вилански 2008, п. 35.

[1]

[2]