Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра. - Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence

В математика, особенно в областях групповые когомологии, гомологическая алгебра и теория чисел, то Спектральная последовательность Линдона или же Спектральная последовательность Хохшильда – Серра. это спектральная последовательность связывая групповые когомологии нормальной подгруппы N и фактор-группа грамм/N когомологиям полной группы грамм. Спектральная последовательность названа в честь Роджер Линдон, Герхард Хохшильд, и Жан-Пьер Серр.

утверждение

Точное заявление выглядит следующим образом:

Позволять грамм быть группа и N быть нормальная подгруппа. Последнее гарантирует, что частное грамм/N это тоже группа. Наконец, пусть А быть грамм-модуль. Тогда существует спектральная последовательность когомологического типа

${displaystyle H ^ {p} (G / N, H ^ {q} (N, A)) o H ^ {p + q} (G, A)}$

и существует спектральная последовательность гомологического типа

${displaystyle H_ {p} (G / N, H_ {q} (N, A)) o H_ {p + q} (G, A)}$.

То же утверждение верно, если грамм это проконечная группа, N это закрыто нормальная подгруппа и ЧАС* обозначает непрерывные когомологии.

Пример: когомологии группы Гейзенберга.

Спектральная последовательность может использоваться для вычисления гомологии Группа Гейзенберга грамм с целыми элементами, т.е. матрицами вида

${displaystyle left ({egin {array} {ccc} 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1end {array}} ight), a, b, cin mathbb {Z}.}$

Эта группа центральное расширение

${displaystyle 0 o mathbb {Z} o G o mathbb {Z} oplus mathbb {Z} o 0}$

с центр ${displaystyle mathbb {Z}}$ соответствующей подгруппе с а=c= 0. Спектральная последовательность для групповых гомологий вместе с анализом дифференциала в этой спектральной последовательности показывает, что^[1]

${displaystyle H_ {i} (G, mathbb {Z}) = left {{egin {array} {cc} mathbb {Z} & i = 0,3 mathbb {Z} oplus mathbb {Z} & i = 1,2 0 & i> 3.end {array}} ight.}$

Пример: когомологии сплетений.

Для группы грамм, то венок это расширение

${displaystyle 1 o G ^ {p} o Gwr mathbb {Z} / p o mathbb {Z} / p o 1.}$

Результирующая спектральная последовательность групповых когомологий с коэффициентами в поле k,

${displaystyle H ^ {r} (mathbb {Z} / p, H ^ {s} (G ^ {p}, k)) Стрелка вправо H ^ {r + s} (Gwr mathbb {Z} / p, k), }$

как известно, вырождается на ${displaystyle E_ {2}}$-страница.^[2]

Характеристики

Связанный пятичленная точная последовательность это обычный точная последовательность ограничения инфляции:

${displaystyle 0 o H ^ {1} (G / N, A ^ {N}) o H ^ {1} (G, A) o H ^ {1} (N, A) ^ {G / N} o H ^ {2} (G / N, A ^ {N}) o H ^ {2} (G, A).}$

Обобщения

Спектральная последовательность является примером более общего Спектральная последовательность Гротендика композиции двух производных функторов. В самом деле, ${displaystyle H ^ {*} (G, -)}$ это производный функтор из ${displaystyle (-) ^ {G}}$ (т.е. взяв грамм-инварианты) и композиции функторов ${displaystyle (-) ^ {N}}$ и ${displaystyle (-) ^ {G / N}}$ точно ${displaystyle (-) ^ {G}}$.

Подобная спектральная последовательность существует и для групповых гомологий, в отличие от групповых когомологий.^[3]

Рекомендации

• Линдон, Роджер С. (1948), "Теория когомологий расширений групп", Математический журнал герцога, 15 (1): 271–292, Дои:10.1215 / S0012-7094-48-01528-2, ISSN  0012-7094 (платный)
• Хохшильд, Герхард; Серр, Жан-Пьер (1953), «Когомологии расширений групп», Труды Американского математического общества, 74 (1): 110–134, Дои:10.2307/1990851, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990851, Г-Н  0052438
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, Г-Н  1737196, Zbl  0948.11001