SQ-универсальная группа - SQ-universal group

В математика, в сфере теория групп, а счетный группа как говорят SQ-универсальный если каждую счетную группу можно вложить в одну из своих частное группы. SQ-универсальность можно рассматривать как меру обширности или сложности группы.

История

Многие классические результаты комбинаторной теории групп, восходящие к 1949 году, теперь интерпретируются как утверждение, что определенная группа или класс групп является (являются) SQ-универсальными. Однако первое явное использование этого термина, похоже, было в адресе, данном Питер Нойманн к Лондонский коллоквиум по алгебре под названием "SQ-универсальные группы" 23 мая 1968 года.

Примеры SQ-универсальных групп

В 1949 г. Грэм Хигман, Бернхард Нойманн и Ханна Нойманн доказал, что всякая счетная группа вкладывается в группу с двумя образующими.^[1] Используя современный язык SQ-универсальности, этот результат говорит, что F₂, то свободная группа (неабелевский ) на двух генераторы, является SQ-универсальным. Это первый известный пример SQ-универсальной группы. Теперь известно еще много примеров:

Добавление двух генераторы и один произвольный родственник к нетривиальный без кручения group, всегда приводит к SQ-универсальной группе.^[2]
Любая неэлементарная группа, которая гиперболический относительно набора собственных подгрупп является SQ-универсальным.^[3]
Много Расширения HNN, бесплатные продукты и бесплатные продукты с амальгамированием.^[4]^[5]^[6]
Четырехгенераторный Группа Коксетера с презентация:^[7]

{ Displaystyle P = left langle a, b, c, d , | , a ^ {2} = b ^ {2} = c ^ {2} = d ^ {2} = (ab) ^ { 3} = (bc) ^ {3} = (ac) ^ {3} = (ad) ^ {3} = (cd) ^ {3} = (bd) ^ {3} = 1 right rangle}

Пример Чарльза Ф. Миллера III конечно определенной SQ-универсальной группы, все нетривиальные факторы которой имеют неразрешимый проблема со словом.^[8]

Кроме того, теперь известны гораздо более сильные версии теоремы Хигмана-Неймана-Неймана. Ульд Хусин доказал:

Для каждой счетной группы грамм существует 2-образующая SQ-универсальная группа ЧАС такой, что грамм можно вложить в любое нетривиальное частное ЧАС.^[9]

Некоторые элементарные свойства SQ-универсальных групп

Бесплатная группа на счетно много генераторов час₁, час₂, ..., час_п, ..., скажем, должны быть вложимы в фактор SQ-универсальной группы грамм. Если ${ displaystyle h_ {1} ^ {*}, h_ {2} ^ {*}, dots, h_ {n} ^ {*} dots in G}$ выбраны так, что ${ displaystyle h_ {n} ^ {*} mapsto h_ {n}}$ для всех п, то они должны свободно порождать свободную подгруппу грамм. Следовательно:

Каждая SQ-универсальная группа имеет в качестве подгруппы свободную группу со счетным числом образующих.

Поскольку всякая счетная группа вкладывается в счетную группу простая группа, часто бывает достаточно рассмотреть вложения простых групп. Это наблюдение позволяет нам легко доказать некоторые элементарные результаты о SQ-универсальных группах, например:

Если грамм является SQ-универсальной группой и N это нормальная подгруппа из грамм (т.е.

{ Displaystyle N треугольникleft G}

) то либо N является SQ-универсальным или факторгруппа грамм/N является SQ-универсальным.

Чтобы доказать это, предположим N не является SQ-универсальной, то существует счетная группа K которые не могут быть вложены в фактор-группу N. Позволять ЧАС - любая счетная группа, то прямой продукт ЧАС × K также счетна и, следовательно, может быть вложена в счетную простую группу S. Теперь, по предположению, грамм SQ-универсален, поэтому S может быть вложено в фактор-группу, грамм/M, скажем, из грамм. Второй теорема об изоморфизме говорит нам:

{ Displaystyle MN / M cong N / (M cap N)}

Сейчас же ${ Displaystyle MN / M треугольникleft G / M}$ и S простая подгруппа грамм/M так что либо:

{ Displaystyle MN / M cap S cong 1}

или же:

{ Displaystyle S substeq MN / M cong N / (M cap N)}

.

Последнее не может быть правдой, потому что подразумевает K ⊆ ЧАС × K ⊆ S ⊆ N/(M ∩ N) вопреки нашему выбору K. Следует, что S можно вложить в (грамм/M)/(MN/M), который к третьему теорема об изоморфизме изоморфен грамм/MN, который, в свою очередь, изоморфен (грамм/N)/(MN/N). Таким образом S был вложен в фактор-группу грамм/N, и с тех пор ЧАС ⊆ S произвольная счетная группа, отсюда следует, что грамм/N является SQ-универсальным.

Поскольку каждый подгруппа ЧАС из конечный индекс в группе грамм содержит нормальную подгруппу N также конечного индекса в грамм,^[10] легко следует, что:

Если группа грамм SQ-универсальна, то любая подгруппа конечного индекса ЧАС из грамм. Верно и обратное утверждение.^[11]

Варианты и обобщения SQ-универсальности

В литературе встречается несколько вариантов SQ-универсальности. Следует предупредить читателя, что терминология в этой области еще не полностью устойчива, и при чтении этого раздела следует помнить об этом.

Позволять ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ - класс групп. (Для целей этого раздела группы определяются вплоть до изоморфизм ) Группа грамм называется SQ-универсал в своем классе ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ если ${ displaystyle G in { mathcal {P}}}$ и каждая счетная группа в ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ изоморфна подгруппе частного грамм. Можно доказать следующий результат:

Позволять п, м ∈ Z куда м странно,

{ displaystyle n> 10 ^ {78}}

и м > 1, и пусть B(м, п) - свободный m-генератор Бернсайд группа, то каждый не-циклический подгруппа B(м, п) является SQ-универсальным в классе групп экспоненты п.

Позволять ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ - класс групп. Группа грамм называется SQ-универсал для своего класса ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ если каждая группа в ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ изоморфна подгруппе частного грамм. Обратите внимание, что нет требования, чтобы ${ displaystyle G in { mathcal {P}}}$ ни что какие-либо группы были счетными.

Стандартное определение SQ-универсальности эквивалентно SQ-универсальности как в и за класс счетных групп.

Учитывая счетную группу грамм, назовем SQ-универсальную группу ЧАС грамм-стабильный, если каждая нетривиальная фактор-группа ЧАС содержит копию грамм. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ - класс конечно определенных SQ-универсальных групп, которые грамм-стабильно для некоторых грамм тогда версия Houcine теоремы HNN, которую можно переформулировать как:

Свободная группа на двух образующих SQ-универсальна. за

{ Displaystyle { mathcal {G}}}

.

Однако существует несчетное количество конечно порожденных групп, и счетная группа может иметь только счетное число конечно порожденных подгрупп. Из этого легко увидеть, что:

Ни одна группа не может быть SQ-универсальной в

{ Displaystyle { mathcal {G}}}

.

An бесконечный учебный класс ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ групп обернутый если даны какие-либо группы ${ displaystyle F, G in { mathcal {P}}}$ существует простая группа S и группа ${ displaystyle H in { mathcal {P}}}$ такой, что F и грамм может быть встроен в S и S может быть встроен в ЧАС. Легко доказать:

Если

{ displaystyle { mathcal {P}}}

оборачиваемый класс групп, грамм SQ-универсал для

{ displaystyle { mathcal {P}}}

и

{ Displaystyle N треугольникleft G}

тогда либо N SQ-универсален для

{ displaystyle { mathcal {P}}}

или же грамм/N SQ-универсален для

{ displaystyle { mathcal {P}}}

.

Если

{ displaystyle { mathcal {P}}}

оборачиваемый класс групп и ЧАС имеет конечный индекс в грамм тогда грамм SQ-универсален для класса

{ displaystyle { mathcal {P}}}

если и только если ЧАС SQ-универсален для

{ displaystyle { mathcal {P}}}

.

Мотивация к определению оборачиваемого класса исходит из таких результатов, как Теорема Буна-Хигмана, который утверждает, что счетная группа грамм имеет разрешимую проблему слова тогда и только тогда, когда его можно вложить в простую группу S которое может быть вложено в конечно определенную группу F. Хусин показал, что группа F может быть сконструирован так, что он тоже имеет разрешимую проблему со словом. Это вместе с тем фактом, что прямое произведение двух групп сохраняет разрешимость проблемы слов, показывает, что:

Класс всех конечно представленный группы с растворимыми проблема со словом можно обернуть.

Другие примеры оборачиваемых классов групп:

Класс конечные группы.
Класс групп без кручения.
Класс счетных групп без кручения.
Класс всех групп данного бесконечного мощность.

Дело в том, что класс ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ оборачиваемость не означает, что какие-либо группы являются SQ-универсальными для ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ . Ясно, например, что какое-то ограничение мощности для членов ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ необходимо.

Если мы заменим фразу «изоморфна подгруппе частного из» на «изоморфна подгруппе из» в определении «SQ-универсального», мы получим более сильное понятие S-универсальный (соответственно S-универсальный для / в ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ ). Теорема вложения Хигмана может быть использована для доказательства того, что существует конечно представленная группа, содержащая копию каждой конечно определенной группы. Если ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ является классом всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов, то известно, что не существует равномерного алгоритм решить проблему слов для групп в ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ . Отсюда следует, хотя доказательство не так просто, как можно было бы ожидать, что ни одна группа в ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ может содержать копию каждой группы в ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ . Но ясно, что любая SQ-универсальная группа a fortiori SQ-универсальный для ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ . Если мы позволим ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ - класс конечно определенных групп, а F₂ - свободная группа на двух генераторах, мы можем резюмировать это как:

F₂ является SQ-универсальным в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ .
Существует группа, S-универсальная в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ .
Ни одна группа не является S-универсальной в ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ .

Открыты следующие вопросы (второй подразумевает первый):

Существует ли счетная группа, которая не является SQ-универсальной, но является SQ-универсальной? за ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ ?
Существует ли счетная группа, которая не является SQ-универсальной, но является SQ-универсальной? в ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ ?

Хотя доказать, что F₂ SQ-универсален, то что он SQ-универсален для класса конечных групп легко следует из этих двух фактов:

Каждый симметричная группа на конечном множестве могут быть порождены двумя элементами
Каждую конечную группу можно вложить внутрь симметрической группы, естественной из которых является Кэли группа, которая является симметрической группой, действующей на этой группе как конечное множество.

SQ-универсальность в других категориях

Если ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ это категория и ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ это класс объекты из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ , то определение SQ-универсальный для ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ ясно имеет смысл. Если ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ это конкретная категория, то определение SQ-универсал в ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ тоже имеет смысл. Как и в теоретико-групповом случае, мы используем термин SQ-универсальный для объекта, который одновременно является SQ-универсальным. за и в класс счетных объектов ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ .

Многие теоремы вложения можно переформулировать в терминах SQ-универсальности. Теорема Ширшова о том, что Алгебра Ли конечной или счетной размерности может быть вложена в алгебру Ли с 2 образующими, что эквивалентно утверждению, что алгебра Ли без 2 образующих является SQ-универсальной (в категории алгебр Ли). Это можно доказать, доказав версию теоремы Хигмана, Неймана, Неймана для алгебр Ли.^[12] Однако версии теоремы HNN могут быть доказаны для категорий, в которых нет четкого представления о свободном объекте. Например, можно доказать, что каждый отделяемый топологическая группа изоморфна топологической подгруппе группы, имеющей два топологических образующих (т. е. имеющую плотный 2-образная подгруппа).^[13]

Аналогичная концепция верна для свободные решетки. Свободная решетка в трех образующих счетно бесконечна. В качестве подрешетки он имеет свободную решетку из четырех образующих и, по индукции, как подрешетку, свободную решетку из счетного числа образующих.^[14]