Спектральная последовательность - Spectral sequence

В гомологическая алгебра и алгебраическая топология, а спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологий с помощью последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точные последовательности, а с момента их введения Жан Лере  (1946 ), они стали важными вычислительными инструментами, особенно в алгебраическая топология, алгебраическая геометрия и гомологическая алгебра.

Открытие и мотивация

На почве проблем в алгебраическая топология, Жан Лерэ ввел понятие пучок и столкнулся с проблемой вычислений когомологии пучков. Для вычисления когомологий пучков Лерэ ввел вычислительную технику, которая теперь известна как Спектральная последовательность Лере. Это дало связь между группами когомологий пучка и группами когомологий пучка. продвижение связки. Отношения включали бесконечный процесс. Лере обнаружил, что группы когомологий прямого форварда образуют естественный цепной комплекс, так что он мог взять когомологии когомологий. Это все еще не было когомологией исходного пучка, но в определенном смысле это было на шаг ближе. Когомологии когомологий снова образуют цепной комплекс, а его когомологии образуют цепной комплекс и т. Д. Предел этого бесконечного процесса был по существу таким же, как и у групп когомологий исходного пучка.

Вскоре стало понятно, что вычислительная техника Лере является примером более общего явления. Спектральные последовательности были обнаружены в различных ситуациях, и они давали сложные отношения между группами гомологий и когомологий, возникающими из геометрических ситуаций, таких как расслоения и из алгебраических ситуаций, включающих производные функторы. Хотя их теоретическое значение снизилось с момента введения производные категории, они по-прежнему являются наиболее эффективным доступным вычислительным инструментом. Это верно даже тогда, когда многие члены спектральной последовательности не поддаются расчету.

К сожалению, из-за большого количества информации, передаваемой в спектральных последовательностях, их трудно понять. Эта информация обычно содержится в решетке третьего ранга абелевы группы или же модули. Самыми простыми случаями являются те, в которых спектральная последовательность в конечном итоге схлопывается, а это означает, что дальнейшее продвижение по последовательности не дает новой информации. Даже когда этого не происходит, часто можно получить полезную информацию из спектральной последовательности с помощью различных уловок.

Формальное определение

Эта секция может быть сбивает с толку или неясно читателям. Пожалуйста, помоги нам прояснить раздел. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Октябрь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Определение

Исправить абелева категория, например, категория модули через звенеть. А когомологический спектральная последовательность выбор неотрицательного целого числа ${ displaystyle r_ {0}}$ и набор из трех последовательностей:

1. Для всех целых чисел ${ displaystyle r geq r_ {0}}$, объект ${ displaystyle E_ {r}}$, называется простынь (как в листе бумага ), а иногда и страница или срок;
2. Эндоморфизмы ${ displaystyle d_ {r} двоеточие E_ {r} to E_ {r}}$ удовлетворение ${ displaystyle d_ {r} circ d_ {r} = 0}$, называется карты границ или же дифференциалы;
3. Изоморфизмы ${ displaystyle E_ {r + 1}}$ с ${ displaystyle H (E_ {r})}$, гомологии ${ displaystyle E_ {r}}$ относительно ${ displaystyle d_ {r}}$.

Обычно изоморфизмы между ${ displaystyle E_ {r + 1}}$ и ${ displaystyle H (E_ {r})}$ подавляются, и вместо этого мы пишем равенства. Иногда ${ displaystyle E_ {r + 1}}$ называется производный объект из ${ displaystyle E_ {r}}$.^{[нужна цитата ]}

Спектральная последовательность из цепного комплекса

Самый элементарный пример - это цепной комплекс C_•. Объект C_• в абелевой категории цепных комплексов имеет дифференциал d. Позволять р₀ = 0, и пусть E₀ быть C_•. Это заставляет E₁ быть сложным ЧАС(C_•): На яместо это ягруппа гомологии C_•. Единственным естественным дифференциалом в этом новом комплексе является нулевое отображение, поэтому мы положим d₁ = 0. Это заставляет ${ displaystyle E_ {2}}$ в равной ${ displaystyle E_ {1}}$, и снова наш единственный естественный дифференциал - это нулевое отображение. Помещение нулевого дифференциала на все остальные наши листы дает спектральную последовательность, члены которой:

• E₀ = C_•
• E_р = ЧАС(C_•) для всех р ≥ 1.

Члены этой спектральной последовательности стабилизируются на первом листе, поскольку ее единственный нетривиальный дифференциал находится на нулевом листе. Следовательно, мы не сможем получить больше информации на более поздних этапах. Обычно, чтобы получить полезную информацию из последующих листов, нам нужна дополнительная структура на ${ displaystyle E_ {r}}$.

Типы спектральных последовательностей

В неклассифицированной ситуации, описанной выше, р₀ не имеет значения, но на практике большинство спектральных последовательностей попадают в категорию дважды градуированных модули через звенеть р (или дважды оцененный снопы модулей над пучком колец). В этом случае каждый лист представляет собой дважды градуированный модуль, поэтому он распадается как прямая сумма членов с одним членом для каждой возможной бистепени. Граничная карта определяется как прямая сумма граничных карт на каждом из элементов листа. Их степень зависит от р и устанавливается по соглашению. Для гомологическая спектральная последовательность, условия написаны ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}}$ и дифференциалы имеют бидегри (− р,р - 1). Для когомологической спектральной последовательности члены записываются ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ и дифференциалы имеют бидегри (р, 1 − р). (Этот выбор бистепени происходит естественным образом на практике; см. Пример двойного комплекса ниже.) В зависимости от спектральной последовательности карта границ на первом листе может иметь степень, которая соответствует р = 0, р = 1 или р = 2. Например, для спектральной последовательности фильтрованного комплекса, описанной ниже, р₀ = 0, но для Спектральная последовательность Гротендика, р₀ = 2. Обычно р₀ равно нулю, единице или двум.

Категориальные свойства

Морфизм спектральных последовательностей E → E ' по определению является набором карт ж_р : E_р → E '_р согласованные с дифференциалами и заданными изоморфизмами когомологий рй шаг и (г + 1)й листы E и E ' , соответственно.

Интерпретация как фильтрация циклов и границ

Позволять E_р - спектральная последовательность, начиная, скажем, р = 1. Тогда существует последовательность подобъектов

${ displaystyle 0 = B_ {0} subset B_ {1} subset B_ {2} subset dots subset B_ {r} subset dots subset Z_ {r} subset dots subset Z_ {2 } subset Z_ {1} subset Z_ {0} = E_ {1}}$

такой, что ${ Displaystyle E_ {r} simeq Z_ {r-1} / B_ {r-1}}$; действительно, рекурсивно мы позволяем ${ displaystyle Z_ {0} = E_ {1}, B_ {0} = 0}$ и разреши ${ displaystyle Z_ {r}, B_ {r}}$ быть так, чтобы ${ Displaystyle Z_ {r} / B_ {r-1}, B_ {r} / B_ {r-1}}$ ядро и образ ${ displaystyle E_ {r} { overset {d_ {r}} { to}} E_ {r}.}$

Затем мы позволяем ${ displaystyle Z _ { infty} = cap _ {r} Z_ {r}, B _ { infty} = cup _ {r} B_ {r}}$ и

${ Displaystyle E _ { infty} = Z _ { infty} / B _ { infty}}$;

это называется предельным сроком. (Конечно, такие ${ displaystyle E _ { infty}}$ нет необходимости существовать в категории, но обычно это не проблема, поскольку, например, в категории модулей такие ограничения существуют или поскольку на практике спектральная последовательность, с которой работаете, имеет тенденцию к вырождению; в приведенной выше последовательности есть только конечное число включений.)

Визуализация

E₂ лист когомологической спектральной последовательности

Двукратно дифференцированная спектральная последовательность содержит огромное количество данных, которые необходимо отслеживать, но есть общий метод визуализации, который делает структуру спектральной последовательности более ясной. У нас есть три индекса, р, п, и q. Для каждого р, представьте, что у нас есть лист миллиметровой бумаги. На этом листе мы возьмем п быть горизонтальным направлением и q быть вертикальным направлением. В каждой точке решетки есть объект ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$.

Это очень распространено для п = п + q быть еще одним естественным индексом в спектральной последовательности. п проходит по диагонали, с северо-запада на юго-восток, через каждый лист. В гомологическом случае дифференциалы имеют бистепень (-р, р - 1), поэтому они уменьшаются п одним. В когомологическом случае п увеличивается на единицу. Когда р равен нулю, дифференциал перемещает объекты на одну позицию вниз или вверх. Это похоже на дифференциал на цепном комплексе. Когда р единица, дифференциал перемещает объекты на одно деление влево или вправо. Когда р два, дифференциал перемещает объекты так же, как рыцарь переехать шахматы. Для высших р, дифференциал действует как обобщенный ход коня.

Отработанные примеры

При первом изучении спектральных последовательностей часто бывает полезно работать с простыми вычислительными примерами. Для более формального и полного обсуждения см. Разделы ниже. Для примеров в этом разделе достаточно использовать это определение: говорят, что спектральная последовательность сходится к ЧАС с возрастающей фильтрацией F если ${ Displaystyle E_ {p, q} ^ { infty} = F_ {p} H_ {p + q} / F_ ​​{p-1} H_ {p + q}}$. Примеры ниже показывают, как можно связать такие фильтрации с ${ displaystyle E ^ {2}}$-терм в виде точных последовательностей; много точных последовательностей в приложениях (например, Последовательность гизина ) возникают таким образом.

2 ненулевых соседних столбца

Позволять ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}}$ - гомологическая спектральная последовательность такая, что ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = 0}$ для всех п кроме 0, 1. Визуально это спектральная последовательность с ${ displaystyle E ^ {2}}$-страница

${ displaystyle { begin {matrix} & vdots & vdots & vdots & vdots & cdots & 0 & E_ {0,2} ^ {2} & E_ {1,2} ^ {2} & 0 & cdots cdots & 0 & E_ {0,1} ^ {2} & E_ {1,1} ^ {2} & 0 & cdots cdots & 0 & E_ {0,0} ^ {2} & E_ {1,0} ^ {2} & 0 & cdots cdots & 0 & E_ {0, -1} ^ {2} & E_ {1, -1} ^ {2} & 0 & cdots & vdots & vdots & vdots & vdots & end { матрица}}}$

Дифференциалы на второй странице имеют степень (-2, 1), поэтому они имеют вид

${ displaystyle d_ {p, q} ^ {2}: E_ {p, q} ^ {2} to E_ {p-2, q + 1} ^ {2}}$

Эти карты все равны нулю, так как они

${ displaystyle d_ {0, q} ^ {2}: E_ {0, q} ^ {2} to 0}$, ${ displaystyle d_ {1, q} ^ {2}: E_ {1, q} ^ {2} to 0}$

следовательно, спектральная последовательность вырождается: ${ Displaystyle E ^ { infty} = E ^ {2}}$. Скажем, сходится к ${ displaystyle H _ {*}}$ с фильтрацией

${ displaystyle 0 = F _ {- 1} H_ {n} subset F_ {0} H_ {n} subset dots subset F_ {n} H_ {n} = H_ {n}}$

такой, что ${ Displaystyle E_ {p, q} ^ { infty} = F_ {p} H_ {p + q} / F_ ​​{p-1} H_ {p + q}}$. потом ${ displaystyle F_ {0} H_ {n} = E_ {0, n} ^ {2}}$, ${ displaystyle F_ {1} H_ {n} / F_ ​​{0} H_ {n} = E_ {1, n-1} ^ {2}}$, ${ displaystyle F_ {2} H_ {n} / F_ ​​{1} H_ {n} = 0}$, ${ displaystyle F_ {3} H_ {n} / F_ ​​{2} H_ {n} = 0}$и т.д. Таким образом, существует точная последовательность:^[1]

${ Displaystyle 0 к E_ {0, n} ^ {2} к H_ {n} к E_ {1, n-1} ^ {2} to 0}$.

Далее пусть ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}}$ - спектральная последовательность, вторая страница которой состоит всего из двух строк q = 0, 1. Это не обязательно должно вырождаться на второй странице, но оно все равно вырождается на третьей странице, поскольку дифференциалы там имеют степень (-3, 2). Примечание ${ displaystyle E_ {p, 0} ^ {3} = operatorname {ker} (d: E_ {p, 0} ^ {2} to E_ {p-2,1} ^ {2})}$, так как знаменатель равен нулю. По аналогии, ${ displaystyle E_ {p, 1} ^ {3} = operatorname {coker} (d: E_ {p + 2,0} ^ {2} to E_ {p, 1} ^ {2})}$. Таким образом,

${ displaystyle 0 to E_ {p, 0} ^ { infty} to E_ {p, 0} ^ {2} { overset {d} { to}} E_ {p-2,1} ^ { 2} к E_ {p-2,1} ^ { infty} to 0}$.

Теперь, скажем, спектральная последовательность сходится к ЧАС с фильтрацией F как в предыдущем примере. С ${ Displaystyle F_ {p-2} H_ {p} / F_ ​​{p-3} H_ {p} = E_ {p-2,2} ^ { infty} = 0}$, ${ Displaystyle F_ {p-3} H_ {p} / F_ ​​{p-4} H_ {p} = 0}$и др. имеем: ${ displaystyle 0 к E_ {p-1,1} ^ { infty} to H_ {p} to E_ {p, 0} ^ { infty} to 0}$. Собирая все вместе, получаем:^[2]

${ displaystyle cdots to H_ {p + 1} to E_ {p + 1,0} ^ {2} { overset {d} { to}} E_ {p-1,1} ^ {2} to H_ {p} to E_ {p, 0} ^ {2} { overset {d} { to}} E_ {p-2,1} ^ {2} to H_ {p-1} в точки.}$

Последовательность Ванга

Вычисление в предыдущем разделе является простым обобщением. Рассмотрим расслоение над сферой:

${ Displaystyle F { overset {i} { to}} E { overset {p} { to}} S ^ {n}}$

с п не менее 2. Есть Спектральная последовательность Серра:

${ Displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} (S ^ {n}; H_ {q} (F)) Rightarrow H_ {p + q} (E)}$;

то есть, ${ Displaystyle E_ {p, q} ^ { infty} = F_ {p} H_ {p + q} (E) / F_ ​​{p-1} H_ {p + q} (E)}$ с некоторой фильтрацией ${ displaystyle F _ { bullet}}$.С ${ displaystyle H_ {p} (S ^ {n})}$ отличен от нуля только тогда, когда п равно нулю или п и равно Z в этом случае мы видим ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {2}}$ состоит всего из двух строк ${ displaystyle p = 0, n}$, следовательно ${ displaystyle E ^ {2}}$-страница предоставлена

${ displaystyle { begin {matrix} & vdots & vdots & vdots && vdots & vdots & vdots & cdots & 0 & E_ {0,2} ^ {2} & 0 & cdots & 0 & E_ {n, 2 } ^ {2} & 0 & cdots cdots & 0 & E_ {0,1} ^ {2} & 0 & cdots & 0 & E_ {n, 1} ^ {2} & 0 & cdots cdots & 0 & E_ {0,0} ^ { 2} & 0 & cdots & 0 & E_ {n, 0} ^ {2} & 0 & cdots end {matrix}}}$

Более того, поскольку

${ Displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} (S ^ {n}; H_ {q} (F)) = H_ {q} (F)}$

за ${ displaystyle p = 0, n}$ посредством теорема об универсальном коэффициенте, то ${ displaystyle E ^ {2}}$ страница выглядит как

${ displaystyle { begin {matrix} & vdots & vdots & vdots && vdots & vdots & vdots & cdots & 0 & H_ {2} (F) & 0 & cdots & 0 & H_ {2} (F) & 0 & cdots cdots & 0 & H_ {1} (F) & 0 & cdots & 0 & H_ {1} (F) & 0 & cdots cdots & 0 & H_ {0} (F) & 0 & cdots & 0 & H_ {0} (F) & 0 & cdots конец {матрица}}}$

Поскольку единственные ненулевые дифференциалы находятся на ${ displaystyle E ^ {n}}$-страница, предоставленная

${ displaystyle d_ {n, q} ^ {n}: E_ {n, q} ^ {n} to E_ {0, q + n-1} ^ {n}}$

который

${ displaystyle d_ {n, q} ^ {n}: H_ {q} (F) to H_ {q + n-1} (F)}$

спектральная последовательность сходится на ${ Displaystyle E ^ {п + 1} = E ^ { infty}}$. Вычисляя ${ displaystyle E ^ {n + 1}}$ мы получаем точную последовательность

${ Displaystyle 0 к E_ {n, qn} ^ { infty} к E_ {n, qn} ^ {n} { overset {d} { to}} E_ {0, q-1} ^ { n} в E_ {0, q-1} ^ { infty} в 0.}$

и записанный с использованием групп гомологии, это

${ displaystyle 0 к E_ {n, qn} ^ { infty} to H_ {qn} (F) { overset {d} { to}} H_ {q-1} (F) to E_ { 0, q-1} ^ { infty} to 0.}$

Чтобы установить, что два ${ displaystyle E ^ { infty}}$-термы, напишите ${ Displaystyle H = H (E)}$, и с тех пор ${ Displaystyle F_ {1} H_ {q} / F_ ​​{0} H_ {q} = E_ {1, q-1} ^ { infty} = 0}$и др. имеем: ${ displaystyle E_ {n, q-n} ^ { infty} = F_ {n} H_ {q} / F_ ​​{0} H_ {q}}$ и, таким образом, поскольку ${ displaystyle F_ {n} H_ {q} = H_ {q}}$,

${ Displaystyle 0 в E_ {0, q} ^ { infty} в H_ {q} в E_ {n, q-n} ^ { infty} в 0.}$

Это точная последовательность

${ Displaystyle 0 к H_ {q} (F) к H_ {q} (E) к H_ {q-n} (F) к 0.}$

Сложив все вычисления вместе, получаем:^[3]

${ displaystyle dots to H_ {q} (F) { overset {i _ {*}} { to}} H_ {q} (E) to H_ {qn} (F) { overset {d} { to}} H_ {q-1} (F) { overset {i _ {*}} { to}} H_ {q-1} (E) to H_ {qn-1} (F) to точки}$

(The Последовательность гизина получается аналогично.)

Условия низкой степени

С очевидным изменением обозначений тип вычислений в предыдущих примерах может быть выполнен и для когомологической спектральной последовательности. Позволять ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ - спектральная последовательность первого квадранта, сходящаяся к ЧАС с убывающей фильтрацией

${ displaystyle 0 = F ^ {n + 1} H ^ {n} subset F ^ {n} H ^ {n} subset dots subset F ^ {0} H ^ {n} = H ^ {n }}$

так что ${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q} = F ^ {p} H ^ {p + q} / F ^ {p + 1} H ^ {p + q}.}$С ${ displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ равно нулю, если п или же q отрицательно, имеем:

${ Displaystyle 0 к E _ { infty} ^ {0,1} к E_ {2} ^ {0,1} { overset {d} { to}} E_ {2} ^ {2,0} to E _ { infty} ^ {2,0} to 0.}$

С ${ Displaystyle E _ { infty} ^ {1,0} = E_ {2} ^ {1,0}}$ по той же причине и с тех пор ${ displaystyle F ^ {2} H ^ {1} = 0,}$

${ displaystyle 0 to E_ {2} ^ {1,0} to H ^ {1} to E _ { infty} ^ {0,1} to 0}$.

С ${ displaystyle F ^ {3} H ^ {2} = 0}$, ${ displaystyle E _ { infty} ^ {2,0} subset H ^ {2}}$. Складывая последовательности вместе, мы получаем так называемый пятичленная точная последовательность:

${ displaystyle 0 to E_ {2} ^ {1,0} to H ^ {1} to E_ {2} ^ {0,1} { overset {d} { to}} E_ {2} ^ {2,0} to H ^ {2}.}$

Карты краев и нарушения

Гомологические спектральные последовательности

Позволять ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}}$ - спектральная последовательность. Если ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r} = 0}$ для каждого q <0, то должно быть так: для р ≥ 2,

${ displaystyle E_ {p, 0} ^ {r + 1} = operatorname {ker} (d: E_ {p, 0} ^ {r} to E_ {p-r, r-1} ^ {r})}$

поскольку знаменатель равен нулю. Следовательно, существует последовательность мономорфизмов:

${ displaystyle E_ {p, 0} ^ {r} to E_ {p, 0} ^ {r-1} to dots to E_ {p, 0} ^ {3} to E_ {p, 0 } ^ {2}}$.

Их называют краевыми картами. Аналогично, если ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r} = 0}$ для каждого п <0, то существует последовательность эпиморфизмов (также называемых картами ребер):

${ displaystyle E_ {0, q} ^ {2} to E_ {0, q} ^ {3} to dots to E_ {0, q} ^ {r-1} to E_ {0, q } ^ {r}}$.

В нарушение является частично определенным отображением (точнее, отображение подобъекта в частное )

${ displaystyle tau: E_ {p, 0} ^ {2} to E_ {0, p-1} ^ {2}}$

дано как композиция ${ displaystyle E_ {p, 0} ^ {2} to E_ {p, 0} ^ {p} { overset {d} { to}} E_ {0, p-1} ^ {p} to E_ {0, p-1} ^ {2}}$, первая и последняя карты являются инверсиями краевых карт.^[4]

Когомологические спектральные последовательности

Для спектральной последовательности ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ когомологического типа справедливы аналогичные утверждения. Если ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} = 0}$ для каждого q <0, то существует последовательность эпиморфизмов

${ displaystyle E_ {2} ^ {p, 0} to E_ {3} ^ {p, 0} to dots to E_ {r-1} ^ {p, 0} to E_ {r} ^ {p, 0}}$.

И если ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} = 0}$ для каждого п <0, то существует последовательность мономорфизмов:

${ displaystyle E_ {r} ^ {0, q} to E_ {r-1} ^ {0, q} to dots to E_ {3} ^ {0, q} to E_ {2} ^ {0, q}}$.

Преступление - это не обязательно четко определенная карта:

${ displaystyle tau: E_ {2} ^ {0, q-1} to E_ {2} ^ {q, 0}}$

индуцированный ${ displaystyle d: E_ {q} ^ {0, q-1} to E_ {q} ^ {q, 0}}$.

Заявление

Определение этих карт имеет фундаментальное значение для вычисления многих дифференциалов в Спектральная последовательность Серра. Например, карта трансгрессии определяет дифференциал^{[5]pg 540,564}

${ displaystyle d_ {n}: E_ {n, 0} ^ {n} to E_ {0, n-1} ^ {n}}$

для гомологической спектральной спектральной последовательности, следовательно, на спектральной последовательности Серра для расслоения ${ Displaystyle от F до E до B}$ дает карту

${ displaystyle d_ {n}: H_ {n} (B) to H_ {n-1} (F)}$

Мультипликативная структура

А чашка продукта дает кольцевая структура в группу когомологий, превратив ее в кольцо когомологий. Таким образом, естественно рассматривать спектральную последовательность также с кольцевой структурой. Позволять ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ - спектральная последовательность когомологического типа. Мы говорим, что он имеет мультипликативную структуру, если (i) ${ displaystyle E_ {r}}$ (двойные) дифференциальные градуированные алгебры и (ii) умножение на ${ displaystyle E_ {r + 1}}$ индуцируется тем, что на ${ displaystyle E_ {r}}$ через переход к когомологиям.

Типичный пример - когомологический Спектральная последовательность Серра для расслоения ${ Displaystyle от F до E до B}$, когда группа коэффициентов представляет собой кольцо р. Он имеет мультипликативную структуру, индуцированную чашечными продуктами волокна и основания на ${ displaystyle E_ {2}}$-страница.^[6] Однако в целом ограничительный срок ${ displaystyle E _ { infty}}$ не изоморфна как градуированная алгебра H (E; р).^[7]Мультипликативная структура может быть очень полезной для вычисления дифференциалов в последовательности.^[8]

Конструкции спектральных последовательностей

Спектральные последовательности могут быть построены разными способами. В алгебраической топологии точная пара, пожалуй, самый распространенный инструмент для построения. В алгебраической геометрии спектральные последовательности обычно строятся из фильтрации коцепных комплексов.

Точные пары

Самый мощный метод построения спектральных последовательностей - это Уильям Мэсси Метод точной пары. Точные пары особенно распространены в алгебраической топологии, где существует множество спектральных последовательностей, для которых не известно никакой другой конструкции. Фактически, все известные спектральные последовательности могут быть построены с использованием точных пар.^{[нужна цитата ]} Несмотря на это, они непопулярны в абстрактной алгебре, где большинство спектральных последовательностей происходит от фильтрованных комплексов. Чтобы определить точные пары, мы снова начнем с абелевой категории. Как и раньше, на практике это обычно категория дважды градуированных модулей над кольцом. An точная пара это пара объектов А и C, вместе с тремя гомоморфизмами между этими объектами: ж : А → А, грамм : А → C и час : C → А при соблюдении определенных условий точности:

• Изображение ж = Ядро грамм
• Изображение грамм = Ядро час
• Изображение час = Ядро ж

Мы будем сокращать эти данные как (А, C, ж, грамм, час). Точные пары обычно изображают в виде треугольников. Мы увидим это C соответствует E₀ член спектральной последовательности и что А это некоторые вспомогательные данные.

Для перехода к следующему листу спектральной последовательности сформируем производная пара. Мы установили:

• d = грамм о час
• А ' = ж(А)
• C ' = Ker d / Я d
• f ' = ж|_{А '}, ограничение ж к А '
• час' : C ' → А ' индуцируется час. Несложно увидеть, что час индуцирует такое отображение.
• грамм' : А ' → C ' определяется на элементах следующим образом: Для каждого а в А ', записывать а в качестве ж(б) для некоторых б в А. грамм'(а) определяется как образ грамм(б) в C '. В целом, грамм' можно построить с помощью одной из теорем вложения для абелевых категорий.

Отсюда легко проверить, что (А ', C ', f ', грамм', час') точная пара. C ' соответствует E₁ член спектральной последовательности. Мы можем повторить эту процедуру, чтобы получить точные пары (А^(п), C^(п), ж^(п), грамм^(п), час^(п)). Мы позволяем E_п быть C^(п) и d_п быть грамм^(п) о час^(п). Это дает спектральную последовательность.

Спектральные последовательности, построенные этим методом

• Спектральная последовательность Серра^[9] - используется для вычисления (ко) гомологии расслоения
• Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха - используется для вычисления (ко) гомологии необычных теорий когомологий, таких как K-теория
• Спектральная последовательность Бокштейна.
• Спектральные последовательности фильтрованных комплексов

Спектральная последовательность фильтруемого комплекса

Очень распространенный тип спектральной последовательности происходит от фильтрованный коцепь комплекс. Это комплекс коцепей C^• вместе с набором подкомплексов F^пC^•, куда п распространяется на все целые числа. (На практике, п обычно ограничен с одной стороны.) Мы требуем, чтобы граничное отображение было согласовано с фильтрацией; это означает, что d(F^пC^п) ⊆ F^пC^п+1. Мы предполагаем, что фильтрация нисходящий, т.е. F^пC^• ⊇ F^п+1C^•. Пронумеруем члены коцепного комплекса п. В дальнейшем мы также будем предполагать, что фильтрация Хаусдорф или же отделенный, то есть пересечение множества всех F^пC^• равен нулю, а фильтрация исчерпывающий, то есть объединение множества всех F^пC^• весь цепной комплекс C^•.

Фильтрация полезна, поскольку дает меру близости к нулю: As п увеличивается, F^пC^• становится все ближе и ближе к нулю. Мы построим спектральную последовательность из этой фильтрации, в которой кограницы и коциклы на более поздних листах становятся все ближе и ближе к кограницам и коциклам в исходном комплексе. Эта спектральная последовательность имеет двойную градацию по степени фильтрации п и дополнительная степень q = п − п. (Дополнительная степень часто является более удобным показателем, чем общая степень п. Например, это верно для спектральной последовательности двойного комплекса, объясненной ниже.)

Построим эту спектральную последовательность вручную. C^• имеет только одну градацию и фильтрацию, поэтому сначала мы создаем объект с двумя градациями из C^•. Чтобы получить вторую оценку, мы возьмем связанный оцениваемый объект по отношению к фильтрации. Напишем необычным способом, который будет обоснован на E₁ шаг:

${ displaystyle Z _ {- 1} ^ {p, q} = Z_ {0} ^ {p, q} = F ^ {p} C ^ {p + q}}$

${ displaystyle B_ {0} ^ {p, q} = 0}$

${ displaystyle E_ {0} ^ {p, q} = { frac {Z_ {0} ^ {p, q}} {B_ {0} ^ {p, q} + Z _ {- 1} ^ {p + 1, q-1}}} = { frac {F ^ {p} C ^ {p + q}} {F ^ {p + 1} C ^ {p + q}}}}$

${ Displaystyle E_ {0} = bigoplus _ {p, q in mathbf {Z}} E_ {0} ^ {p, q}}$

Поскольку мы предполагали, что граничное отображение согласовано с фильтрацией, E₀ является двояковыполненным объектом и существует естественная двояковыпуклая граничная карта d₀ на E₀. Получить E₁, возьмем гомологии E₀.

${ displaystyle { bar {Z}} _ {1} ^ {p, q} = ker d_ {0} ^ {p, q}: E_ {0} ^ {p, q} rightarrow E_ {0} ^ {p, q + 1} = ker d_ {0} ^ {p, q}: F ^ {p} C ^ {p + q} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q} стрелка вправо F ^ {p} C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q + 1}}$

${ displaystyle { bar {B}} _ {1} ^ {p, q} = { mbox {im}} d_ {0} ^ {p, q-1}: E_ {0} ^ {p, q -1} rightarrow E_ {0} ^ {p, q} = { mbox {im}} d_ {0} ^ {p, q-1}: F ^ {p} C ^ {p + q-1} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q-1} rightarrow F ^ {p} C ^ {p + q} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q}}$

${ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = { frac {{ bar {Z}} _ {1} ^ {p, q}} {{ bar {B}} _ {1} ^ { p, q}}} = { frac { ker d_ {0} ^ {p, q}: E_ {0} ^ {p, q} rightarrow E_ {0} ^ {p, q + 1}} { { mbox {im}} d_ {0} ^ {p, q-1}: E_ {0} ^ {p, q-1} rightarrow E_ {0} ^ {p, q}}}}$

${ displaystyle E_ {1} = bigoplus _ {p, q in mathbf {Z}} E_ {1} ^ {p, q} = bigoplus _ {p, q in mathbf {Z}} { frac {{ bar {Z}} _ {1} ^ {p, q}} {{ bar {B}} _ {1} ^ {p, q}}}}$

Заметь ${ displaystyle { bar {Z}} _ {1} ^ {p, q}}$ и ${ displaystyle { bar {B}} _ {1} ^ {p, q}}$ можно записать как изображения в ${ displaystyle E_ {0} ^ {p, q}}$ из

${ displaystyle Z_ {1} ^ {p, q} = ker d_ {0} ^ {p, q}: F ^ {p} C ^ {p + q} rightarrow C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q + 1}}$

${ Displaystyle B_ {1} ^ {p, q} = ({ mbox {im}} d_ {0} ^ {p, q-1}: F ^ {p} C ^ {p + q-1} стрелка вправо C ^ {p + q}) cap F ^ {p} C ^ {p + q}}$

и что тогда у нас есть

${ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = { frac {Z_ {1} ^ {p, q}} {B_ {1} ^ {p, q} + Z_ {0} ^ {p + 1 , q-1}}}.}$

${ displaystyle Z_ {1} ^ {p, q}}$ именно то, что дифференциал поднимает на один уровень фильтрации, и ${ displaystyle B_ {1} ^ {p, q}}$ это в точности образ того, что дифференциал поднимает на нулевые уровни фильтрации. Это говорит о том, что мы должны выбрать ${ displaystyle Z_ {r} ^ {p, q}}$ быть материалом, который поднимает дифференциал р уровни в фильтрации и ${ displaystyle B_ {r} ^ {p, q}}$ быть изображением того, что поднимает дифференциал г-1 уровни в фильтрации. Другими словами, спектральная последовательность должна удовлетворять

${ displaystyle Z_ {r} ^ {p, q} = ker d_ {0} ^ {p, q}: F ^ {p} C ^ {p + q} rightarrow C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + r} C ^ {p + q + 1}}$

${ displaystyle B_ {r} ^ {p, q} = ({ mbox {im}} d_ {0} ^ {p-r + 1, q + r-2}: F ^ {p-r + 1}) C ^ {p + q-1} rightarrow C ^ {p + q}) cap F ^ {p} C ^ {p + q}}$

${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} = { frac {Z_ {r} ^ {p, q}} {B_ {r} ^ {p, q} + Z_ {r-1} ^ {p + 1, q-1}}}}$

и у нас должны быть отношения

${ displaystyle B_ {r} ^ {p, q} = d_ {0} ^ {p, q} (Z_ {r-1} ^ {p-r + 1, q + r-2}).}$

Чтобы это имело смысл, мы должны найти дифференциал d_р на каждой E_р и убедитесь, что это приводит к гомологиям, изоморфным E_р+1. Дифференциал

${ displaystyle d_ {r} ^ {p, q}: E_ {r} ^ {p, q} rightarrow E_ {r} ^ {p + r, q-r + 1}}$

определяется ограничением исходного дифференциала d определено на ${ displaystyle C ^ {p + q}}$ к подобъекту ${ displaystyle Z_ {r} ^ {p, q}}$.

Несложно проверить, что гомологии E_р относительно этого дифференциала E_р+1, так что это дает спектральную последовательность. К сожалению, разница не очень четкая. Определение дифференциалов или поиск способов их обхода - одна из основных задач успешного применения спектральной последовательности.

Приложения

• Может использоваться для создания смешанных конструкций Ходжа.^[10]

Спектральные последовательности, построенные с помощью фильтрованных комплексов

• Спектральная последовательность Ходжа – де Рама
• Спектральная последовательность двойного комплекса

Спектральная последовательность двойного комплекса

Другая распространенная спектральная последовательность - это спектральная последовательность двойного комплекса. А двойной комплекс это набор объектов C_{я, j} для всех целых чисел я и j вместе с двумя дифференциалами, d ^я и d ^II. d ^я предполагается уменьшить я, и d ^II предполагается уменьшить j. Кроме того, мы предполагаем, что дифференциалы антикоммутация, так что d ^я d ^II + d ^II d ^я = 0. Наша цель - сравнить повторные гомологии ${ displaystyle H_ {i} ^ {I} (H_ {j} ^ {II} (C _ { bullet, bullet}))}$ и ${ displaystyle H_ {j} ^ {II} (H_ {i} ^ {I} (C _ { bullet, bullet}))}$. Мы сделаем это, отфильтровав наш двойной комплекс двумя разными способами. Вот наши фильтрации:

${ displaystyle (C_ {i, j} ^ {I}) _ {p} = { begin {cases} 0 & { text {if}} i$

${ displaystyle (C_ {i, j} ^ {II}) _ {p} = { begin {cases} 0 & { text {if}} j$

Чтобы получить спектральную последовательность, сведемся к предыдущему примеру. Мы определяем полный комплекс Т(C_•,•) быть комплексом, пый срок ${ displaystyle bigoplus _ {я + j = n} C_ {i, j}}$ и дифференциал которого d ^я + d ^II. Это сложно, потому что d ^я и d ^II антикоммутирующие дифференциалы. Две фильтрации на C_{я, j} дают две фильтрации на весь комплекс:

${ displaystyle T_ {n} (C _ { bullet, bullet}) _ {p} ^ {I} = bigoplus _ {i + j = n atop i> p-1} C_ {i, j}}$

${ Displaystyle T_ {n} (C _ { bullet, bullet}) _ {p} ^ {II} = bigoplus _ {i + j = n attop j> p-1} C_ {i, j}}$

Чтобы показать, что эти спектральные последовательности дают информацию о повторных гомологиях, мы разработаем E⁰, E¹, и E² условия я фильтрация на Т(C_•,•). В E⁰ срок ясен:

${ displaystyle {} ^ {I} E_ {p, q} ^ {0} = T_ {n} (C _ { bullet, bullet}) _ {p} ^ {I} / T_ {n} (C_ { bullet, bullet}) _ {p + 1} ^ {I} = bigoplus _ {i + j = n atop i> p-1} C_ {i, j} { Big /} bigoplus _ { i + j = n на вершине i> p} C_ {i, j} = C_ {p, q},}$

куда п = п + q.

Чтобы найти E¹ срок, нам необходимо определить d ^я + d ^II на E⁰. Обратите внимание, что дифференциал должен иметь степень −1 по отношению к п, так что мы получаем карту

${ displaystyle d_ {p, q} ^ {I} + d_ {p, q} ^ {II}: T_ {n} (C _ { bullet, bullet}) _ {p} ^ {I} / T_ { n} (C _ { bullet, bullet}) _ {p + 1} ^ {I} = C_ {p, q} rightarrow T_ {n-1} (C _ { bullet, bullet}) _ {p } ^ {I} / T_ {n-1} (C _ { bullet, bullet}) _ {p + 1} ^ {I} = C_ {p, q-1}}$

Следовательно, дифференциал на E⁰ это карта C_п,q → C_п,q−1 индуцированный d ^я + d ^II. Но d ^я имеет неправильную степень, чтобы вызвать такое отображение, поэтому d ^я должен быть нулевым на E⁰. Это означает, что дифференциал точно d ^II, так что получаем

${ displaystyle {} ^ {I} E_ {p, q} ^ {1} = H_ {q} ^ {II} (C_ {p, bullet}).}$

Найти E², нам нужно определить

${ displaystyle d_ {p, q} ^ {I} + d_ {p, q} ^ {II}: H_ {q} ^ {II} (C_ {p, bullet}) rightarrow H_ {q} ^ { II} (C_ {p + 1, bullet})}$

Потому что E¹ была в точности гомология относительно d ^II, d ^II равен нулю на E¹. Следовательно, получаем

${ displaystyle {} ^ {I} E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} ^ {I} (H_ {q} ^ {II} (C _ { bullet, bullet})).}$

Использование другой фильтрации дает нам другую спектральную последовательность с аналогичным E² срок:

${ displaystyle {} ^ {II} E_ {p, q} ^ {2} = H_ {q} ^ {II} (H_ {p} ^ {I} (C _ { bullet, bullet})).}$

Остается найти связь между этими двумя спектральными последовательностями. Оказывается, как р увеличивается, две последовательности станут достаточно похожими, чтобы можно было проводить полезные сравнения.

Конвергенция, дегенерация и упор

В простейшем примере, с которого мы начали, листы спектральной последовательности были постоянными однажды р было не менее 1. В этой настройке имеет смысл взять предел последовательности листов: поскольку после нулевого листа ничего не происходит, ограничивающий лист E_∞ такой же как E₁.

В более общих ситуациях ограничивающие листы часто существуют и всегда интересны. Это один из самых мощных аспектов спектральных последовательностей. Мы говорим, что спектральная последовательность ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ сходится к или же примыкает к ${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q}}$ если есть р(п, q) такой, что для всех р ≥ р(п, q) дифференциалы ${ displaystyle d_ {r} ^ {p-r, q + r-1}}$ и ${ displaystyle d_ {r} ^ {p, q}}$ равны нулю. Это заставляет ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ быть изоморфным ${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q}}$ для больших р. В символах пишем:

${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} Rightarrow _ {p} E _ { infty} ^ {p, q}}$

В п указывает индекс фильтрации. Очень часто пишут ${ displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ с левой стороны абатмента, потому что это наиболее полезный термин для большинства спектральных последовательностей.

В большинстве спектральных последовательностей ${ displaystyle E _ { infty}}$ термин, естественно, не является объектом двойной степени. Вместо этого обычно ${ displaystyle E _ { infty} ^ {n}}$ термины, которые имеют естественную фильтрацию ${ displaystyle F ^ { bullet} E _ { infty} ^ {n}}$. В этих случаях мы полагаем ${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q} = { mbox {gr}} _ {p} E _ { infty} ^ {p + q} = F ^ {p} E _ { infty} ^ { p + q} / F ^ {p + 1} E _ { infty} ^ {p + q}}$. Сходимость определяем так же, как и раньше, но пишем

${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} Rightarrow _ {p} E _ { infty} ^ {n}}$

иметь в виду, что всякий раз п + q = п, ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ сходится к ${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q}}$.

Самая простая ситуация, в которой мы можем определить сходимость, - это когда спектральные последовательности вырождаются. Мы говорим, что спектральные последовательности вырождается на листе r если для любого s ≥ р, дифференциал d_s равно нулю. Отсюда следует, что E_р ≅ E_р+1 ≅ E_р+2 ≅ ... В частности, это означает, что E_р изоморфен E_∞. Это то, что произошло в нашем первом тривиальном примере нефильтрованного цепного комплекса: спектральная последовательность выродилась на первом листе. В общем, если дважды градуированная спектральная последовательность равна нулю за пределами горизонтальной или вертикальной полосы, спектральная последовательность будет вырождаться, потому что более поздние дифференциалы всегда будут идти к или от объекта, не находящегося в полосе.

Спектральная последовательность также сходится, если ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ исчезает для всех п меньше чем некоторые п₀ и для всех q меньше чем некоторые q₀. Если п₀ и q₀ можно выбрать равным нулю, это называется спектральная последовательность первого квадранта. Эта последовательность сходится, потому что каждый объект находится на фиксированном расстоянии от края ненулевой области. Следовательно, при фиксированном п и q, дифференциал на более поздних листах всегда отображает ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ от или до нулевого объекта; более наглядно, дифференциал выходит из квадранта, в котором члены не равны нулю. Однако спектральная последовательность не должна вырождаться, потому что не все дифференциальные отображения могут быть нулевыми одновременно. Аналогично спектральная последовательность также сходится, если ${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ исчезает для всех п больше, чем некоторые п₀ и для всех q больше, чем некоторые q₀.

В пятичленная точная последовательность спектральной последовательности связывает некоторые члены низкой степени и E_∞ термины.

См. Также Boardman, Условно сходящиеся спектральные последовательности.

Примеры вырождения

Спектральная последовательность фильтрованного комплекса, продолжение

Обратите внимание, что у нас есть цепочка включений:

${ Displaystyle Z_ {0} ^ {p, q} supseteq Z_ {1} ^ {p, q} supseteq Z_ {2} ^ {p, q} supseteq cdots supseteq B_ {2} ^ {p , q} supseteq B_ {1} ^ {p, q} supseteq B_ {0} ^ {p, q}}$

Мы можем спросить, что произойдет, если мы определим

${ Displaystyle Z _ { infty} ^ {p, q} = bigcap _ {r = 0} ^ { infty} Z_ {r} ^ {p, q},}$

${ displaystyle B _ { infty} ^ {p, q} = bigcup _ {r = 0} ^ { infty} B_ {r} ^ {p, q},}$

${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q} = { frac {Z _ { infty} ^ {p, q}} {B _ { infty} ^ {p, q} + Z _ { infty} ^ {p + 1, q-1}}}.}$

${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q}}$ естественный кандидат на опору этой спектральной последовательности. Схождение не происходит автоматически, но происходит во многих случаях. В частности, если фильтрация конечна и состоит ровно из р нетривиальных шагов, то спектральная последовательность вырождается после р-й лист. Сходимость также имеет место, если комплекс и фильтрация ограничены снизу или оба ограничены сверху.

Чтобы более подробно описать опору нашей спектральной последовательности, обратите внимание, что у нас есть формулы:

${ Displaystyle Z _ { infty} ^ {p, q} = bigcap _ {r = 0} ^ { infty} Z_ {r} ^ {p, q} = bigcap _ {r = 0} ^ { infty} ker (F ^ {p} C ^ {p + q} rightarrow C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + r} C ^ {p + q + 1})}$

${ displaystyle B _ { infty} ^ {p, q} = bigcup _ {r = 0} ^ { infty} B_ {r} ^ {p, q} = bigcup _ {r = 0} ^ { infty} ({ mbox {im}} d ^ {p, qr}: F ^ {pr} C ^ {p + q-1} rightarrow C ^ {p + q}) cap F ^ {p} C ^ {p + q}}$

Чтобы понять, что это означает для ${ Displaystyle Z _ { infty} ^ {p, q}}$ Напомним, что мы предполагали, что фильтрация была раздельной. Это означает, что при р увеличивается, ядра сжимаются, пока не останется ${ Displaystyle Z _ { infty} ^ {p, q} = ker (F ^ {p} C ^ {p + q} rightarrow C ^ {p + q + 1})}$. За ${ displaystyle B _ { infty} ^ {p, q}}$Напомним, что мы предполагали, что фильтрация была исчерпывающей. Это означает, что при р увеличивается, изображения растут, пока мы не достигнем ${ displaystyle B _ { infty} ^ {p, q} = { text {im}} (C ^ {p + q-1} rightarrow C ^ {p + q}) cap F ^ {p} C ^ {p + q}}$. Мы заключаем

${ displaystyle E _ { infty} ^ {p, q} = { mbox {gr}} _ {p} H ^ {p + q} (C ^ { bullet})}$,

то есть опорой спектральной последовательности является п-я ступенчатая часть (р + д)й гомологии C. Если наша спектральная последовательность сходится, мы заключаем, что:

${ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} Rightarrow _ {p} H ^ {p + q} (C ^ { bullet})}$

Длинные точные последовательности

Используя спектральную последовательность фильтрованного комплекса, мы можем вывести существование длинные точные последовательности. Выберем короткую точную последовательность коцепных комплексов 0 → А^• → B^• → C^• → 0, и вызовем первую карту ж^• : А^• → B^•. Получаем естественные карты объектов гомологии ЧАС^п(А^•) → ЧАС^п(B^•) → ЧАС^п(C^•), и мы знаем, что это точно посередине. Мы будем использовать спектральную последовательность фильтрованного комплекса, чтобы найти связывающий гомоморфизм и доказать, что полученная последовательность точна. Для начала фильтруем B^•:

${ displaystyle F ^ {0} B ^ {n} = B ^ {n}}$

${ displaystyle F ^ {1} B ^ {n} = A ^ {n}}$

${ displaystyle F ^ {2} B ^ {n} = 0}$

Это дает:

${ displaystyle E_ {0} ^ {p, q} = { frac {F ^ {p} B ^ {p + q}} {F ^ {p + 1} B ^ {p + q}}} = { begin {case} 0 & { text {if}} p <0 { text {или}} p> 1 C ^ {q} & { text {if}} p = 0 A ^ {q +1} & { text {if}} p = 1 end {case}}}$

${ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = { begin {cases} 0 & { text {if}} p <0 { text {или}} p> 1 H ^ {q} (C ^ { bullet}) & { text {if}} p = 0 H ^ {q + 1} (A ^ { bullet}) & { text {if}} p = 1 end {cases} }}$

Дифференциал имеет бистепень (1, 0), поэтому d_{0, д} : ЧАС^q(C^•) → ЧАС^q+1(А^•). Это соединительные гомоморфизмы из лемма о змеях, а вместе с картами А^• → B^• → C^•, они дают последовательность:

${ displaystyle cdots rightarrow H ^ {q} (B ^ { bullet}) rightarrow H ^ {q} (C ^ { bullet}) rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ { bullet }) rightarrow H ^ {q + 1} (B ^ { bullet}) rightarrow cdots}$

Осталось показать, что эта последовательность точна на А и C пятна. Обратите внимание, что эта спектральная последовательность вырождается в E₂ член, потому что дифференциалы имеют бистепень (2, −1). Следовательно, E₂ срок такой же, как E_∞ срок:

${ displaystyle E_ {2} ^ {p, q} cong { text {gr}} _ {p} H ^ {p + q} (B ^ { bullet}) = { begin {cases} 0 & { text {if}} p <0 { text {или}} p> 1 H ^ {q} (B ^ { bullet}) / H ^ {q} (A ^ { bullet}) & { text {if}} p = 0 { text {im}} H ^ {q + 1} f ^ { bullet}: H ^ {q + 1} (A ^ { bullet}) rightarrow H ^ {q + 1} (B ^ { bullet}) & { text {if}} p = 1 end {case}}}$

Но у нас также есть прямое описание E₂ термин как гомологии E₁ срок. Эти два описания должны быть изоморфными:

${ displaystyle H ^ {q} (B ^ { bullet}) / H ^ {q} (A ^ { bullet}) cong ker d_ {0, q} ^ {1}: H ^ {q} (C ^ { bullet}) rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ { bullet})}$

${ displaystyle { text {im}} H ^ {q + 1} f ^ { bullet}: H ^ {q + 1} (A ^ { bullet}) rightarrow H ^ {q + 1} (B ^ { bullet}) cong H ^ {q + 1} (A ^ { bullet}) / ({ mbox {im}} d_ {0, q} ^ {1}: H ^ {q} (C ^ { bullet}) rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ { bullet}))}$

Первый дает точность на C пятно, а последнее дает точность на А место.

Спектральная последовательность двойного комплекса, продолжение

Используя абатмент для фильтрованного комплекса, мы обнаруживаем, что:

${ displaystyle H_ {p} ^ {I} (H_ {q} ^ {II} (C _ { bullet, bullet})) Rightarrow _ {p} H ^ {p + q} (T (C _ { пуля, пуля}))}$

${ displaystyle H_ {q} ^ {II} (H_ {p} ^ {I} (C _ { bullet, bullet})) Rightarrow _ {q} H ^ {p + q} (T (C _ { пуля, пуля}))}$

В целом, две градуировки на H^{р + д}(Т (С_•,•)) различны. Несмотря на это, все еще можно получить полезную информацию из этих двух спектральных последовательностей.

Коммутативность Tor

Позволять р быть кольцом, пусть M быть правым р-модуль и N левый р-модуль. Напомним, что производные функторы тензорного произведения обозначаются Тор. Tor определяется с помощью проективного разрешения его первого аргумента. Однако оказывается, что ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} (M, N) = operatorname {Tor} _ {i} (N, M)}$. Хотя это можно проверить без спектральной последовательности, это очень просто со спектральными последовательностями.

Выберите проективные разрешения ${ displaystyle P _ { bullet}}$ и ${ displaystyle Q _ { bullet}}$ из M и N, соответственно. Рассматривайте их как комплексы, которые исчезают в отрицательной степени, имея дифференциалы d и е, соответственно. Мы можем построить двойной комплекс, члены которого ${ displaystyle C_ {i, j} = P_ {i} otimes Q_ {j}}$ и дифференциалы которых ${ displaystyle d otimes 1}$ и ${ Displaystyle (-1) ^ {я} (1 otimes е)}$. (Фактор −1 таков, что дифференциалы антикоммутируют.) Поскольку проективные модули плоские, взятие тензорного произведения на проективный модуль коммутирует с взятием гомологий, поэтому мы получаем: