Пятичленная точная последовательность - Five-term exact sequence

В математике пятичленная точная последовательность или же точная последовательность терминов низкой степени это последовательность терминов, относящихся к первому этапу спектральная последовательность.

Точнее, пусть

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} Стрелка вправо H ^ {n} (A)}$

- спектральная последовательность первого квадранта, означающая, что ${displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ исчезает, кроме случаев, когда п и q оба неотрицательны. Тогда есть точная последовательность

0 → E₂^1,0 → ЧАС ¹(А) → E₂^0,1 → E₂^2,0 → ЧАС ²(А).

Здесь карта ${displaystyle E_ {2} ^ {0,1} o E_ {2} ^ {2,0}}$ является дифференциалом ${displaystyle E_ {2}}$-член спектральной последовательности.

Пример

• В точная последовательность ограничения инфляции

0 → ЧАС ¹(грамм/N, А^N) → ЧАС ¹(грамм, А) → ЧАС ¹(N, А)^грамм/N → ЧАС ²(грамм/N, А^N) →ЧАС ²(грамм, А)

в групповые когомологии возникает как пятичленная точная последовательность, связанная с Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра.

ЧАС ^п(грамм/N, ЧАС ^q(N, А)) ⇒ ЧАС ^{р + д}(ГРАММ, А)

куда грамм это проконечная группа, N это закрыто нормальная подгруппа, и А это грамм-модуль.

Строительство

Последовательность является следствием определения сходимости спектральной последовательности. Вторая страница дифференциала с codomain E₂^1,0 происходит из E₂^−1,1, которая по предположению равна нулю. Дифференциал с доменом E₂^1,0 имеет кодомен E₂^3,−1, который также равен нулю по предположению. Точно так же входящие и исходящие дифференциалы E_р^1,0 равны нулю для всех р ≥ 2. Следовательно, член (1,0) спектральной последовательности сходился, что означает, что он изоморфен градуированной части абатмента степени один. ЧАС ¹(А). Поскольку спектральная последовательность лежит в первом квадранте, оцениваемая пьеса первой степени равна первой подгруппе в фильтрации, определяющей градуированные пьесы. Включение этой подгруппы дает вложение E₂^1,0 → ЧАС ¹(А), которая начинает пятичленную точную последовательность. Эта инъекция называется карта края.

В E₂^0,1 член спектральной последовательности не сходился. Он имеет потенциально нетривиальный дифференциал, приводящий к E₂^2,0. Однако дифференциальная посадка на E₂^0,1 начинается в E₂^−2,2, который равен нулю, и, следовательно, E₃^0,1 ядро дифференциала E₂^0,1 → E₂^2,0. На третьей странице член (0, 1) спектральной последовательности сошелся, потому что все дифференциалы в и из E_р^0,1 либо начинается, либо заканчивается за пределами первого квадранта, когда р ≥ 3. как следствие E₃^0,1 это часть нулевой степени ЧАС ¹(А). Этот оцененный кусок является частным от ЧАС ¹(А) первой подгруппой в фильтрации, и, следовательно, это коядро краевого отображения из E₂^1,0. Это дает короткую точную последовательность

0 → E₂^1,0 → ЧАС ¹(А) → E₃^0,1 → 0.

Потому что E₃^0,1 ядро дифференциала E₂^0,1 → E₂^2,0, последний член в короткой точной последовательности можно заменить дифференциалом. Это дает четырехчленную точную последовательность. Карта ЧАС ¹(А) → E₂^0,1 также называется краевой картой.

Исходящий дифференциал E₂^2,0 равно нулю, поэтому E₃^2,0 - коядро дифференциала E₂^0,1 → E₂^2,0. Входящие и исходящие дифференциалы E_р^2,0 равны нулю, если р ≥ 3, опять же потому, что спектральная последовательность лежит в первом квадранте, и, следовательно, спектральная последовательность сходится. как следствие E₃^2,0 изоморфен градуированной степени два куска ЧАС ²(А). В частности, это подгруппа ЧАС ²(А). Составной E₂^2,0 → E₃^2,0 → ЧАС²(А), которая является еще одной картой ребер, поэтому имеет ядро, равное дифференциальной посадке в E₂^2,0. На этом построение последовательности завершено.

Вариации

Точная последовательность из пяти членов может быть расширена за счет того, что один из терминов будет менее явным. В семичленная точная последовательность является

0 → E₂^1,0 → ЧАС ¹(А) → E₂^0,1 → E₂^2,0 → Кер (ЧАС ²(А) → E₂^0,2) → E₂^1,1 → E₂^3,0.

Эта последовательность не распространяется сразу с картой на ЧАС³(А). Пока есть карта края E₂^3,0 → ЧАС³(А), его ядро ​​не является предыдущим членом семичленной точной последовательности.

Для спектральных последовательностей, первая интересная страница которых E₁, Существует трехчленная точная последовательность аналогично пятичленной точной последовательности:

${displaystyle 0 o H ^ {0} (A) o E_ {1} ^ {0,0} o E_ {1} ^ {0,1}.}$

Существуют также точные последовательности низкой степени для гомологических спектральных последовательностей, а также для спектральных последовательностей в третьем квадранте. Когда известно, что дополнительные члены спектральной последовательности обращаются в нуль, точные последовательности иногда можно расширить. Например, длинная точная последовательность связанный с короткой точной последовательностью комплексов, может быть получен таким образом.

Рекомендации

• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, МИСТЕР  1737196, Zbl  0948.11001
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.