Обобщения чисел Фибоначчи - Generalizations of Fibonacci numbers

В математика, то Числа Фибоначчи сформировать последовательность определенный рекурсивно к:

${displaystyle F_ {n} = {egin {case} 0 & n = 0 1 & n = 1 F_ {n-1} + F_ {n-2} & n> 1end {case}}}$

То есть после двух начальных значений каждое число является суммой двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи широко изучалась и обобщалась многими способами, например, начиная с чисел, отличных от 0 и 1, путем добавления более двух чисел для генерации следующего числа или путем добавления объектов, отличных от чисел.

Расширение до отрицательных целых чисел

С помощью ${displaystyle F_ {n-2} = F_ {n} -F_ {n-1}}$, можно расширить числа Фибоначчи до отрицательных целых чисел. Получаем:

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

и ${displaystyle F _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}}$.^[1]

Смотрите также Негафибоначчи.

Расширение на все действительные или комплексные числа

Существует ряд возможных обобщений чисел Фибоначчи, которые включают действительные числа (а иногда сложные числа ) в их домене. Каждый из них включает Золотое сечение φ, и основаны на формуле Бине

${displaystyle F_ {n} = {frac {varphi ^ {n} - (- varphi) ^ {- n}} {sqrt {5}}}.}$

Аналитическая функция

${displaystyle operatorname {Fe} (x) = {frac {varphi ^ {x} -varphi ^ {- x}} {sqrt {5}}}}$

имеет свойство, что ${displaystyle operatorname {Fe} (n) = F_ {n}}$ за четное целые числа ${displaystyle n}$.^[2] Аналогично аналитическая функция:

${displaystyle operatorname {Fo} (x) = {frac {varphi ^ {x} + varphi ^ {- x}} {sqrt {5}}}}$

удовлетворяет ${displaystyle operatorname {Fo} (n) = F_ {n}}$ за странный целые числа ${displaystyle n}$.

Наконец, сложив их вместе, аналитическая функция

${displaystyle operatorname {Fib} (x) = {frac {varphi ^ {x} -cos (xpi) varphi ^ {- x}} {sqrt {5}}}}$

удовлетворяет ${displaystyle operatorname {Fib} (n) = F_ {n}}$ для всех целых чисел ${displaystyle n}$.^[3]

С ${displaystyle имя оператора {Fib} (z + 2) = имя оператора {Fib} (z + 1) + имя оператора {Fib} (z)}$ для всех комплексных чисел ${displaystyle z}$, эта функция также обеспечивает расширение последовательности Фибоначчи на всю комплексную плоскость. Следовательно, мы можем вычислить обобщенную функцию Фибоначчи комплексной переменной, например,

${displaystyle operatorname {Fib} (3 + 4i) приблизительно -5248,5-14195,9i}$

Векторное пространство

Период, термин Последовательность Фибоначчи также применяется в более общем смысле к любому функция ${displaystyle g}$ от целых чисел до поля, для которого ${displaystyle g (n + 2) = g (n) + g (n + 1)}$. Эти функции в точности имеют вид ${displaystyle g (n) = F (n) g (1) + F (n-1) g (0)}$, поэтому последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство с функциями ${displaystyle F (n)}$ и ${displaystyle F (n-1)}$ как основу.

В более общем смысле, диапазон ${displaystyle g}$ может считаться любым абелева группа (рассматривается как Z-модуль ). Тогда последовательности Фибоначчи образуют двумерный ${displaystyle Z}$-модуль таким же образом.

Подобные целочисленные последовательности

Целочисленные последовательности Фибоначчи

Двумерный ${displaystyle Z}$-модуль Фибоначчи целочисленные последовательности состоит из всех целочисленных последовательностей, удовлетворяющих ${displaystyle g (n + 2) = g (n) + g (n + 1)}$. Выражаясь двумя исходными значениями, мы имеем:

${displaystyle g (n) = F (n) g (1) + F (n-1) g (0) = g (1) {frac {varphi ^ {n} - (- varphi) ^ {- n}} {sqrt {5}}} + g (0) {frac {varphi ^ {n-1} - (- varphi) ^ {1-n}} {sqrt {5}}},}$

куда ${displaystyle varphi}$ это золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая постоянно равна нулю, и последовательностей, где отношение двух первых членов равно ${displaystyle (-varphi) ^ {- 1}}$.

Последовательность можно записать в виде

${displaystyle avarphi ^ {n} + b (-varphi) ^ {- n},}$

в котором ${displaystyle a = 0}$ если и только если ${displaystyle b = 0}$. В таком виде простейший нетривиальный пример имеет ${displaystyle a = b = 1}$, которая представляет собой последовательность Числа Лукаса:

${displaystyle L_ {n} = varphi ^ {n} + (- varphi) ^ {- n}.}$

У нас есть ${displaystyle L_ {1} = 1}$ и ${displaystyle L_ {2} = 3}$. Свойства включают:

${displaystyle {egin {align} varphi ^ {n} & = left ({frac {1+ {sqrt {5}}} {2}} ight) ^ {n} = {frac {L (n) + F (n ) {sqrt {5}}} {2}}, L (n) & = F (n-1) + F (n + 1) .end {выровнено}}}$

Каждая нетривиальная целочисленная последовательность Фибоначчи появляется (возможно, после сдвига на конечное число позиций) как одна из строк таблицы Массив Wythoff. Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а смещение последовательности Люка - второй строкой.^[4]

Смотрите также Целочисленные последовательности Фибоначчи по модулю п.

Последовательности Лукаса

Другое обобщение последовательности Фибоначчи - это Последовательности Лукаса следующего вида:

${displaystyle {начало {выровнено} U (0) & = 0 U (1) & = 1 U (n + 2) & = PU (n + 1) -QU (n) конец {выровнено}}}}$,

где нормальная последовательность Фибоначчи - частный случай ${displaystyle P = 1}$ и ${displaystyle Q = -1}$. Другой вид последовательности Лукаса начинается с ${displaystyle V (0) = 2}$, ${displaystyle V (1) = P}$. Такие последовательности имеют приложения в теории чисел и первобытность доказывая.

Когда ${displaystyle Q = -1}$, эта последовательность называется п-Последовательность Фибоначчи, Например, Последовательность Пелля также называется 2-последовательность Фибоначчи.

В 3-последовательность Фибоначчи является

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (последовательность A006190 в OEIS )

В 4-последовательность Фибоначчи является

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (последовательность A001076 в OEIS )

В 5-последовательность Фибоначчи является

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (последовательность A052918 в OEIS )

В 6-последовательность Фибоначчи является

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (последовательность A005668 в OEIS )

В п-Постоянная Фибоначчи отношение, к которому соседние ${displaystyle n}$- числа Фибоначчи имеют тенденцию; его также называют пth металлическое средство, и это единственный положительный корень из ${displaystyle x ^ {2} -nx-1 = 0}$. Например, случай ${displaystyle n = 1}$ является ${displaystyle {frac {1+ {sqrt {5}}} {2}}}$, или Золотое сечение, а случай ${displaystyle n = 2}$ является ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$, или соотношение серебра. Как правило, случай ${displaystyle n}$ является ${displaystyle {frac {n + {sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}}}$.^{[нужна цитата ]}

В общем, ${displaystyle U (n)}$ можно назвать (п,−Q)-Последовательность Фибоначчи, и V(п) можно назвать (п,−Q)-Последовательность Лукаса.

В (1,2) -Последовательность Фибоначчи является

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (последовательность A001045 в OEIS )

В (1,3) -Последовательность Фибоначчи является

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... ( последовательность A006130 в OEIS )

В (2,2) -Последовательность Фибоначчи является

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (последовательность A002605 в OEIS )

В (3,3) -Последовательность Фибоначчи является

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (последовательность A030195 в OEIS )

Числа Фибоначчи высшего порядка

А Последовательность порядка Фибоначчи п представляет собой целочисленную последовательность, в которой каждый элемент последовательности является суммой предыдущих ${displaystyle n}$ элементы (за исключением первого ${displaystyle n}$ элементы в последовательности). Обычные числа Фибоначчи представляют собой последовательность Фибоначчи порядка 2. Случаи ${displaystyle n = 3}$ и ${displaystyle n = 4}$ были тщательно исследованы. Количество композиции неотрицательных целых чисел на части, не более чем ${displaystyle n}$ последовательность Фибоначчи порядка ${displaystyle n}$. Последовательность количества строк длины нулей и единиц ${displaystyle m}$ которые содержат не более ${displaystyle n}$ последовательные нули также являются последовательностью порядка Фибоначчи ${displaystyle n}$.

Эти последовательности, их предельные отношения и предел этих предельных соотношений были исследованы Марк Барр в 1913 г.^[5]

Числа Трибоначчи

В числа трибоначчи похожи на числа Фибоначчи, но вместо того, чтобы начинать с двух предопределенных членов, последовательность начинается с трех предопределенных членов, и каждое последующее слагаемое является суммой предыдущих трех членов. Первые несколько чисел трибоначчи:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012,… (последовательность A000073 в OEIS )

Впервые серию официально описал Агрономоф в 1914 г.^[6] но его первое непреднамеренное использование находится в Происхождение видов к Чарльз Р. Дарвин. В примере, иллюстрирующем рост популяции слонов, он опирался на расчеты, сделанные его сыном: Джордж Х. Дарвин.^[7] Период, термин трибоначчи был предложен Файнбергом в 1963 году.^[8]

В постоянная трибоначчи

${displaystyle {frac {1+ {sqrt [{3}] {19 + 3 {sqrt {33}}}} + {sqrt [{3}] {19-3 {sqrt {33}}}}} {3}) } = {frac {1 + 4cosh left ({frac {1} {3}} cosh ^ {- 1} left (2+ {frac {3} {8}} ight) ight)} {3}} примерно 1,839286755214161, }$ (последовательность A058265 в OEIS )

- отношение, к которому стремятся соседние числа трибоначчи. Это корень многочлена ${displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}$, а также удовлетворяет уравнению ${displaystyle x + x ^ {- 3} = 2}$. Это важно при изучении курносый куб.

В величина, обратная постоянной трибоначчи, выражаемый соотношением ${displaystyle xi ^ {3} + xi ^ {2} + xi = 1}$, можно записать как:

${displaystyle xi = {frac {{sqrt [{3}] {17 + 3 {sqrt {33}}}} - {sqrt [{3}] {- 17 + 3 {sqrt {33}}}} - 1}) {3}} = {frac {3} {1+ {sqrt [{3}] {19 + 3 {sqrt {33}}}} + {sqrt [{3}] {19-3 {sqrt {33}}) }}}} примерно 0,543689012.}$ (последовательность A192918 в OEIS )

Числа трибоначчи также даются^[9]

${displaystyle T (n) = leftlfloor 3b, {frac {left ({frac {1} {3}} left (a _ {+} + a _ {-} + 1ight) ight) ^ {n}} {b ^ {2 } -2b + 4}} ightceil}$

куда ${displaystyle lfloor cdot ceil}$ обозначает ближайшая целочисленная функция и

${displaystyle {egin {align} a_ {pm} & = {sqrt [{3}] {19pm 3 {sqrt {33}}}} ,, b & = {sqrt [{3}] {586 + 102 {sqrt { 33}}}}, конец {выровнен}}}$

Числа Тетраначчи

В числа тетраначчи начните с четырех заранее определенных членов, каждое из которых впоследствии является суммой предыдущих четырех членов. Первые несколько чисел тетраначчи:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337,… (последовательность A000078 в OEIS )

В постоянная тетраначчи - отношение, к которому стремятся соседние числа тетраначчи. Это корень многочлена ${displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}$, примерно 1.927561975482925 OEIS: A086088, а также удовлетворяет уравнению ${displaystyle x + x ^ {- 4} = 2}$.

Константа тетраначчи выражается в радикалах соотношением^[10]

${displaystyle left (p_ {1} + {frac {1} {4}} ight) + {sqrt {left (p_ {1} + {frac {1} {4}} ight) ^ {2} - {frac { 2lambda _ {1}} {p_ {1}}} слева (p_ {1} + {frac {1} {4}} ight) + {frac {7} {24p_ {1}}} + {frac {1} {6}}}}}$

куда

${displaystyle {egin {выравнивается} p_ {1} & = {sqrt {lambda _ {1} + {frac {11} {48}}}} ,, lambda _ {1} & = {frac {{sqrt [{ 3}] {3 {sqrt {1689}} - 65}} - {sqrt [{3}] {3 {sqrt {1689}} + 65}}} {12 {sqrt [{3}] {2}}} } ,. конец {выровнен}}}$

Высшие порядки

Были вычислены числа пентаначчи, гексаначчи и гептаначчи. Числа пентаначчи:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624,… (последовательность A001591 в OEIS )

Числа Гексаначи:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109,… (последовательность A001592 в OEIS )

Числа Гептаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808,… (последовательность A122189 в OEIS )

Числа Октаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... ( последовательность A079262 в OEIS )

Числа Эннеаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, .. . (последовательность A104144 в OEIS )

Предел отношения последовательных членов ${displaystyle n}$ряд -наччи стремится к корню уравнения ${displaystyle x + x ^ {- n} = 2}$ (OEIS: A103814, OEIS: A118427, OEIS: A118428).

Альтернативная рекурсивная формула для предела отношения ${displaystyle r}$ двух последовательных ${displaystyle n}$-nacci числа могут быть выражены как

${displaystyle r = sum _ {k = 0} ^ {n-1} r ^ {- k}}$.

Особый случай ${displaystyle n = 2}$ - традиционный ряд Фибоначчи, дающий золотое сечение ${displaystyle varphi = 1 + {frac {1} {varphi}}}$.

Приведенные выше формулы для отношения справедливы даже для ${displaystyle n}$-nacci серии, генерируемые из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2, поскольку ${displaystyle n}$ увеличивается. Последовательность "бесконечности", если ее можно описать, после бесконечного числа нулей дала бы последовательность

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

которые просто силы двух.

Предел соотношения для любого ${displaystyle n> 0}$ положительный корень ${displaystyle r}$ характеристического уравнения^[10]

${displaystyle x ^ {n} -sum _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {i} = 0.}$

Корень ${displaystyle r}$ находится в интервал ${displaystyle 2 (1-2 ^ {- n})$. Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), когда ${displaystyle n}$ даже. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль ${displaystyle 3 ^ {- n} <| r | <1}$.^[10]

Серия для положительного корня ${displaystyle r}$ для любого ${displaystyle n> 0}$ является^[10]

${displaystyle 2-2sum _ {i> 0} {frac {1} {i}} {inom {(n + 1) i-2} {i-1}} {frac {1} {2 ^ {(n + 1) i}}}.}$

Не существует решения характеристического уравнения в радикалах, когда 5 ≤ п ≤ 11.^[10]

В kй элемент п-nacci последовательность дается

${displaystyle F_ {k} ^ {(n)} = leftlfloor {frac {r ^ {k-1} (r-1)} {(n + 1) r-2n}} ightceil,}$

куда ${displaystyle lfloor cdot ceil}$ обозначает ближайшую целочисленную функцию и ${displaystyle r}$ это ${displaystyle n}$-nacci Константа, которая является корнем ${displaystyle x + x ^ {- n} = 2}$ ближайший к 2.^[11]

А проблема подбрасывания монеты относится к ${displaystyle n}$-nacci последовательность. Вероятность того, что нет ${displaystyle n}$ последовательные хвосты будут происходить в ${displaystyle m}$ подбрасывание идеализированной монеты - это ${displaystyle {frac {1} {2 ^ {m}}} F_ {m + 2} ^ {(n)}}$.^[12]

Слово Фибоначчи

По аналогии со своим числовым аналогом, Слово Фибоначчи определяется:

${displaystyle F_ {n}: = F (n): = {egin {case} {ext {b}} & n = 0; {ext {a}} & n = 1; F (n-1) + F ( n-2) & n> 1. end {case}}}$

куда ${displaystyle +}$ обозначает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (последовательность A106750 в OEIS )

Длина каждой строки Фибоначчи является числом Фибоначчи, и аналогично существует соответствующая строка Фибоначчи для каждого числа Фибоначчи.

Строки Фибоначчи появляются как входные данные для худший случай в некоторых компьютерные алгоритмы.

Если «a» и «b» представляют два разных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая строке Фибоначчи, является Квазикристалл Фибоначчи, апериодический квазикристалл структура с необычными спектральный характеристики.

Свернутые последовательности Фибоначчи

А свернутая последовательность Фибоначчи получается с применением свертка операцию с последовательностью Фибоначчи один или несколько раз. В частности, определите^[13]

${displaystyle F_ {n} ^ {(0)} = F_ {n}}$

и

${displaystyle F_ {n} ^ {(r + 1)} = сумма _ {i = 0} ^ {n} F_ {i} F_ {n-i} ^ {(r)}}$

Первые несколько последовательностей

${displaystyle r = 1}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71,… (последовательность A001629 в OEIS ).

${displaystyle r = 2}$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111,… (последовательность A001628 в OEIS ).

${displaystyle r = 3}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105,… (последовательность A001872 в OEIS ).

Последовательности могут быть рассчитаны с использованием повторения

${displaystyle F_ {n + 1} ^ {(r + 1)} = F_ {n} ^ {(r + 1)} + F_ {n-1} ^ {(r + 1)} + F_ {n} ^ {(р)}}$

В производящая функция из ${displaystyle r}$th свертка

${displaystyle s ^ {(r)} (x) = sum _ {k = 0} ^ {infty} F_ {n} ^ {(r)} x ^ {n} = left ({frac {x} {1- xx ^ {2}}} ight) ^ {r}.}$

Последовательности относятся к последовательности Полиномы Фибоначчи отношением

${displaystyle F_ {n} ^ {(r)} = r! F_ {n} ^ {(r)} (1)}$

куда ${displaystyle F_ {n} ^ {(r)} (x)}$ это ${displaystyle r}$-я производная от ${displaystyle F_ {n} (x)}$. Эквивалентно, ${displaystyle F_ {n} ^ {(r)}}$ коэффициент при ${displaystyle (x-1) ^ {r}}$ когда ${displaystyle F_ {x} (x)}$ расширяется в полномочиях ${displaystyle (x-1)}$.

Первая свертка, ${displaystyle F_ {n} ^ {(1)}}$ можно записать в терминах чисел Фибоначчи и Люка как

${displaystyle F_ {n} ^ {(1)} = {frac {nL_ {n} -F_ {n}} {5}}}$

и следует за повторением

${Displaystyle F_ {n + 1} ^ {(1)} = 2F_ {n} ^ {(1)} + F_ {n-1} ^ {(1)} - 2F_ {n-2} ^ {(1) } -F_ {n-3} ^ {(1)}.}$

Подобные выражения можно найти для ${displaystyle r> 1}$ с возрастающей сложностью как ${displaystyle r}$ увеличивается. Цифры ${displaystyle F_ {n} ^ {(1)}}$ суммы строк Треугольник Хосои.

Как и в случае с числами Фибоначчи, существует несколько комбинаторных интерпретаций этих последовательностей. Например ${displaystyle F_ {n} ^ {(1)}}$ это количество способов ${displaystyle n-2}$ может быть записана как упорядоченная сумма, включающая только 0, 1 и 2, причем 0 используется ровно один раз. Особенно ${displaystyle F_ {4} ^ {(1)} = 5}$ и 2 можно написать 0 + 1 + 1, 0 + 2, 1 + 0 + 1, 1 + 1 + 0, 2 + 0.^[14]

Другие обобщения

В Полиномы Фибоначчи являются еще одним обобщением чисел Фибоначчи.

В Падованская последовательность порождается повторением ${displaystyle P (n) = P (n-2) + P (n-3)}$.

В Коровы Нараяны последовательность генерируется повторением ${displaystyle N (k) = N (k-1) + N (k-3)}$.

А случайная последовательность Фибоначчи можно определить, бросая монету за каждую позицию ${displaystyle n}$ последовательности и взяв ${displaystyle F (n) = F (n-1) + F (n-2)}$ если он приземлится и ${displaystyle F (n) = F (n-1) -F (n-2)}$ если выпадет решка. Работа Фюрстенберга и Кестена гарантирует, что эта последовательность почти наверняка растет экспоненциально с постоянной скоростью: константа не зависит от подбрасывания монеты и была рассчитана в 1999 г. Дивакар Вишванатх. Теперь он известен как Постоянная Вишваната.

А переоборудовать, или же Номер Кита, является целым числом, такое, что, когда его цифры начинают последовательность Фибоначчи с этим количеством цифр, в конечном итоге достигается исходное число. Например, 47, потому что последовательность Фибоначчи, начинающаяся с 4 и 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) достигает 47. Повторная конфигурация может быть последовательностью трибоначчи, если число состоит из 3 цифр, числом тетраначчи, если число состоит из четырех цифр, и т. д. Первые несколько повторений:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909,… (последовательность A007629 в OEIS )

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих соотношению ${displaystyle S (n) = S (n-1) + S (n-2)}$ замкнуто при почленном сложении, а при почленном умножении на константу его можно рассматривать как векторное пространство. Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, поэтому векторное пространство является двумерным. Если мы сократим такую ​​последовательность как ${displaystyle (S (0), S (1))}$, последовательность Фибоначчи ${displaystyle F (n) = (0,1)}$ и смещенная последовательность Фибоначчи ${displaystyle F (n-1) = (1,0)}$ рассматриваются как каноническая основа этого пространства, дающая тождество:

${Displaystyle S (n) = S (0) F (n-1) + S (1) F (n)}$

для всех таких последовательностей S. Например, если S последовательность Лукаса 2, 1, 3, 4, 7, 11, ..., то получаем

${displaystyle L (n) = 2F (n-1) + F (n)}$.

N-генерированная последовательность Фибоначчи

Мы можем определить N-генерированная последовательность Фибоначчи (куда N положительное рациональное число): если

${displaystyle N = 2 ^ {a_ {1}} cdot 3 ^ {a_ {2}} cdot 5 ^ {a_ {3}} cdot 7 ^ {a_ {4}} cdot 11 ^ {a_ {5}} cdot 13 ^ {a_ {6}} cdot ... cdot p_ {r} ^ {a_ {r}},}$

куда п_р это рth простое, то определим

${displaystyle F_ {N} (n) = a_ {1} F_ {N} (n-1) + a_ {2} F_ {N} (n-2) + a_ {3} F_ {N} (n-3 ) + a_ {4} F_ {N} (n-4) + a_ {5} F_ {N} (n-5) + ...}$

Если ${displaystyle n = r-1}$, тогда ${displaystyle F_ {N} (n) = 1}$, и если ${displaystyle n$, тогда ${displaystyle F_ {N} (n) = 0}$.^{[нужна цитата ]}

Последовательность	N	OEIS последовательность
Последовательность Фибоначчи	6	A000045
Последовательность Пелля	12	A000129
Последовательность Якобсталя	18	A001045
Последовательность трибоначчи	30	A000073
Последовательность тетраначчи	210	A000288
Падованская последовательность	15	A000931
Последовательность коров Нараяны	10	A000930

Полуфибоначчи последовательность

В полуфибоначчи последовательность (последовательность A030067 в OEIS ) определяется с помощью той же рекурсии для терминов с нечетным индексом ${displaystyle a (2n + 1) = a (2n) + a (2n-1)}$ и ${displaystyle a (1) = 1}$, но для четных индексов ${displaystyle a (2n) = a (n)}$, ${displaystyle ngeq 1}$. Биссекция A030068 нечетно проиндексированных терминов ${displaystyle s (n) = a (2n-1)}$ поэтому проверяет ${displaystyle s (n + 1) = s (n) + a (n)}$ и строго увеличивается. Это дает набор полу-числа Фибоначчи

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... ( последовательность A030068 в OEIS )

которые происходят как ${displaystyle s (n) = a (2 ^ {k} (2n-1)), k = 0,1, ...}$.

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Число Трибоначчи», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]