Локально циклическая группа - Locally cyclic group

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория групп, а локально циклическая группа это группа (грамм, *) в котором каждый конечно порожденная подгруппа является циклический.

Некоторые факты

• Каждая циклическая группа является локально циклической, и каждая локально циклическая группа является абелевский.^[1]
• Всякая конечно порожденная локально циклическая группа циклическая.
• Каждый подгруппа и факторгруппа локально циклической группы является локально циклической.
• Каждый Гомоморфный образ локально циклической группы локально циклический.
• Группа является локально циклической тогда и только тогда, когда каждая пара элементов в группе порождает циклическую группу.
• Группа является локально циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп является распределительный (Руда 1938 г. ).
• В ранг без кручения локально циклической группы равно 0 или 1.
• В кольцо эндоморфизмов локально циклической группы есть коммутативный.^{[нужна цитата ]}

Примеры локально циклических групп, которые не являются циклическими

• Аддитивная группа рациональное число (Q, +) локально циклично - любая пара рациональных чисел а/б и c/d содержится в циклической подгруппе, порожденной 1 /bd.^[2]
• Аддитивная группа диадические рациональные числа, рациональные числа вида а/2^б, также является локально циклическим - любая пара диадических рациональных чисел а/2^б и c/2^d содержится в циклической подгруппе, порожденной 1/2^{Максимум(б,d)}.
• Позволять п - любое простое число, и пусть μ_п^∞ обозначим множество всех пth-power корни единства в C, т.е.

${ displaystyle mu _ {p ^ { infty}} = left { exp left ({ frac {2 pi im} {p ^ {k}}} right): m, k in mathbb {Z} right }}$

Тогда μ_п^∞ является локально циклическим, но не циклическим. Это Прюфер п-группа. 2-группа Прюфера тесно связана с диадическими рациональными числами (ее можно рассматривать как диадические рациональные числа по модулю 1).

Примеры абелевых групп, не являющихся локально циклическими

• Аддитивная группа действительные числа (р, +) не является локально циклическим - подгруппа, порожденная 1 и π, состоит из всех чисел вида а + бπ. Эта группа изоморфный к прямая сумма Z + Z, и эта группа не циклическая.

Рекомендации